teorka

Pojem funkcie:
Definícia1: Nech A je prázdna množina.Zobrazenie f množiny
A do množiny R nazývame reálnou funkciou. Reálna funkcia
je teda zobrazenie: f:A®R, ktoré každému prvku x Î A priradí

jediné reálne číslo y=f(x).
Definícia2: Reálnu funkciu f:A®R, AĚR nazývame reálnou

funkciou jednej reálnej premennej.
Pod pojmom funkcia budeme vždy ďalej rozumieť reálnu
funkciu jednej premennej.
Ak f:A®R je funkcia, tak množinu A budeme nazývať obor

definície/abo definič.obor/ funkcie f a označovať znakom D(f)
a množinu f(A)={yÎR;y=f(x),xÎA} nazývať obor hodnôt

funkcie f a označovať H(f).
Funkcia f je teda určená, ak je daný jej obor definície AĚR a

pravidlo,podľa ktorého je každému číslu xÎA priradené práve

jedno y=f(x)ÎR.Číslo f(x) nazývame hodnotou funkcie f

v čísle/bode/ x.
Písmeno x,ktoré môže znamenať ľubovoľný prvok z množiny A
sa nazýva argument funkcie alebo tiež nezávisle premenná a y
závisle premenná.
Ak funkcia f nemá určený definičný obor D(f), tak za D(f)
berieme najväčšiu možnú množinu tzv. maximálny obor
definície, ktorému tiež hovoríme def.obor.
Potom D(f)={xÎR; $ yÎR;y=f(x)}.

Pr

írastok funkcie.

Nech funkcia f je definovaná v okolí O(x0) a nech dané h je
x0+hÎO(x0), potom rozdiel f (x0+h)-f(x0)=Df(x0) nazývame

prírastok funkcie f v bode x0.
Nech prírastok h argumentu x funkcie f je vopred daný a
konštantný a nech x je ľubovoľné čislo z def.oboru funkcie f
potom Df(x)=f(x+h)-f(x) je opäť funkcia premennej x,ktorá sa

tiež nazýva diferencia funkcie f.
Interpolácia funkcií.
Nech n je prirodzené číslo, a0,a1,...,an, sú ľobovoľné reál.čísla
potom polynomickou funkciou nazývame funkciu f:y=anxn +
+an-1xn-1 + ...+ a1x+a0. Ak aną0 hovoríme o polynomickej

funkcii n-tého stupňa.
Ohraničené funkcie.
Funkciu f nazývame zhora /zdola/ ohraničenou na množine
A ĚD(f), ak je zhora /zdola/ ohraničená množina f(A). Ak je

funkcia f ohraničená zhora aj zdola na množine A, tak ju
nazývame ohraničenou na množine A. =>že funkcia f je
zhora /zdola/ ohraničená na množine A práve vtedy, ak existuje
také reál.číslo k(h), že pre všetky xÎA platí: f(x)Łk /f(x)łh/.

Monotónne funkcie.
Nech je daná funkcia f a nech AĚD(f) potom hovoríme:

f-rastúca f(x1<f(x2)
f-klesajúca na A<=>"x1,x2ÎA:x1<x2=> f(x1)>f(x2)

f-nerastúca f(x1)łf(x2)

f-neklesajúca f(x1)Łf(x2)

Rastúce /klesajúce, nerastúce, neklesajúce/ funkcie nazývame
monotónne funkcie. Rastúce a klesajúce funkcie sa nazývajú
rýdzo monotónne.
Párne a nepárne funkcie.
Funkcia f sa nazýva párna/nepárna/ na množine AĚD(f), ak

pre každé xÎA je tiež -xÎA a platí f(x)=f(-x) /f(-x)=-f(x).

Periodick0 funkcie.
Funkciu f nazývame periodickou, ak existuje také kladné číslo
p>0, že platí 1. xÎD(f)<=>x+pÎD(f)

2. pre každé xÎD(f) je f(x+p)=f(x)

Prosté funkcie.
Funkciu f nazývame prostou na množine A, ak pre každé dva
body x1, x2ÎA, x1ąx2, platí f(x1)ąf(x2).

Každá rýdzo monotónna funkcia je prostá.
Zložená funkcia.
Nech sú dané funkcie f, g také, že H(g)ÇD(f)ąĆ potom

môžeme definovať zloženú funkciu f(g) s def.oborom
D(f(g))=/xÎD(g);g(x)ÎD(f) takú, že pre všetky xÎD(f(g)) platí

(f(g))(x)=f(g(x)). g je vnútorná zložka a f vonkajšia zložka
funkcie f(g).
Inverzné funkcie.
Nech f je prostá na množine AĚD(f) potom inverznou funciou

f-1 definovanou na množine f(A) k funkcii f definovanej na A
nazývame predpis podľa ktorého každému prvku xÎf(A)

priradíme prvok yÎA, tak že f(y)=x, ak A=D(f) hovoríme o

inverznej funkcii k f. Zo vzťahov f(y)=x a y=f^-1(x)
dostávame:"xÎf(A):f(f-1(x))=x, "yÎA:f-1(f(y))=y.

Inv.f. k rastúcej/klesajúcej/ funkcii je tiež rastúca/klesajúca/
funkcia.
Mocninová a iracionálna funkcia.
Funkciu f:y=xs, sÎR nazývame mocninovou funkciou. Je

definovaná vo všetkých xÎR, pre ktoré je xs v zmysle definície

mocniny reálneho čísla definované.
Ak s=0 potom D(f)=(-Ą,0)U(0,Ą) funkcia je konštantná na

celom D(f).
Ak s=n, nÎN potom D(f)=R. Pre n-párne je párnou funkciou

klesajúcou na intervale (-Ą,0) a rastúcou na intervale (0,Ą).

Pre n-nepárne je funkcia nepárna a rastúca.
Ak s=-n, nÎN potom je racionálna funkcia (y=1/xn). Je

definovaná na intervale (-Ą,0)U(0,Ą)Pre n-párne je párnou

funkciou rastúcou na intervale (-Ą,0) a klesaúcou na (0,Ą). Pre

n-nepárne je funkcia nepárna a klesajúca na (-Ą,0) i (0,Ą)..

Ak s=1/n, nÎN, n>1, potom mocninová funkcia je

odmocninová a píšeme: f:y=nÖx. Pre n-párne je táto funkcia

definovaná na int. <0,Ą) a je rastúca. Pre n-nepárne je

definovaná na R a je rastúcou, nepárnou funkciou.
Ak nenastane ani jeden z týchto prípadov, funkcia je
definovaná iba na intervale (0,Ą). Funkcia je potom pre s>0

rastúca a pre s<0 klesajúca.
Goniometrické a cyklometrické funkcie.
Nech x je ľubovoľné reál.číslo a nech bod M je obrazom
reál.čísla x na jednotkovej kružnici. Potom prvú súradnicu
bodu M nazývame cos x, druhú súradnicu bodu M nazývame
sin x.Takto definované funkcie sin a cos sú zovšeobecnenia ich
definície v pravouhlom D pre xÎ(0,p/2). Základné vlastnosti:

1. H(sin)=H(cos)=<1,1>
2. sin(-x)=-sin x, t.j. funkcia sin je nepárna, cos(-x)=cos x, t.j.
cos je párna.

3. funkcie cos a sin sú periodické s periódou 2p;

sin(x+2kp)=sin x, cos(x+2kp)=cos x, xÎR, kÎZ.

4. sin je rastúca na <-p/2+2kp, p/2+2kp> a klesajúca na

<p/2+2kp,3/2p+2kp>; funkcia cos je rastúca na <(2k-1)p,2kp>

a klesajúca na <2kp,(2k+1)p, kÎZ.

Exponenciálne a logaritmické funkcie.
Nech a>0, aą0. Exponenciálna funkcia so základom a je

funkcia tvaru f:y=ax, xÎR. H(f)=(0,Ą).

Ak 0<a<1 - f je klesajúca
Ak a>1, tak f je rastúca.
Najdôležitejšia exp. funkcia je prirodzená exponenciálna
funkcia exp:y=ex=exp(x), xÎR.

Inverzná k exp.funkcii je logaritmická f. so základom a
loga:y=logax, xÎ(0,Ą)

ak a=e - prirodzená logaritmická f. a píše sa namiesto log x ln
x, zápis: ln:y=ln x, xÎ(0,Ą)

ak a=10 - dekadická log. f., zápis: log:-y=log x, xÎ(0,Ą).

Vyjadrenie niektorých funkcií pomocou prirodzenej
exponenciálnej a logaritmickej funkcie.
Veta 1.
a) "x Î R, "a > 0, aą1:ax=ex ln a
b) "x Î R, "a > 0, aą1:log

ax=ln x/ln a

c) "x > 0, "r Î R: xr = er ln x a
d) pre každé dve funkcie f, g, pre ktoré platí:

D(f)ÇD(g) = D ą Ć Ů "x Î D : f(x) > 0

je f(x)g(x) = eg(x) ln f(x

Pojem postupnosti.
Funkciu f:N®R nazývame postupnosťou reál.čísel a prvok

f(n) = an nazývame n-tý člen postupnosti. Postupnosť budeme
značiť: (an)Ąn=1
Veta 1.
a) Postupnosť (a

n)

Ą

n=1 , je rastúca [klesajúca, nerastúca,

neklesajúca] práve vtedy, ak pre každé prirodzené
číslo n platí an < an+1 [an > an+1; an ł an+1; an Ł

an+1]. Monotóonnymi postupnosťami sú rastúce,
klesajúce, nerastúce, neklesajúce postupnosti.
Rýdzo monotónnymi postupnosťami sú rastúce a
klesajúce postupnosti. Konštantná postupnosť má
všetky členy navzájom rovné.

b) Postupnosť (a

n)

Ą

n=1 je zhora [zdola] ohraničená práve

vtedy, ak množina všetkých jej členov {an; n Î N}

je zhora [zdola] ohraničená. Postupnosť
ohraničená zhora aj zdola je ohraničená
postupnosť.

Limita postupnosti.
Hovoríme, že postupnosť (an)Ąn=1 , má limitu a Î R ak

v každom okolí Oe(a) ležia skoro všetky členy tejto postupnosti.

Hovoríme, že postupnosť reál.čísel (an)Ąn=1 má limitu a Î R, ak

pre všetky Oe(a) existuje Ód(Ą) také, že pre každé n Î Ód(Ą) Ç

N platí an Î Oe(a).

Limitu postupnosti lim an = a, aÎR

n®Ą
nazývame vlastnou limitou postupnosti a samotnú postupnosť
konvergentnou.
Limity lim an = -Ą, aÎR

n®Ą
lim an = +Ą, aÎR

n®Ą
nazývame nevlastné limity postupnosti a dané postupnosti
divergentné. Divergentnou postupnosťou budeme nazývať aj
postupnosť, ktorá nemá žiadnu limitu.
Každá postupnosť má najviac jednu limitu.
Limita konštantnej postupnosti (an)Ąn=1 je číslo a.
lim 1/nk = 0, k Î N.

n®Ą

Každá konvergentná postupnosť je ohraničená.
Nech lim an=a, lim bn = b, a, b Î R potom platí:

n®Ą n®Ą
lim (an + bn) = a + b
n®Ą

lim (an - bn) = a - b
n®Ą

lim (an . bn) = ab
n®Ą

lim (an / bn) = a / b
n®Ą

lim ďanď =ďaď

n®Ą

Limita monot

ónnych postupností. Eulerovo /Napierovo/ číslo e.

Každá monotónna postupnosť (an)Ąn=1 má limitu a platí:

a) Ak je (a

n)

Ą

n=1 neklesajúca, tak lim an = sup {an; n

Î

N}

n®Ą
b) Ak je (an)Ąn=1 nerastúca, tak lim an = inf {an; n Î N}

n®Ą

c) Monotónna postupnosť je konvergentná práve vtedy, ak

je ohraničená.

Eulerovo číslo e:
e = lim (1+1/n)n = 2,71828...
n®Ą
Ak pre postupnosť (an)Ąn=1 platí an ą 0 a lim ďanď= Ą, tak

lim (1+1/an)an = e.
n®Ą

Nekonečné rady
Ak je daná postupnosť (an)Ąn=1 reál.čísel, tak výraz

Ą

a1+a2+...+an+...= S an

n=1
nazývame nekonečným číselným radom. Čísla ai, i=1,2,...
nazývame členmi radu.
k
sk = S an

n=1
kde k=1,2,3,..., nazývame k-ty čiastočný súčet a postupnosť (sk)
Ą

k=1 postupnosťou čiastočných súčtov radu. Ak je táto

postupnosť konvergentná, t.j. má vlastnú limitu s = lim sn
n®Ą
hovoríme, že rad je konvergentný a číslo s nazývame súčet
radu. Ak postupnosť (sk)Ąk=1 nemá vlastnú limitu hovoríme, že
rad je divergentný.
Limita a spojitosť funkcie.
Nech A Ě R a a Î R*. Bod a nazývame hromadným bodom

množiny A, keď každé jeho neúplné e-okolie Óe(a) obsahuje

aspoň jeden bod z množiny A. Bod a, ktorý nie je hromadným
bodom množiny A nazývame izolovaným bodom množiny A.
Veta 1. Bod a Î R* je hromadným bodom množiny M práve

vtedy, ak každé okolie Óe(a) obsahuje nekonečne veľa prvkov

množiny M.
Hovoríme, že funkcia f má v hromadnom bode
a Î R*definičného oboru D(f) limitu b Î R* práve vtedy, ak pre

každé e-okolie Óe(b) existuje neúplné d-okolie Ód(a) , že

xÎÓd(a)ÇD(f)Ţf(x)ÎÓe(b).

Zapíšeme: lim f(x) = b
n®Ą

Ak a Î R, b Î R, hovoríme o vlastnej limite b funkcie f vo

vlastnom bode a.
Ak a Î R, b = -Ą resp. +Ą , hovoríme o nevlastnej limite +Ą

resp. -Ą vo vlastnom bode a.

Ak a = +Ą resp. a= -Ą, b Î R, potom hovoríme o vlastnej

limite b v nevlastnom bode +Ą resp. -Ą.

Ak a = +Ą resp. a= -Ą, b = +Ą, resp. b = -Ą, tak hovoríme o

nevlastnej limite +Ą resp. -Ą v nevlastnom bode +Ą resp. -Ą.

Funkcia má v danom bode najviac jednu limitu.
Ak funkcia f má v bode a Î R* vlastnú limitu, tak existuje také

úplné okolie Ód(a) , že funkcia f je ohraničená na množine

Ód(a) Ç D(f).

Funkcia f má v bode a Î R* limitu b Î R* práve vtedy, ak a je

hromadný bod D(f) a pre každú postupnosť (xn)Ąn=1 platí:
xn Î D(f) \ {a}, {n=1,2,...}, lim xn = a Ţ lim f(xn)=b.

n®Ą n®Ą
Nech v nejakom okolí Ód(a) je f(x)Łg(x). Ak je lim f(x)=+Ą

x®a
tak lim g(x)=+Ą . Ak lim g(x)=-Ą , tak lim f(x)=-Ą.

x®a

Ak v nejakom okolí Ód(a) platí: h(x)Łf(x)Łg(x) a lim h(x)=

x®a

lim g(x)=b, potom lim f(x)=b.
x®a x®a

Veta 3. (Limita zloženej funkcie). Nech sú dané funkcie f, g a
pričom H(g) Ě D(f). Nech lim g(x)=b a lim f(u)=c a nech je

x®a u®b

ďalej splnená aspoň jedna z týchto podmienok:
a) Existuje okolie Ó

d(a) také, že pre všetky x

ÎÓd(a)ÇD(g)

je g(x) ą b.

b) c = f(b).

Potom: lim f(g(x)) = c .
x®a

Nech lim f(x)=b, b ą 0, b Î R*. Potom existuje okolie Ód(a)

také, že pre všetky x Î Ód(a) Ç D(f) je b . f(x) > 0.

Jednostranné limity.
a) Hovoríme, že funkcia f má v bode a Î R limitu zľava rovnú

b1 Î R * a píšeme lim f(x)=b1 práve vtedy, ak platí:

x®a
1. Bod a je hromadným bodom množiny D(f) Ç (-Ą,a).

2. K ľubovoľnému okoliu O

e(b1), existuje okolie Ód -

(a) také, že pre každé x Î Ód -(a) Ç D(f) Ţ f(x) Î

Oe(b1).

b) Hovoríme, že funkcia f má v bode a Î R limitu sprava rovnú

b2 Î R * a píšeme lim f(x)=b2 práve vtedy, ak platí:

x®a+

1. Bod a je hromadným bodm množiny D(f) Ç (a,Ą).

2. K ľubovoľnému okoliu O

e(b1) existuje okolie Ód +

(a) také, že pre každé x Î Ód +(a) Ç D(f) Ţ f(x) Î

Oe(b2).

Veta 5. Nech bod a je hromadným bodom množiny
D(f) Ç (-Ą,a) a nie je hromadným bodom množiny

D(f) Ç (a,Ą) . Potom: [lim f(x)=b1] Ű [lim f(x)=b1].

x®a x®a-

Nech bod a je hromadný bod množiny D(f) Ç (a,Ą) a nie je

hromadný bod množiny D(f) Ç (-Ą,a) . Potom:

[lim f(x)=b2] Ű [lim f(x)=b2].

x®a x®a+

Veta 6. Nech bod a je hromadný bod množín D(f) Ç (-Ą,a) ,

D(f) Ç (a,Ą) . Potom [lim f(x)=b] Ű [lim f(x)= lim f(x)=b]

x®a x®a- x®a+

Spojitosť funkcie.
Hovoríme, že funkcia f je spojitá v bode a Î D(f) práve vtedy,

keď pre každé Oe(f(a)) existuje také okolie Od (a), že platí:

x Î Od (a)) Ç D(f) Ţ f(x) Î Oe (f(a)).

a) Funkcia f je spojitá v hromadnom bode a Î D(f) práve

vtedy, ak lim f(x) = f(a) , resp. lim f (a+h) = f(a).
x®a h®0

b) Ak a je izolovaným bodom D(f) funkcie f, tak ľubovoľnému
Oe(f(a)) vždy existuje Od (a) . Stačí totiž vziať také okolie

Od (a) , že Od (a) Ç D(f) = {a}.

Jednostranná spojitosť.
Nech je daná funkcia f a nech bod a je hromadným bodom
množiny D(f) Ç (-Ą,a) , [D(f) Ç (a,Ą)]. Hovoríme, že funkcia f

je spojitá v bode a zľava [sprava] práve vtedy, ak
lim f(x) = f(a) [lim f (x) = f(a)].
x®a- x®a+

Veta1. Nech je daná funkcia f a nech bod a je hromadným
bodom množín D(f) Ç (-Ą,a) , D(f) Ç (a,Ą). Potom funkcia f

je spojitá v bode a práve vtedy, ak je v bode a spojitá sprava aj
zľava.
Nech funkcia f je spojitá v každom bode množiny A Ě D(f).

Potom hovoríme, že funkcia f je spojitá na množine A.
Ak A =D(f), tak jednoducho hovoríme, že funkcia f je spojitá.
Veta2.
1. Ak funkcia f je spojitá v bode A Î R, tak existuje O

d (a) ,

že f je ohraničená na Od (a) Ç D(f) .

2. Nech funkcia f je spojitá v bode a a f(a) ą 0.

Potom existuje okolie Od (a) , že platí:

x Î Od (a) Ç D(f) Ţ f(x) . f(a) > 0.
3. Ak funkcia f, g sú spojité v bode a Î R, tak v bode a sú

spojité aj funkcie f + g, f - g, f.g, ˝f˝ a ak je g(a) ą

0, tak aj funkcia f/g.

4. Ak funkcia g je spojitá v bode a a funkcia f je spojitá

v bode g(a), tak zložená funkcia f(g) je spojitá
v bode a.

5. Každá elementárna funkcia je spojitá. (Ak za jej

definičný obor berieme prirodzený def. obor).

Veta3. (Weierstrassova veta) Nech funkcia f je spojitá na
uzavretom intervale <a,b>, a>b, a,b Î R. Potom:

a) Funkcia f je na tomto intervale ohraničená.

b) Funkcia f nadibúda na tomto intervale maximálnu

a minimálnu hodnotu, t.j. existujú také čísla c, d Î

<a,b>, že platí: x Î <a,b> Ţ f(c) Ł f(x) Ł f(d).

Veta4. Nech funkcia f je spojitá na intervale <a,b>. Potom pre
každé číslo r, ležiace medzi f(a) a f(b), existuje bod c Î <a,b>,

taký, že f(c) = r.
Veta5. (Cauchyva - Bolzanova veta.) Nech funkcia f je spojitá
na intervale <a,b> a nech f(a) . f(b) < 0. Potom existuje taký
bod c Î <a,b>, že f(c) = 0.

Asymptoty grafu funkcie.
Asymptoty bez smernice.
Def.1. Nech funkcia f je definovaná aspoň v jednom okolí
Od+ (a) , Od- (a) , a Î R. Priamku x = a nazývame asymptotou

bez smernice grafu funkcie f práve vtedy, ak nastane aspoň
jeden z nasledujúcich prípadov
lim f(x) = Ą , lim f (x) = Ą , lim f(x) = -Ą, lim f(x) = -Ą

x®a+ x®a- x®a+ x®a-

Def.2. Nech funkcia f je definovaná aspoň v jednom z okolí
Óe(+Ą), Óe(-Ą). Potom priamku p: y = kx + q nazývame

asymptotou so smernicou grafu funkcie f práve vtedy, ak platí
lim f(x) - (kx + q) = 0 alebo lim (f(x) - (kx + q)) = 0.
x®+Ą x®-Ą

Veta1. Priamka y = kx + q je asymptota so smernicou grafu
funkcie f pre x ® +Ą [pre x ® - Ą] práve vtedy, ak existujú

vlastné limity lim f(x )/ x = k, lim (f(x) - kx) = q,
x®+Ą x®+Ą

[lim f(x) / x = k, lim (f(x) - kx) = q].
x®-Ą x®-Ą

Asymptotická aproximácia funkcií.
Def.3. Nech je daná funkcia f a nech bod a Î R* je hromadným

bodom D(f). Ak existuje funkcia g, pre ktorú platí:
1) bod a je hromadným bodom množiny D(g) Ç D(f),

2)

lim f(x) / g(x) = 1

x®a

tak hovoríme, že funkcia g je asymptotickou aproximáciou
funkcie f pre x ® a, resp. ekvivalentné pre x ® a.

Derivácia funkcie.
Def.1. Ak existuje limita lim f(x) - f(x0) / x - x0
x®x0

x0 Î R, tak túto limitu nazývame deriváciou funkcie f v bode x0

a označujeme ju f’(x0).
Def.2. Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí Od- (x0)

[Od+ (x0)]a nech existuje jednostranná limita

lim f(x) - f(x0) / x - x0 [ lim f(x) - f(x0) / x - x0 ]
x®x0- x®x0+

potom ju označíme f’- (x0) [f’+(x0)] a nazývame deriváciou
funkcie f v bode x0 zľava [sprava].
Veta1. Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí Od (x0) .

Potom funkcia f má v bode x0 deriváciu práve vtedy, ak má
v tomto bode deriváciu sprava a zľava a obe sa navzájom
rovnajú.
Geometrický výz

nam derivácie. Dotyčnica ku grafu funkcie.

Predpokladajme, že funkcia f je definovaná na nejakom okolí
Od (x0) . Sečnica grafu funkcie f prechádzajúca bodmi P0, P má

smernicu k = f(x) - f(x0) / x - x0. Ak x ® x0, tak sa bod P blížiť

k bodu P0 po grafe funkcie f. Ak existuje vlastná limita
lim f(x) - f(x0) / x - x0 = f’(x0)
x®x0

tak priamku prechádzajúcu bodom (x0, f(x0)) so smernicou
k = tgj = f’(x0) nazývame dotyčnicou ku grafu funkcie f v bode

(x0, f(x0)). Jej rovnica je y - y0 = f’(x0)(x - x0), y0 = f(x0).
Normála ku grafu funkcie.
Nech funkcia f má v bode x0 deriváciu f’(x0) ą 0. Priamku

prechádzjúcu bodom (x0, f(x0)) kolmú k dotyčnici v tomto bode
nazývame normálou grafu funkcie f v bode (x0, f(x0)) . Jej
1
rovnica je: y - f(x0) = - ľľľ (x - x0).

f’(x0)
Ak funkcia f má v bode x0 deriváciu, potom je v tomto bode
spojitá.

Normála ku grafu funkcie.
Def.3. Nech funkcia f má deriváciu v každom bode x Î M,

MĚD(f). Potom funkcia f’, ktorá každému x Î M priradí práve

jedno reál. číslo f’(x) nazývame deriváciou f’ funkcie f na
množine M, alebo tiež hovoríme, že funkcia f má deriváciu f’
na množine M.
Funkcia f má deriváciu na intervale (a,b), ak má deriváciu
v každom bode tohto intervalu.
Vety o derivovaní funkcií.
Veta1. Nech u, v, sú funkcie.
(u + v)’ = u’ + v’
(u - v)’ = u’ - v’
(u . v)’ = u’v + uv’
(u / v)’ = u’v - uv’ / v2
Veta2.(Deriv

ácia zloženej funkcie

) Nech funkcia g má

deriváciu v bode x0 a nech funkcia f má deriváciu v bode u0 =
g(x0). Potom zložená funkcia f(g) má deriváciu v bode x0 a platí
[f(g(x0))]’ = f’(u0)g’(x0).
Veta3. ( Derivácia inverznej funkcie.

) Nech funkcia f je spojitá a

rýdzo monotónna na intervale I. Ak má funkcia f každom
vnútornom bode y tohto intervalu deriváciu f’(y) ą 0, tak

inverzná funkcia f-1 má v každom bode x = f(y) deriváciu a
1
platí: [f-1(x)]’ = ľľľľľľľ .

[f’(y)]
y=f-1(x)
Vzorce na derivovanie elementárnych funkcií.
Veta4. Platí
a) (k)’ = 0,

k je konštanta, kÎR

b) (sin x)’ = cos x,

xÎR

c) (cos x)’ = -sin x,

xÎR

d) (tg x)’ = 1 / cos2x,

xÎR \ {x; x=p/2 + kp, kÎZ}

e) (cotg x)’ = - 1 / sin2x, xÎR \ {x; x=kp, kÎZ}

f)

(ln x)’ = 1 / x,

x>0

g) (ex)’ = ex,xÎR
h) (ax)’ = axlna,

xÎR

i) (log

ax)’ = 1 / xlna

x>0

j) (arcsin x)’ = 1 / Ö1-x2, xÎ(-1,1)
k) (arccos x)’ = - 1 / Ö1-x2, xÎ(-1,1)
l) (arctg x)’ = 1 / x2 + 1, xÎR
m) (arccotg x)’ = - 1 / x2+1,

xÎR

n) (xa)’ = axa - 1, aÎN, xÎR

aÎZ \ <0,Ą), xÎR\{0}

aÎR, xÎ(0,Ą)

Diferenciál funkcie.
Def.1. Nech funkcia f je definovaná v okolí bodu x0. Hovoríme,
že funkcia f je v bode x0 diferencovateľná (má v bode x0
diferenciál) práve vtedy, ak prírastok funkcie Df = f(x0 + h) -

f(x0) môžeme vyjadriť v tvare f(x0 + h) - f(x0) = A h + ht(h),

kde A je konštanta a t funkcia, pre ktorú platí:

limt(h) = t(0) = 0.

Výraz Ah nazývame diferenciál funkcie v bode x0 a značíme ho
df(x0), resp. df(x) v prípade, že x je „premenný bod“.
Veta1. Funkcia f je v bode x0 diferencovateľná (má v bode x0
diferenciál) práve vtedy, ak má v bode x0 deriváciu, pričom
df(x0) = f’(x0)h.
f(x0 + h) - f(x0)
lim ľľľľľľľľ = f’(x0)

h®0 h
Vety o strednej hodnote

. Monotónnosť funkcie.

Fermatova veta: Nech funkcia f nadobúda v nejakom bode
c Î (a,b) maximálnu [minmálnu] hodnotu a nech existuje f’(c).

Potom je f’(c) = 0.
Rollerova veta. Nech funkcia f má tieto vlastnosti:
1. je spojitá na intervale <a,b>,
2. je diferencovateľná na intervale (a,b),
3. f(a) = f(b).

Potom existuje aspoň jeden bod c Î (a,b), taký, že f’(c) = 0.

Cauchyova veta: Nech funkcia f a g majú vlastnosti:
1. sú spojité na intervale <a,b>
2. sú diferencovateľné na (a,b)
3. g’(x) ą 0, pre x Î (a,b).

Potom existuje aspoň jedno číslo c Î (a,b), pre ktoré platí:

f(b) - f(a) f’(c)
ľľľľ = ľľľ

g(b) - g(a) g’(c)
Lagrangeova veta: Nech funkcia f má tieto vlastnosti:
1. je spojitá na <a,b>

2. je diferencovateľná na (a,b)

Potom existuje taký bod c Î (a,b), pre ktorý platí:

f(b) - f(a)
ľľľľ = f’ c,

b - a

f(b) - f(a) = f’(c)(b - a).

Postačujúca podmienka monotónnosti funkcie na interva

le:

Nech funkcia f je spojitá na intervale I (konečnom alebo
nekonečnom) a nech je v každom vnútornom bode tohto
intervalu diferencovateľná. Ak v každom vnútornom bode
intervalu I platí:
a) f’(x) > 0 tak funkcia f je na inetrvale I rastúca
b) f’(x) < 0 tak funkcia f je na inetrvale I klesajúca
c) f’(x) ł 0 tak funkcia f je na inetrvale I neklesajúca
d) f’(x) Ł 0 tak funkcia f je na inetrvale I nerastúca.

Nutná postačujúca podmienka rýdzo monotónnosti
diferencovateľnej funkcie: Nech funkcia f je spojitá na
intervale I a diferencovateľná v každom vnútornom bode
intervalu I. Potom funkcia f je na intervale I rastúca [klesajúca]
práve vtedy, ak f’(x) ł 0 [f’(x) Ł 0 v každom vnútornom bode

intervalu I, pričom tie body, v ktorých f’(x) = 0 netvoria
interval I1, I1 Ě I.

Vyššie derivácie a diferenciály.
Def.1. Nech funkcia f je definovaná na množine M a nech n Î

N Č {0}. Derivácia n - tého rádu (n - tú deriváciu) funkcie f na

množine Mn rozumieme funkciu f(n), pre ktorú platí:
1. f(0) = f, M

0 = M

2. Nech existuje derivácia funkcie f(n - 1) na množine

Mn Ě Mn - 1, t.j. existuje limita

f(n - 1)(x + h) - f(n - 1)(x)
lim ľľľľľľľľľľľ = [f(n - 1)(x)]’, n Î N.

h®0 h
Potom f(n) = [f(n - 1)]’ , Mn Ě Mn - 1 , n Î N.

Veta1. (Leibnizov vzorec) ak funkcie u, v majú na množine M
derivácie n - tého rádu, potom aj ich súčin má na množine M
deriváciu n - tého rádu a platí:
n
(u . v)(n) = ĺ (nk)u(k) . v(n - k)

k=0
Diferenciál n - tého rádu:
Def.2. Nech funkcia f má v bode x0 deriváciu f(n)(x0). Funkciu
j : j(h) = f(n)(x0)hn, h Î R, nazývame diferenciálom n - tého

rádu (n - tým diferenciálom) funkcie f v bode x0.Označujeme ho
znakom dn f(x0), resp. dn f(x0, h).
Ak bod x0 je premenný, označíme ho x, potom používame
označenie dn f(x), resp. dn f(x, h) a hovoríme o diferenciáli n-
tého rádu funkcie f alebo o n - tom diferenciáli funkcie f.
Teda:
dn f(x0) = dn f(x0,h) = f(n)(x0)hn,
dn f(x) = dn f(x,h) = f(n)(x)hn.
Pre zápis diferenciálu funkcie sa používa tiež označenie
dn y = f(n)(x0)(x)dxn.
Odkiaľ f(n)(x) = dny / dxn.
L

’ Hospitalovo pravidlo

Veta1. Nech lim f(x) = lim g(x) = 0. Ak existuje vlastná alebo
x®x0 x®x0
nevlastná limita lim f’(x) / g’(x), potom existuje tiež limita
x’®x’0
lim f(x) / g(x) a platí:
x®x0

lim f(x) / g(x) = lim f’(x) / g’(x).
x®x0 x’®x’0

Veta2. Nech lim˝g(x)˝ = Ą, xe Î R*. Ak existuje vlastná alebo

nevlastná limita lim f’(x) / g’(x) , tak existuje tiež limita
x’®x’0

lim f(x) / g(x) a platí: lim f(x) / g(x) = lim f’(x) / g’(x
x®x0 x®x0 x’®x’0

Neurčitý výraz typu 0 .

Ą

:

Ak lim f(x) = 0, lim˝g(x)˝ = Ą, tak limitu lim [f(x) . g(x)]

x®x0 x®x0 x®x0

upravíme na tvar lim f(x) / 1/g(x)
x®x0

alebo tvar L’m g(x) / 1/f(x),
x®x0

čo je vlastne limita typu 0/0, resp. Ą/Ą.

Určitý výraz typu

Ą

- Ą

:

Ak lim f(x) = lim g(x) = Ą, potom limitu

x®x0 x®x0

lim [f(x) - g(x)] upravíme na tvar
x®x0

1 / g(x) - 1 / f(x)
lim ľľľľľľľ

x®x0 1 / f(x)g(x)
čím sme vlastne limitu typu Ą - Ą upravili na limitu typu 0/0,

kedy už pri splnení predpokladov vety 1 môžeme použiť
L’Hospitalovo pravidlo.
Neurčité výrazy typu 1

Ą , Ą

0 , 0

0 :

Limitu lim f(x)g(x) prepíšeme do tvaru lim eg(x) ln f(x) a za
x®x0 x®x0

predpokladu, že sú splnené prískušné podmienky, použijeme
vetu o limite zloženej funkcie. Teda
lim g(x) ln f(x)
lim f(x)g(x) = ex®x0
exponent na pravej strane predchádzajúceho výrazu je limita
typu 0 - Ą, ktorú vieme upraviť na limitu typu 0 / 0 alebo Ą / Ą

(Pozri vyššie, pozn. red.)

Taylorova veta.
Nech funkcia f má v bode x0 n - tú deriváciu f(n)(x0) (teda má aj
všetky derivácie f(k)(x0). k>n). Hľadajme polynomickú funkciu
Tn najviac n- tého stupňa, ktorá spĺňa podmienky:
f(k)(x0) = Tn(k)(x0), k = 0,1,...,n.
Polynomickú funkciu Tn vyjadríme v tvare:
Tn(x) = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)2 + ...+an(x - xn)n.
Potom jej k - ta derivácia je:
Tn(k)(x) = k! ak + (k + 1)k ... 3 . 2 . 1 . ak + 1(x - x0)+ ...+ n(n- -
1)...(n-k+1)an(x - x0)n - k, kde k = 1, 2, ..., n.
Pritom f(k)(x0) = Tn(k)(x0) = k! ak.
Odtiaľ: ak = f(k)(x0) / k!, pre k = 1, 2 ... n

a0 = f(x0) = f(0)(x0) / 0!.
n
Polynóm: Tn(x) = Tn f(x,x0) = ĺ[ f(k)(x0) / k!] . (x - x0)n ,

k = 0
nazývame Taylorovým polynómom (najviac) n - tého stupňa
funkcia f v bode x0. Ak použijeme označenie diferenciálu n -
tého rádu funkcie f v bode x0
dn f(x0) = f(n)(x0)(x - x0)n môžeme Taylorov polynóm napísať
v tvare :
n
Tn(x) = ĺ d(k)f(x0) / k! .

k = 0

Taylorova veta.
Nech funkcia f má v nejakom okolí Od(x0) (n + 1) - vú

deriváciu. Potom pre bod x Î Od(x0) platí Taylorov vzorec:
n
f(x) = ĺ [f(k)(x0) / k!] . (x - x0)k + Rn(x)

k = 0

kde Rn je zvyšok, ktorý môžeme vyjadriť v tvare
Rn(x) = [x - x0)n+1 / (n + 1)!] . f(n + 1)(x ) ,

x Î (x0,x) alebo x Î (x, x0) t.j. x = x0 + n (x - x0), n Î (0,1) ..

Konvexnosť a konkávnosť funkcie. Inflexný bod funkcie.
Def.2. Funkciu f je diferencovateľnú na intervale (a,b)
nazývame konvexnou [konkávnou] na intervale (a,b) práve
vtedy, ak je konvexná [konkávna) v každom bode tohto
intervalu.
Veta1. Ak má funkcia f v každom bode intervalu (a,b) kladnú
[zápornú] druhú deriváciu, potom je na tomto intervale
konvexná [konkávna].
Veta2. Nech funkcia f je diferencovateľná na intervale (a,b).
Funkcia f’ je rastúca [klesajúca] na intervale (a,b) práve vtedy,
ak funkcia f je konvexná [konkávna] na intervale (a,b).
Inflexný bod funkcie.
Def.3. Nech funkcia f je diferencovateľná v bode x0. Ak existujú
také neúplné okolia Ód- (x0), = Ód+ (x0), že funkcia f je

konvexná /konkávna/ na Ód- (x0) a konkávna /konvexná/ na

Ód+ (x0), tak bod x0 nazývame inflexný bod funkcie f , resp. bod

(x0, f(x0)) nazývame inflexný bod grafu funkcie f. Hovoríme
tiež, že graf funkcie prechádza v bode (x0,f(x0))
z konvexnosti /konkávnosti/ do konkávnosti /konvexnosti/.
Z definície vyplýva, že bod x0 je inflexným bodom práve
vtedy, ak je splnená práve jedna z podmienok 1, resp. 2:

1) (f(x) > f(x

0) + f’ (x0)(x - x0), pre x

Î Ód- (x0)) Ů

Ů (f(x)< f(x0) + f’ (x0)(x - x0), pre x Î Ód+ (x0)) Ů

2) (f(x)< f(x0) + f’ (x0)(x - x0), pre x Î Ód- (x0)) Ů

Ů (f(x)> f(x0) + f’ (x0)(x - x0), pre x Î Ód+ (x0)) Ů

V inflexnom bode prechádza teda graf z polohy na /pod/
dotyčnicou do polohy pod / nad/ dotyčnicou. Túto dotyčnicu
nazývame inflexnou dotyčnicou.
Veta3. Ak f’’(x) > 0, pre x Î (a, x0) a f’’(x) < 0, pre x Î (x0,b) a

existuje f’(x0) potom x0 je inflexný bod funkcie f.
Ak f’’(x) < 0, pre x Î (a,x0) a f’’(x) > 0, pre x Î (x0,b) a

existuje f’(x0) potom x0 je inflexný bod funkcie f.
Veta4. Nech f’’(x0) = 0 a f’’’(x0) ą 0. Potom bod x0 je inflexný

bod funkcie f. Ak je f’’’(x0) > 0 [f’’’(x0) < 0], prechádza v bode
(x0,f(x0)) graf funkcie z konkávnosti /konvexnosti/ do
konvexnosti /konkávnosti/.
Veta6. Nech funkcie f má v bode x0 derivácie
f’’(x0) = f’’’(x0) = ... = f(n - 1)(x0) = 0 a f(n)(x0) ą 0

potom platí:
a) Ak n je nepárne číslo a f(n)(x

0) > 0 [f

(n)(x0) < 0], tak bod x0

je infelxný bod funkcie f a funkcia prechádza
v bode x0 z kokávnosti / konvexnosti/ do
konvexnosti /konkávnosti/.

b) Ak n je párne, tak bod xé nie je inflexným bodom

funkcie f. Ak je f(n)(x0) > 0 [f(n)(x0) < 0] je funkcia f
v okolí bodu x0 konvexná / konkávna/.

Extrémy funkcie.
Def.1 hovoríme, že funkcia f má v bode x0 lokálne maximum /
lokálne minimum/ práve vtedy, ak existuje také neúplné okolie
Ód (x0), že pre všetky x Î Ód (x0) je f(x) Ł f(x0) [f(x) ł f(x0)]. ak

platí v uvedených nerovnostich iba znak ostrej nerovnosti,
hovoríme, že funkcia f má v bode x0 ostré lokálne
maximum /ostré lokálne minimum/. Lokálne maximum a
lokálne minimum nazývame spoločným názvom lokálne
extrémy. Spoločný názov pre označenie ostré lokálne
minimum, ostré lokálne maximum je ostré lokálne extrémy.
Veta1. Ak existujú oklia Ód- (x0) , Ód+ (x0), že funkcia f je na Ód-

(x0) rastúca /klesajúca/, na Ód+ (x0) klesajúca /rastúca/, tak

funkcia f má v bode x0 ostré lokálne maximum /minimum/.
Veta2. Ak funkcia f má v bode x0 lokálny extrém a ak existuje
v tomto bode derivácia f’(x0), tak f’(x0) = 0.
Def.2. Bod x0, pre ktorý f’(x0) = 0 nazývame stacionárnym
bodom funkcie f.
Veta3. Ak existujú derivácie f’+(x0) a pre ne platí:
f’- (x0) > 0 Ů f’+ (x0) < 0 [f’- (x0) < 0 Ů f’+ (x0) > 0], tak funkcia f

má v x0 ostré lokálne maximum /minimum/.
Veta4. Nech funkcia f je diferencovateľná na nejakom okolí
Ód (x0), v bode x0 spojitá a nech pre všetky x Î Ód+ (x0) je

f’(x) < 0 [f’(x) > 0]. Potom má funkcia f v bode x0 ostré lokálne
maximum /minimum/.
Veta5. Nech x0 je stacionárny bod funkcie f. Ak existuje f’’(x0)
ą 0, tak funkcia f má v bode x0 ostrý lokálny extrém a platí:

Ak f’’(x0) < 0, tak funkcia f má v bode x0 ostré lokálne
maximum.
Ak f’’(x0) > 0, tak funkcia f má vbode x0 ostré lokálne
minimum.
Veta6. Nech funkcia f má v bode x0 derivácie
f’(x0) = f’’(x0) = ... = f(n - 1)(x0) = 0 a f(n)(x0) ą 0

a f(n)(x0) ą 0

potom platí:
Ak n je párne číslo a f(n)(x0) > 0 [f(n)(x0) < 0], má funkcia f bode
x0 ostré lokálne minimum / maximum/.
Ak n je nepárne číslo a f(n)(x0) > 0 [f(n)(x0) < 0], tak funkcia f je
v bode x0 rastúca /klesajúca/.

Priebeh funkcie.
1. Určíme D(f) /ak nie je daný/, body nespojitosti funkcie,

priesečníky grafu funkcie so súradnicovým osami

a zistíme intervaly, na ktorých je funkcia kladná a
na ktorých záporná.

2. Vyšetríme párnosť, nepárnosť a periodičnosť funkcie.
3. Vyšetríme /jednostranné/ limity v bodoch nespojitosti

funkcie. Limity funkcie v nevlastných bodoch +Ą

a -Ą, limity či hodnoty v krajných bodoch D(f).

Určíme ohraničenosť funkcie.

4.

Určíme intervaly monotónnosti funkcie.

5.

Určíme lokálne extrémy funkcie.

6.

Určíme intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie.

7. Určíme inflexný bod funkcie.

8.

Určíme asymptoty grafu finkcie.

9.

Narysujeme graf funkcie.

Neurčitý integrál.
Def.1. Funkciu f nazývame primitívnou funkciou k funkcii f na
intervale I, ak pre čísla x Î I, paltí F’(x) = f(x). V krajných

bodoch intervalu I, ak k nemu patria, jedná sa o jednostrannú
deriváciu.
Veta1. Nech funkcia F je prirmitívna k funkcii f na intervale I.
Potom:
a) aj funkcia F + C, C Î R, je primitívna funkcia k funkcii f

na inetrvale I,

b) každá primitívna funkcia k funkcii f na intervale I je

tvaru G(x) = F(x) + C.

Def.2. Množinu všetkých primitívnych funkcií k funkcii f na
intervale I nazývame neurčitý integrál funkcie f na intervale I
a značíme ho: ň f(x) dx = F(x) + C, x Î I, C Î R.

Funckiu f nazývame integrovanou funkciou alebo integrandom,
bod C integračnou konštantou a x integračnou premennou.
Postačujúcu podmienku existencie primitívnej funkcie na
intervale I vyjadruje nasledujúca veta.
Veta2. Nech funkcia f je na intervale I spojitá. Potom k nej
existuje primitívna funkcia.
Základné neurčité integr

ály.

a) ň xs dx = (xs + 1 / s+1) + C.

x Î I Ě (-Ą , Ą), ak s je celé nezáporné,

x Î I Ě (-Ą , 0), alebo x Î I Ě (0 , Ą), ak s ą -1 je celé

záporné, x Î I Ě (0 , Ą), ak s nie je celé číslo.

b) ň 1/x (dx) = ln ˝x˝ + C, na každom intervale

neobsahujúcom bod x = 0.

c) ň exdx = ex + C, x Î I Ě (-Ą , Ą).
d) ň axdx = (ax / ln a) + C, x Î I Ě (-Ą , Ą), ak x>0, aą1.
e) ň sin x dx = - cos x + C, x Î I Ě (-Ą , Ą).
f) ň cos x dx = sin x + C, x Î I Ě (-Ą , Ą).
g) ň (1/cos2x) dx = tg x + C, na každom intervale I

neobsahujúcom bod x = (2k + 1)p/2, k Î Z.

h) ň (1/sin2x) dx = - cotg x + C, na každom intervale I

neobsahujúcom bod x = kp, k Î Z.

i) ň (1/Ö 1 - x2) dx = arcsin x + C

a súčasne aj - arccos x + C, x Î I Ě (-1 , 1).

j) ň (1/ 1 + x2) dx = arctg x + C

a súčasne aj - arccotg x + C, x Î I Ě (-Ą , Ą).

k) ň [f’(x) / f(x)] dx = ln ˝f(x)˝ + C, na každom intervale I

neobsahujúcom bod x, pre ktorý f(x) = 0.

l) ň (1 / a2 + x2) dx = (1 / a) arctg (x / a) + C,

x Î I Ě (-Ą , Ą), a ą 0

m) ň (1 / a2 - x2) dx = arcsin (x / a) + C,

x Î I Ě (-˝a˝,˝a˝), a ą 0

Veta2. Nech Fi je primitívna funkcia k funkcii fi, i = 1,2,...,n, na
intervale I a ki sú reál.čísla. Potom platí:
ň [k1f1(x) + k2f2(x) + ... + knfn(x)] dx = k1 ň f1(x) dx + k2 ň f2(x)

dx + ... + kn ň fn(x) dx = k1 . F1 + k2 . F2 + ... + kn . Fn + C.

Integrovanie substitu

čnou metódou.

Veta1. Nech funkcia F je primitívna funkcia k funkcii f na
intervale J a nech funkcia g má deriváciu v každom bode
intervaku I. Ďalej nech pre každé x Î I je g(x) Î J potom na

intervale I je zložená funkcia F(g) primitívna funkcia k funkcii
f(g) . g’ Ţ ň f(g(x)) g’(x) dx = F(g(x)) + C, x Î I.

Ak integrovaná funkcia je tvaru f(g) . g’ t.j. ak je súčinom
dvoch funkcií, pričom jedna z nich je zložená a druhá je
deriváciou vnútornej zložky zloženej funkcie, tak pri výpočte
integrálu môžeme postupovať takto:

n namiesto vnútornej zložky zloženej funkcie položíme

novú premennú /zavedieme substitúciu g(x) = t /

n diferencovaním ľavej a pravej strany substitúcie dľa

príslušnej premennej dotaneme rovnosť
diferenciálov g(x) dx = dt.

n Dosadíme g(x) = t a g’(x) dx = dt do pôvodného

integrálu, dostaneme integrál ň f(t) dt, ktorý je pre

výpočet jednoduchší.

n Ak vieme určiť primitívnu funkciu F k funkcii f , určíme

ju a vrátime sa k pôvodnej substitúcii, ktorú
dosadíme do F. Takto dostaneme primitívnu
funkciu k funkcii f a teda aj k funkcii f(g) g’ ako
funkciu premennej x.

ň f(g(x)) g’(x) dx = {subst. t=g(x), dt = g’(x) dx} =

= ň f(t) dt = F(t) + C = F(g(x)) + C

Met

óda per partes.

Veta1. Nech funkcie u,v majú spojité derivácie na intervale I.
Potom platí ň u(x)v’(x) dx = u(x)v(x) - ň u’(x)v(x) dx.

Určitý integrál.
Riemannova definícia

určitého integrálu.

Riemannov - Cauchyho integrál.
Def.1. Funkciu f nazývame integrovateľnou /v zmysle
Riemanna/ na uzavretom intervale <a,b> práve vtedy, ak
existuje také reál.číslo A, že pre každú normálnu postupnosť
delení (Dn)Ąn = 1 intervalu <a,b> a pre každú ľubovoľnú voľbu
bodov ck, ck Î <xk - 1, xk>, k = 1,2,..., n platí:

lim Sf (Dn) = A.
n®Ą

Číslo A nazývame určitým integrálom funkcie f na intervale
<a,b> a označujeme ho symbolom
ň ba f(x) dx.

Číslo a sa nazýva dolnou a číslo b hornou hranicou určitého
integrálu.
Def.2. Ak funkcia f je integrovateľná na intervale <a,b> potom
definujeme:
ň ab f(x) dx = - ň ba f(x) dx.

Pre každú funkciu f, kladieme ň ab f(x) dx = 0.

Veta1. /Nutná podmienka existencie určitého integrálu./ Ak
funkcia f je integrovateľná na intervale <a,b>, potom je na
tomto intervale ohraničená.
Veta2. Ak funckia f je na intervale <a,b> ohraničená a na tomto
intervale má konečný počet bodov nespojitosti, potom je na
intervale <a,b> integrovateľná.
Veta3. Ak funkcia f je na intervale <a,b> spojitá, potom funkcia
f je na tomto intervale integrovateľná.
Veta určitého integrálu.
Veta1. Nech funkcie f1, f2, ..., fn sú integrovateľné na intervale
<a,b> a nech {k1, k2, ..., kn} Ě R. Potom platí:

ň ba [k1f1(x) + k2f2(x) + ... + knfn(x)] dx =

= k1 ň f1(x) dx + k2 ň f2(x) dx + ... + kn ň fn(x) dx.

Veta2. Ak funkcia f nadobúda na intervale <a,b> nezáporné
hodnoty a je na tomto intervale integrovateľná, potom
ň ba f(x) dx ł 0.

Veta3. Ak funkcie f,g sú integrovateľné na intervale <a,b> a
pre všetky x Î <a,b> platí: f(x) Ł g(x), tak:

ň ba f(x) dx Ł ň ba g(x) dx.

Veta4. Nech funkcia f je integrovateľná na intervale <a,b>.
Označíme m = inf f(x) a M = sup f(x)
x Î <a,b> x Î <a,b>
potom platí: m(b - a) Ł ň ba f(x) dx Ł M(b - a).

Veta5. /Veta o strednej hodnote integrálneho počtu./ Nech
funkcia f je spojitá na intervale <a,b>. Potom v tomto intervale
existuje číslo c, že platí:
ň ba f(x) dx = f(c)(b - a).

Veta6. Nech funkcia f je integrovateľná na intervaloch <a,c>,
<c,b>. Potom je integrovateľná na intervale <a,b> a platí:
ň ba f(x) dx = ň ca f(x) dx + ň bc f(x) dx.

Veta7. Nech funkcia f je integrovateľná na intervale <a,b> a
nech <c,d> Ě <a,b>. Potom funkcia je integrovateľná na

intervale <c,d>.
Metódy výpočtu určitého integrálu.
Veta1./Leibnizova - Newtonov./ Nech funkcia f je
integrovateľná na intervale <a,b> a nech funkcia F je
primitívna funkcia k funkcii f na tomto intervale. Potom platí:
ň ba f(x) dx = [F(x)]ba = F(b) - F(a).

Určitý integrál s

premenno

u hornou hranicou.

Ak x uvažujeme ako premenný bod intervalu, tak integrálom
ňxa f(t) dt je definovaná nová funkcia, ktorú označíme F a

voláme ju integrál ako funkcia hornej hranice resp. integrál
s hornou premennou hranicou.
Veta2. Ak funkcia f je integrovateľná na intervale <a,b>, tak
funkcia F(x) = ňba f(x) dt je spojitá na intervale <a,b>.

Veta3. Ak funkcia f je spojitá na intervale <a,b>, tak funkcia
F(x) = ňxa f(t) dt je diferencovateľná v každom bode intervalu

<a,b>, pričom v krajných bodoch intervalu ide o jednstrannú
deriváciu a platí F’(x) = f(x).
Veta4. Ak funkcia f je spojitá na intervale I, existuje k nej
primitívna funkcia na tomto intervale. Jedna z primitívnych
funkcií k funkcii f na intervale I /otvorenom, uzavretom .../,
ktorého krajné body sú a,b, a < b, je funkcia
F(x) = ň xc f(t) dt, c Î <a,b>.

Substitučná metóda pre určitý integrál.
Veta5. Nech sú splnené nasledujúce predpoklady:
a) funkcia f je spojitá na intervale <a,b>,
b) funkcia g má na intervale <a,b> spojitú deriváciu,
c) " t Î <a,b>: g(t) Î <a,b>,

d) a = g(a), b = g(b).

Potom platí: ň ba f(x) dx = ň ba f(g(t)) g’(t) dt.

Veta6. Nech funkcie u, v majú spojité derivácie na intervale
<a,b>. Potom platí:
ň ba u(x)v’(x) dx = [u(x)v(x)]ba - ň ba u’(x)v(x) dx.

Niektoré aplikácie určitého integrálu.
Obsah plochy rovinného útvaru.
Obsah P plochy rovinného útvare je rozdielom obsahov dvoch
plôch rovinnbých útvarov : Plochy útvaru ohraničeného
priamkami y = 0, x = a, x = b a grafom funkcie f ktorej obsah je
P1 = ň ba f(x) dx a plochy rovinného útvaru ohraničeného

priamkami y = 0, x = a, x = b a grafom funkcie g, ktorej obsah
je P2 = ň ba g(x) dx. Potom P = P1 - P2 =

= ň ba f(x) dx - ň ba g(x) dx = ň ba [f(x) - g(x)] dx.

Objemy rotačných telies.
Nech (Dn)Ąn = 1 je ľubovoľná normálna postupnosť delení
intervalu <a,b>. Potom pre každé delenie Dn intervalu <a,b> a
každú voľbu bodov ck Î <xk - 1, xk>, k = 1,2,...,n vytvorme

integrálny súčet
n
Sf (Dn) = ĺ p f2(ck) D xk.

k = 1

Číslo p f2 (ck) D xk vyjadruje približne čiastočný objem DVk

/objem valca/ časti nami uvažovaného rotačného telesa, ktoré
vznikne rotáciou plochy ohraničenej priamkami y = 0, x = xk - 1,
x = xk a grafom funkcie f okolo osi x. Číslo Sf(Dn) pre dané
delenie Dn a voľbu bodov c1, c2, ..., cn vyjadruje približne objem

rotačného telesa, koré vznikne vyššie popísaným spôsobom.
Limitovaním funkcie Sf(Dn) pre n®Ą vzhľadom na spojitosť

funkcie f na intervale <a,b> a teda aj spojitosť funkcie f2 na
tomto intervale, dostaneme objem V uvažovaného rotačného
telesa:
V = lim Sf(Dn) = p ň ba f2(x) dx.

n®Ą
Nevlastný integrál.
Pri definícii určitého integrálu funkcie f na intervale <a,b> sme
predpokladali, že interval <a,b> je konečný. Podľa tejto
definície nie je možné počítať neurčitý integrál na
neohraničených intervaloch <a,Ą), (-Ą,a>, (-Ą,Ą), pretože nie

je možné vytvoriť integrálny súčet Sf(Dn). Podobne nie je
možné použiť spomínanú definíciu ani na konečnom intervale
<a,b> , ak funkcia f na tomto intervale nie je ohraničená.
Def.1. /Nevlastný integrál na neohraničenom intervale./ Nech
funkcia f je definovaná na intervale <a,Ą) [(-Ą,b>] a nech pre

každé t Î <a,Ą) [t Î (-Ą,b>] existuje integrál

ň ta f(x) dx [ň tb f(x) dx].

Ak existuje vlastná limita
lim ň ta f(x) dx [lim ň tb f(x) dx] ,

t®Ą t®-Ą

hovoríme, že nevlastný integrál
ň Ąa f(x) dx [ň b-Ą f(x) dx]

konvergujeme a kladieme
ň Ąa f(x) dx = lim ň ta f(x) dx [ň b-Ą f(x) dx = lim ň tb f(x) dx].

t®Ą t®-Ą

Nech funkcia f je definovaná na intervale (-Ą,Ą) a c je

ľubovoľné reál.číslo.
Ak konvergujú integrály ň c-Ą f(x) dx, ň Ąc f(x) dx, tak kladieme

ň Ą-Ą f(x) dx = ň c-Ą f(x) dx + ň Ąc f(x) dx

a hovoríme, že integrál ň Ą-Ą f(x) dx konverguje.

Ak niektorý zo spomínaných nevlastných integrálov nie je
konvergentný, tak hovoríme, že diverguje.
Def.2. /Nevlastný integrál neohraničenej funkcie./ Nech funkcia
f je definovaná na intervale <a,b) [(a,b>] a nech je
neohraničená v každom ľavom okolí bodu b [v každom pravom
okolí bodu a].Ak existuje limita lim ň ta f(x) dx [lim ňbt f(x) dx],

t®b- t®a+

tak hovoríme, že nevlastný integrál funckie f na intervale <a,b>
konverguje a kladieme
ň ba f(x) dx = lim ň ta f(x) dx [ň ba f(x) dx = lim ň bt f(x) dx].

t®b- t®a+

Ak funkcia f nie je ohraničená ani v každom pravom okolí bodu
a ani vkaždom ľavom okolí bodu b a nevlastné integrály
ň ca f(x) dx, ň bc f(x) dx, c Î (a,b) konvergujú, tak kladieme

ň ba f(x) dx = ň ca f(x) dx + ň bc f(x) dx.

Integrovanie rozkladu na parcialne zlomky.
ň P(x)/Q(x)dx, P(x)..polynom n-teho stupna, Q(x)..m-teho,

1. A/x-a, ň A/kx+q.dx=A/k.ň k/kx+q.dx=A/k lnçkx+qç+C
ň3/2x+5.dx=3/2ň2/2x+5.dx

2. B/(x-a)n

3. Ax+B/x2+px+q, D<0

D>0, ňMx+N/(x-x1)(x-x2).dx=ňA/x-x1.dx + ňB/x-x2.dx
ň5x+4/x2+5x+4.dx=ň5x+4/(x-1)(x-4).dx=ň(A/x-1 + B/x-4)dxŢ

vypocitame konstanty 5x+4=A(x-4)+B(x-1),x=1,

9=-3A,A=-3,

x=4, 24=3B,B=8Ţ-3ň1/x-1 dx+8ň1/x-4

dx=-3lnďx-1ď+8lnďx-4ď+C

Nekonečný rad.
Na {an}Ąn=1 = a1,a2,.....an je nekonečná postupnosť reál.čísel,
potom výraz

Ą

a1+a2+....+an = ĺ an

n=1
nazývame nekonečný číselný rad.
harmonický rad napr. 1/n

Ą

geometrický rad ĺ = a . qn + 1 q - kvocient radu

n=1
Ak je post. {sn}Ąn=1 čiastočných súčtov radu konverg. /má
vlastnú limitu/ s = lim sn
n®Ą
hovoríme, že rad je konverg. a má súčet s.
......ak nemá vlastnú limitu - divergentný
lim sn = ± Ą súčet je ± Ą

n®Ą

rad, ak limita neexistuje /rad osciluje/
...aritmet. post. sn = n/2 . (a1 + an)
geom. post. sn = a1 . [(qn - 1) / (q - 1)]
s = a / q - 1, ak çqç < 1

Cauchyho - Bolzanova veta.

Ą

Rad ĺ = an je konverg. práve vtedy, keď k ľub. číslu ĺ > 0

m=1

existuje také číslo m, že pre každé dve prísl. čísla p, r, pre kt.
platí r > p > n platí:
çap + 1 + ap + 2 + .....+ arç < ĺ

Nutná podmienka konverg. radu, ak rad ĺ an konverguje, tak

lim an = 0.
n®Ą

Alternujúci rad. Ą

Rad a1 - a2 + a3 - a4 +......+ (-1)n - 1 an + .... = ĺ (-1) n - 1 an, kde

n=1
an > 0 pre "n nazývame alternujúci rad.

Absol. konv. rad. Ą

Rad ĺ an = a1 + a2 + a3 + .......an nazývame

n=1

Ą

konv. rad, ak je konv. rad ĺ çanç = ça1ç+ ça2ç+ ...

n=1

Ą

Ak je rad ĺ an konv, avšak rad ĺ çanç je div. tak

n=1

Ą
ĺ an je relatívne konv. rad.

n=1

Mocninové rady.
Funkcionálny rad
c0 + c1 . (x - x0) + c2(x - x0)2 + ... + cn(x - x0)n =
Ą

= ĺ cn .(x - x0)n sa nazýva mocninový /potenčný/ rad so

n=0

stredom v bode x0. Reál. čísla c1... sú koeficioentami radu.
Polomer konverg. Číslo q > 0 sa nazýva polomer konverg. ak
q = 0 rad konverguje len v bode x0 = 0.
k = lim ç(cn + 1) / cnç q = 1 / k pre k < 0

n®Ą q = Ą pre k = 0

k = lim nÖ çcnç q = 0 pre k = Ą

n®Ą

Nekonečný rad. Porovnávajúce kritérium.
Nech rad ĺ bn je majoritný rad k radu ĺ an.

Potom
a) ak rad ĺ bn je konverg. aj ĺ an je konverg.

b) ak rad ĺ an je diverg. je diverg. aj ĺ bn.

Majoritný rad.
Rad ĺ bn je majoritný rad k radu ĺ an ak existuje n, že pre
"n > k platí: bn

ł an > 0.

D’

Alambertovo kritérium.

Ak rad ĺ an s kladnými členmi je taký, že existuje limita

lim (an + 1) / an = l tak aj je: a) l < 1 ® konverg.

n®Ą b) l > 1 ® diverg.

Cauchyho.
Ak existuje lim nÖan = l čísel. radu ĺ an, tak ak je

n®Ą

a) l < 1 ® konverg.

b) l > 1 ® diverg.

Integrálne. Nech daný rad ĺ an má hl. nerast. členy

(0 < an + 1 Ł an), nech f je spojitá, nerastúca /kladná/ na intervale

<1, Ą), tak, že platí:
"n: f(n) = an. Potom rad konverguje alebo diverguje súčasne

s nevlastným integrálom ň Ą1 f(x) dx.

Leibnizovo.
Ak pr alternujúci rad platí: a1 > a2 > a3 > a4 > ... > an >
> an + 1 >....> 0
lim an = 0, tak je rad konverg.
n®Ą