nechodím na prednáškyZobrazenia a kužeľosečky
Stiahnuť PDF · 483 kBPreber si túto poznámku so svojou AI
Skopíruj pripravený podklad a vlož ho do ChatGPT, Claude alebo inej AI — bude ťa učiť alebo skúšať len z tejto poznámky.
Náhľad poznámky
Katedra matematiky Fakulty humanitn´
ych a pr´ırodn´
ych vied
Preˇ
sovskej univerzity v Preˇ
sove
ZOBRAZENIA a KUˇ
ZEˇ
LOSE ˇ
CKY
Doc. RNDr.J´
an Dupl´
ak, PhD.
2005
c
Doc. RNDr. J ´
a n
D u p l ´
a k , CSc.
Obsah
PREDSLOV
AFINN ´
E ZOBRAZENIA
1
15 Afinn´
e zobrazenie a jeho analytick´
e vyjadrenie
1
16 Invarianty afinn´
ych zobrazen´
ı
7
17 Urˇ
cenosˇ
t afinn´
eho zobrazenia
9
18 Priame a nepriame afinity
10
NIEKTOR ´
E TYPY AFINN ´
YCH ZOBRAZEN´
I
12
19 Rovnobeˇ
zn´
e premietanie
12
20 Perspekt´
ıvna afinita
14
21 Podobn´
e zobrazenia
16
22 Zhodn´
e zobrazenia
20
AFINN ´
E ZOBRAZENIA v E1, E2, E3
24
23 Afinity na priamke
24
24 Afinity na rovine
24
25 Zhodnosti na rovine
27
26 Zhodnosti na E3
31
27 Podobnosti na rovine
32
APLIK ´
ACIE ZOBRAZEN´
I
35
28 Podobnosˇ
t a zhodnosˇ
t ´
utvarov v En
35
29 Pouˇ
zitie zobrazen´
ı
39
PROJEKT´
IVNA ROVINA a KOLINE ´
ACIE
47
30 Projekt´
ıvna rovina
47
KUˇ
ZEˇ
LOSE ˇ
CKY
57
31 Defin´
ıcia kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky
57
32 Prienik priamky s kuˇ
zeˇ
loseˇ
ckou
57
33 Dotyˇ
cnice a singul´
arne body kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky
60
34 Pol´
arne vlastnosti kuˇ
zeˇ
loseˇ
ciek
62
35 Metrick´
e vlastnosti kuˇ
zeˇ
loseˇ
ciek
65
LITERAT ´
URA
69
PREDSLOV
Tieto uˇ
cebn´
e texty vznikli z druh´
eho vydania Geometrie I a II oddelen´ım ˇ
casti II Zobrazenia a kuˇ
zeˇloseˇ
cky.
ˇ
C´ıslovanie kapitol, ˇ
cl´
ankov a vzorcov preto nadv¨
azuje na ˇ
c´ıslovanie z ˇ
casti I. Texty preˇ
sli niektor´
ymi zmenami
(napr. boli pridan´
e ´
ulohy v cviˇ
ceniach kaˇ
zdej kapitoly). Najv¨
aˇ
cˇ
sia zmena sa dotkla ˇ
cl´
ankov o projekt´ıvnej rovine
a kuˇ
zeˇloseˇ
ck´
ach. Pre pochopenie obsahu sa od ˇ
citateˇla vyˇ
zaduj´
u znalosti z uˇ
cebn´
ych textov Afinn´
e a Euklidovsk´
e
priestory (t.j. z Geometrie I).
Preˇ
sov, okt´
ober 2005
Autor
1
A F I N N ´
E
Z O B R A Z E N I A
15
Afinn´
e zobrazenie a jeho analytick´
e vyjadrenie
Rovnoˇlahlosˇ
t
Trieda afinn´
ych zobrazen´ı hr´
a v geometrii dˆ
oleˇ
zit´
u ´
ulohu z viacer´
ych dˆ
ovodov.
Niektor´
e afinn´
e zobrazenia
s´
u rovnobeˇ
zn´
e ( a ˇ
speci´
alne aj kolm´
e) premietania, dˆ
oleˇ
zit´
e najm¨
a pri zobrazovan´ı trojrozmern´
eho priestoru na
dvojrozmern´
y, niektor´
e s´
u izomorfizmy afinn´
ych priestorov a niektor´
e zase ”pohyby” v euklidovsk´
ych priestoroch.
K afinn´
ym zobrazeniam (pouˇ
z´ıvan´
ym i v praxi) patr´ı rovnoˇlahlosˇ
t. Rovnoˇlahlosˇ
t, ako zobrazenie E2 → E2 je
zaraden´
e do vyuˇ
covania matematiky na stredn´
ych ˇ
skol´
ach. Tam sa preberali niektor´
e jej dˆ
oleˇ
zit´
e vlastnosti:
Obraz priamky je priamka s ˇ
nou rovnobeˇ
zn´
a, obraz ´
useˇ
cky je ´
useˇ
cka, atˇ
d. Jej defin´ıcia bola nasledovn´
a: Dan´
y
je bod S a re´
alne ˇ
c´ıslo k 6= 0, 1. Ku kaˇ
zd´
emu bodu X zostroj´ıme X0 takto: Pre bod X = S je X0 = S ;
ak X 6= S, zostroj´ıme bod X0 na priamke SX tak, ˇ
ze
−→
SX0 = k.
−→
SX; pritom X ∈ SX , ak k > 0 a X leˇ
z´ı
na polpriamke opaˇ
cnej k SX , ak k < 0. Zobrazenie, ktor´
e podˇla tohto predpisu priraˇ
duje bodu X bod X0,
naz´
yvame rovnoˇlahlosˇ
t. T´
uto defin´ıciu zovˇ
seobecˇ
nuje
Defin´
ıcia 15.1 V Rn je dan´
y bod S a re´
alne ˇ
c´ıslo k 6= 0.
Zobrazenie ρ : Rn → Rn, X 7→ X
0 naz´yvame
rovnoˇlahlosˇ
t (tieˇ
z homotetia) na Rn, ak
−→
SX0 = k.
−→
SX
(t.j.
X
0 = S + k.
−→
SX);
(15.1)
bod S naz´
yvame stred a ˇ
c´ıslo k charakteristika rovnoˇ
lahlosti ρ; oznaˇ
cenie: ρ[S, k].
Nech rovnoˇlahlosˇ
t ρ[S, k] na Rn zobraz´ı body X, Y v porad´ı do X
0, Y 0. Potom vzhˇladom na (15.1),
−→
X0Y 0 =
−→
SY 0 −
−→
SX0 = k.
−→
SY − k.
−→
SX = k(
−→
SY −
−→
SX) = k
−→
XY ,
ˇ
ciˇ
ze pre kaˇ
zd´
e dva body X, Y a ich obrazy X0, Y 0 v rovnoˇlahlosti s charakteristikou k, plat´ı
−→
X0Y 0 = k.
−→
XY .
(15.2)
Ak A0, B0, C0, D0 s´
u v porad´ı obrazy bodov A, B, C, D v rovnoˇlahlosti ρ, tak
−→
AB =
−→
CD ⇒
−→
A0B0 =
−→
C0D0 t.j.
−→
AB =
−→
CD ⇒
-
ρAρB =
-
ρCρD .
(15.3)
Skutoˇ
cne, keˇ
d
−→
AB =
−→
CD, potom podˇla (15.2)
−→
A0B0 = k.
−→
AB = k.
−→
CD =
−→
C0D0. Vlastnosˇ
t (15.3) umoˇ
zˇ
nuje
pomocou rovnoˇlahlosti na Rn definovaˇt nov´e zobrazenie (ktor´e budeme oznaˇcovaˇt ρ
#) oborom i druh´ym oborom,
ktor´
eho je zameranie priestoru Rn a teda je to zobrazenie mnoˇziny vektorov ( a nie bodov!) na seba:
ρ
# : ~
Rn → ~
Rn,
ρ
#(
−→
AB) =
-
ρAρB .
(15.4)
Nech k zobrazeniu α : Rn → Rn (nie je nevyhnutne rovnoˇlahlosˇt), existuje zobrazenie α
# : Rn → Rn definovan´e
podˇla (15.4); α# budeme naz´
yvaˇ
t stopa zobrazenia α alebo zobrazenie asociovan´
e (resp. indukovan´
e) zobrazen´ım
α. Nie vˇ
setky zobrazenia Rn → Rn maj´
u tak´
u vlastnosˇ
t. Napr´ıklad k zobrazeniu ψ : R2 → R2, [x, y] 7→ [x, y
2]
neexistuje stopa.
Keˇ
d α je rovnoˇlahlosˇ
t s charakteristikou k, potom vzhˇladom na (15.2) a (15.4)
−→
X0Y 0 = α#
−→
XY = k.
−→
XY ; α# je
teda skal´
arne n´
asobenie a to ako vieme z I. kapitoly je automorfizmus (pre k 6= 0) vektorov´
eho priestoru
−→
Rn.
Preto plat´ı
Veta 15.2 Stopa kaˇ
zdej rovnoˇ
lahlosti na Rn je automorfizmus vektorov´eho priestoru
−→
Rn.
2
Defin´ıcia afinn´
eho zobrazenia
Rovnoˇlahlosˇ
t je teda tak´
e zobrazenie, ku ktor´
emu existuje stopa a t´
ato stopa je automorfizmus a teda aj endo-
morfizmus vektorov´
eho priestoru
−→
Rn. Tak´e zobrazenia hraj´
u v geometrii veˇlmi dˆ
oleˇ
zit´
u ´
ulohu (ˇ
citateˇl sa mˆ
oˇ
ze
presvedˇ
ciˇ
t, ˇ
ze okrem in´
ych zobrazen´ı aj osov´
a s´
umernosˇ
t a transl´
acia maj´
u tieto vlastnosti).
Defin´
ıcia 15.3 Nech (P, →, V ), (P 0, →, V 0) s´
u afinn´
e syst´
emy. Zobrazenie α : P → P 0 naz´
yvame afinn´
e zobra-
zenie, ak existuje zobrazenie
α
# : V → V 0,
α
#
−→
AB =
-
αAαB
a toto zobrazenie je morfizmus vektorov´
ych priestorov V, V 0; ak P = P 0, V = V 0 hovor´ıme, ˇ
ze α je afinn´
e
zobrazenie na P . Afinn´
e zobrazenie, ktor´
e je bijekcia, naz´
yvame afinita alebo izomorfizmus. P,P’ s´
u izomorfn´
e
afinn´
e priestory, ak existuje afinita α : P → P 0.
Je zrejm´
e, ˇ
ze zamerania izomorfn´
ych afinn´
ych priestorov s´
u izomorfn´
e vektorov´
e priestory; nie je ˇ
taˇ
zk´
e dok´
azaˇ
t,
ˇ
ze plat´ı i obr´
atene, t.j. ak zamerania afinn´
ych priestorov s´
u izomorfn´
e vektorov´
e priestory, tak tieto afinn´
e
priestory s´
u izomorfn´
e. To znamen´
a, ˇ
ze afinn´
e priestory s t´
ym ist´
ym poˇlom skal´
arov s´
u izomorfn´
e pr´
ave vtedy,
keˇ
d maj´
u rovnak´
e dimenzie. Preto kaˇ
zd´
y n-rozmern´
y afinn´
y priestor nad poˇlom F je izomorfn´
y s n-rozmern´
ym
aritmetick´
ym afinn´
ym priestorom nad poˇlom F. Z toho vypl´
yva dˆ
oleˇ
zitosˇ
t aritmetick´
eho afinn´
eho priestoru.
Medzi afinn´
e zobrazenia patria, zo strednej ˇ
skoly dobre zn´
ame, zobrazenia stredov´
a s´
umernosˇ
t, osov´
a s´
umernosˇ
t,
posunutie, rovnobeˇ
zn´
e premietanie (neskˆ
or to dok´
aˇ
zeme). Cieˇlom tejto kapitoly je sk´
umaˇ
t vlastnosti afinn´
ych
zobrazen´ı (nielen v rovine, ale aj na Rn, resp. En, n > 0) previesˇt ich klasifik´
aciu a uk´
azaˇ
t ich aplik´
acie.
Dˆ
oleˇ
zitosˇ
t afinn´
ych zobrazen´ı vypl´
yva z defin´ıcie geometrie, ktor´
u predniesol r. 1872 F. Klein vo svojej predn´
aˇ
ske
”Erlagensk´
y program”. Podˇla tejto defin´ıcie, ak (M, G) je usporiadan´
a dvojica, kde M je nepr´
azdna mnoˇ
zina a
G je grupa transform´
aci´ı na M , tak geometria je te´
oria, ktor´
a ”ˇ
studuje” invarianty grupy G. Afinn´
a geometria
”ˇ
studuje” invarianty afinnej grupy t.j. grupy vˇ
stk´
ych afin´ıt na danom afinnom priestore.
Afinn´
e zobrazenie sme definovali pomocou ”algebraick´
ych” pojmov, d´
a sa to vˇ
sak urobiˇ
t aj ”geometricky”.
Lema 15.4 Zobrazenie α : Rn → Rn je afinn´e pr´
ave vtedy, keˇ
d
−→
AC = k.
−→
BC
⇒
-
αAαC = k.
-
αBαC .
(15.5)
Dˆ
okaz. Nech α je afinn´
e zobrazenie, potom α# je morfizmus a preto
−→
AC = k.
−→
BC implikuje
α
#
−→
AC = k.α
#
−→
BC,
-
αAαC = k.
-
αBαC .
Obr´
atene predpokladajme, ˇ
ze plat´ı (15.5).
Obrazy bodov A, B, C . . . v zobrazen´ı α v porad´ı oznaˇ
cme
A0, B0, C0 . . .. Najprv dok´
aˇ
zeme, ˇ
ze (i) oper´
acia ”stred dvojice bodov” je invariantom zobrazenia α. Skutoˇ
cne,
nech S je stred dvojice A, B. Potom
−→
AS = −1.
−→
BS, odkiaˇl podˇla (15.5)
−→
A0S0 = −1.
−→
B0S0 a to znamen´
a, ˇ
ze S0 je
stred dvojice A0, B0, plat´ı teda
α(A ÷ B) = αA ÷ αB.
ˇ
Dalej uk´
aˇ
zeme,
ˇ
ze (ii) existuje stopa zobrazenia α.
Nech
−→
AC
=
−→
DE.
Potom stredy dvoj´ıc
(A, E), (C, D) spl´
yvaj´
u preto podˇla (i) stredy dvoj´ıc (A0, E0), (C0, D0) spl´
yvaj´
u, takˇ
ze
−→
A0C0 =
−→
D0E0.
T´
ym je dok´
azan´
e aj (ii).
Nakoniec dok´
aˇ
zeme, ˇ
ze α# je morfizmus.
Nech ~a,~b s´
u ˇlubovoˇln´
e vek-
tory a nech A, B, C
s´
u tak´
e body,
ˇ
ze
−→
CA
=
~a,
−→
CB
=
~b.
Ak ~a + ~b
=
−→
CA +
−→
CB
=
=
−→
CD, tak stredy dvoj´ıc (C, D), (A, B) spl´
yvaj´
u a preto podˇla (ii) aj stredy dvoj´ıc (C0, D0), (A0, B0) spl´
yvaj´
u,
teda
−→
C0A0 +
−→
C0B0 =
−→
C0D0, ˇ
ciˇ
ze
-
αCαA +
-
αCαB =
-
αCαD , t.j. α#
−→
CA + α#
−→
CB = α#
−→
CD a potom aj
α#~a + α#~b = α#(~a + ~b). Rovnosˇ
t ~
u = k.~
v moˇ
zno nap´ısaˇ
t v tvare
−→
AC = k.
−→
BC (je zrejm´
e, ˇ
ze tak´
e body A, B, C
existuj´
u) a podˇla (15.5)
-
αAαC = k.
-
αBαC , ˇ
ciˇ
ze α#
−→
AC = k.α#
−→
BC t.j. α#~
u = k.α#~
v . T´
ym je dok´
azan´
e, ˇ
ze
α# je endomorfizmus.
3
Veta 15.5 Zobrazenie α : Rn → Rn je afinn´e pr´
ave vtedy, ak kaˇ
zd´
e tri rˆ
ozne koline´
arne body A, B, C ∈ Rn sa
zobrazia do jedn´
eho bodu alebo do tak´
ych troch rˆ
oznych koline´
arnych bodov, ˇ
ze (ABC) = (αAαBαC).
T´
ato veta je ekvivalentn´
a s defin´ıciou afinn´
eho zobrazenia. Preto by bolo moˇ
zn´
e definovaˇ
t afinn´
e zobrazenie ako
zobrazenie, ktor´
e kaˇ
zd´
e tri koline´
arne body A, B, C zobraz´ı do toho ist´
eho bodu, alebo do bodov, ktor´
ych deliaci
pomer sa rovn´
a deliacemu pomeru bodov A, B, C.
Rovnice a matice afinn´
ych zobrazen´ı
Nech E = (O, ~
e1, . . . , ~en) je rep´er priestoru Rn,
X
E =
x1
..
.
xn
X
0E =
x0
1
..
.
x0
n
a nech α : Rn → Rn, X 7→ X
0 je zobrazenie dan´e s´ustavou rovn´ıc
x
0
1
=
x1g11 + · · · + xng1n + q1
..
.
(15.6)
x
0
n
=
x1gn1 + · · · + xngnn + qn
ktor´
u skr´
atene p´ıˇ
seme ako maticov´
u rovnicu
(αX)
E = GXE + Q,
(15.7)
kde G, Q s´
u pr´ısluˇ
sn´
e matice (dan´
e nad poˇlom R) typu n × n resp. n × 1.
Veta 15.6 Zobrazenie α : Rn → Rn dan´e rovnicou (15.7) je afinn´e zobrazenie. Jeho stopa je dan´
a rovnosˇ
tou
(α
#~v)E = G~vE.
(15.8)
Dˆ
okaz. Keˇ
d ~
v =
−→
AB je ˇlubovoˇln´
y vektor, potom
(αB)
E − (αA)E = (G.BE + Q) − (G.AE + Q) = G
−→
AB
E
= G~
v
E ,
ˇ
ciˇ
ze vektor (αB)E − (αA)E nez´
avis´ı na voˇlbe bodov A, B, preto existuje stopa zobrazenia α a jej predpis je
(α#~
v)E = G~
v
E . Keˇd oznaˇc´ıme α#E = G (t´uto maticu naz´yvame matica stopy afinn´eho zobrazenia α v rep´ere
E) potom
(α
#~v)E = α#E~vE;
(15.9)
Je zrejm´
e, ˇ
ze zobrazenie dan´
e touto rovnicou je morfizmus ~
Rn→ ~
Rn, t´
ym je dˆ
okaz skonˇ
cen´
y.
Nech α je afinn´
e zobrazenie. Kumul´
aciou vektorov nejakej s´
ustavy F do matice F E a aplik´
aciou rovnosti (15.9)
dost´
avame, ˇ
ze pre vˇ
setky (pr´ıpustn´
e) i, je i-t´
y st´lpec matice α#EF E obraz i-t´
eho vektora s´
ustavy F, t.j.
(α
#F )E = α#EF E.
(15.10)
Lema 15.7 Ak α je afinn´
e zobrazenie, A je bod a ~
v vektor, tak
α(A + ~
v ) = αA + α
#~v.
(15.11)
Dˆ
okaz. Keˇ
d ~
v =
−→
AB, potom α#(~
v) = α#(
−→
AB) =
-
αAαB = αB − αA, odkiaˇl αB = αA + α#~
v.
4
Veta 15.8 Keˇ
d α : Rn → Rn, X 7→ X
0 je afinn´e zobrazenie a E je rep´er priestoru R
n, potom existuje jedin´
a
matica G a jedin´
a matica Q tak, ˇ
ze (αX)E = GXE + Q t.j. existuje jedin´
a matica
α
E =
g11
. . .
g1n
q1
..
.
gn1
. . .
gnn
qn
(15.12)
tak, ˇ
ze plat´ı (15.6). Maticu (15.12) naz´
yvame matica afinn´
eho zobrazenia α (v rep´
ere E).
Dˆ
okaz. Nech QE = [q1, . . . , qn], α O = Q, α
#~ei = ~gi, t.j. αE = (Q, ~g1, . . . ~gn) a nech (~gi)E = (g1i, . . . , gni).
Z rovnosti X = O + x1~e1 + · · · + xn~en dost´
avame (podˇla (15.11))
αX = α(O) + α
#(x
1~
e1 + . . . + xn~en)
X
0 = Q + x
1~
g1 + · · · + xn~gn.
Ak t´
uto rovnicu rozp´ıˇ
seme do s´
uradn´ıc, dostaneme 15.6; t´
ato s´
ustava rovn´ıc vyjadruje z´
avislosˇ
t medzi
s´
uradnicami bodu X a jeho obrazu X0 v afinnom zobrazen´ı α ( v danom rep´
ere E).
Determinant afinn´
eho zobrazenia
Nech E, F s´
u dve b´
azy priestoru ~
Rn a ϕ jeho endomorfizmus. Potom
ϕ
E = F EϕF EF .
(15.13)
Skutoˇ
cne, ak ~
v je vektor, tak ϕE~
v
E = (ϕ~v)E = F E(ϕ~v)F = F EϕF ~vF = F EϕF EF ~vE, ˇco implikuje (15.13). Je
zrejm´
e, ˇ
ze determinanty mat´ıc oboch str´
an rovnosti (15.13) s´
u rovnak´
e, preto
det ϕ
E = det(F EϕF EF ) = det F E det ϕF det EF = det F E det EF det ϕF = det ϕF
ˇ
co znamen´
a, ˇ
ze determinant matice endomorfizmu nez´
avis´ı na voˇlbe b´
azy.
Defin´
ıcia 15.9 Determinant matice stopy afinn´
eho zobrazenia α naz´
yvame determinant afinn´
eho zobrazenia α
a tieˇ
z determinant stopy α# afinn´
eho zobrazenia α; oznaˇ
cenie det α.
Cviˇ
cenie
15.1 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze nasleduj´
uca matica je matica rovnoˇlahlosti ρ : Rn→Rn, so stredom S[s1, . . . , sn] a charakte-
ristikou k 6= 0
k
0
. . .
0
s1(1 − k)
0
k
. . .
0
s2(1 − k)
. . .
0
0
. . .
k
sn(1 − k)
.
15.2 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze stred neidentickej rovnoˇlahlosti je jej jedin´
y samodruˇ
zn´
y bod (bod A je samodruˇ
zn´
y v zobrazen´ı
α, keˇ
d α(A) = A).
15.3 Nech α je afinn´
e zobrazenie. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze platia tvrdenia
1. α je injekcia pr´
ave vtedy, keˇ
d det α 6= 0
2. α je surjekcia pr´
ave vtedy, keˇ
d det α 6= 0.
15.4 Nech α je afinn´
e zobrazenie. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze platia tvrdenia
1. α# je injekcia pr´
ave vtedy, keˇ
d det α# 6= 0
2. α# je surjekcia pr´
ave vtedy, keˇ
d det α# 6= 0
3. Ker α# = {~
o} ⇔ det α# 6= 0.
15.5 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze line´
arna nez´
avislosˇ
t vektorov je invariant kaˇ
zd´
eho monomorfizmu.
5
Afinn´
a grupa
Z Cviˇ
cen´ı 15.3, 15.4 vypl´
yva nasleduj´
uca
Veta 15.10 Nech α je afinn´
e zobrazenie na Rn. Nasleduj´
uce tvrdenia s´
u ekvivalentn´
e:
(i)
α je afinita
(ii)
α je injekcia
(iii)
α je surjekcia
(iv)
α# je automorfizmus
(v)
α# je monomorfizmus
(vi)
α# je epimorfizmus
(vii)
det α 6= 0.
Veta 15.11 Nech afinn´
e zobrazenia α, β na Rn s´
u dan´
e maticov´
ymi rovnicami
αX = G.X + Q, βX = H.X + R.
Potom maticov´
a rovnica s´
uˇ
cinu αβ je
(αβ)(X) = (G.H).X + G.R + Q.
Keˇ
d α je bijekcia, potom
α
−1X = G−1.X − G−1.Q .
Dˆ
okaz. (α ◦ β)(X) = α(β(X)) = α(H.X + R) = G(H.X + R) + Q = (G.H).X + G.R + Q. Keˇ
d α je bijekcia,
determinant matice G, ktor´
a je maticou stopy α# je rˆ
ozny od nuly, preto existuje inverzn´
a matica G−1. Poloˇ
zme
v rovnici αX = G.X +Q miesto X vˇ
sade α−1X. Potom αα−1X = G.α−1X +Q, t.j X = G.α−1X +Q,
G−1.(X −
Q) = α−1X, α−1X = G−1.X − G−1.Q.
Z Vety 15.11 priamo vypl´
yva
Veta 15.12 S´
uˇ
cin dvoch afinn´
ych zobrazen´ı na Rn je afinn´e zobrazenie na Rn, s´
uˇ
cin afin´ıt je afinita. Inverzn´
e
zobrazenie k afinite je afinita. Stopa s´
uˇ
cinu afinn´
ych zobrazen´ı je s´
uˇ
cin stˆ
op t´
ychto zobrazen´ı a stopa inverznej
afinity je inverzn´
e zobrazenie k stope pˆ
ovodnej afinity, t.j.
(α ◦ β)
#
=
α
# ◦ β#
(15.14)
(γ
−1)# = (γ#)−1
(15.15)
Veta 15.13 Vˇ
setky afinity na Rn tvoria grupu zobrazen´ı (naz´
yvame ju afinn´
a grupa priestoru Rn) .
Pr´
ıklad 15.14 Dan´
e s´
u afinn´
e zobrazenia na R2 rovnicami
α :
x0
1
=
5x1 + 3x2 + 4
x0
2
=
x1 + x2 − 2
β :
x0
1
=
2x1 + 2x2 − 9
x0
2
=
−1.5x1 − 2x2 + 13.5
Urˇ
cte rovnice a matice zobrazen´ı α−1, β−1, α ◦ β, β ◦ α.
6
Rieˇ
senie. Rovnice inverzn´
eho zobrazenia α−1 k afinite α urˇ
c´ıme z jej s´
ustavy rovn´ıc tak, ˇ
ze rieˇ
sime t´
uto s´
ustavu
o nezn´
amych x1, x2; dostaneme
x1
=
0, 5x
0
1 − 1, 5x
0
2 − 5
x2
=
−0, 5x0
1 + 2, 5x
0
2 + 7
potom v t´
ychto rovniciach urob´ıme z´
ameny x1 ↔ x
0
1, x2 ↔ x
0
2:
α
−1 :
x0
1
=
0, 5x1 − 1, 5x2 − 5
x0
2
=
−0, 5x1 + 2, 5x2 + 7
Podobne zist´ıme, ˇ
ze
β
−1 :
x0
1
=
2x1 + 2x2 − 9
x0
2
=
−1, 5x1 − 2x2 + 13, 5
Aby sme naˇ
sli rovnice zobrazenia β ◦ α predpokladajme, ˇ
ze
X = [x1, x2]
α
7→ X0 = [x0
1, x
0
2]
β
7→ X0 0 = [x0 0
1, x
0 0
2].
Potom (β ◦ α)(X) = X0 0 takˇ
ze ”vzˇ
tahy” medzi s´
uradnicami bodov X, X0 0 bud´
u hˇladan´
e rovnice. Z rovnosti
βX0 = X0 0 vypl´
yva:
x
0 0
1
=
2x
0
1 + 2x
0
2 − 9
x
0 0
2
=
−1, 5x0
1 − 2x
0
2 + 13, 5
pouˇ
zit´ım rovn´ıc zobrazenia α m´
ame
x
0 0
1
=
2(5x1 + 3x2 + 4) + 2(x1 + x2 − 2) − 9
x
0 0
2
=
−1, 5(5x1 + 3x2 + 4) − 2(x1 + x2 − 2) + 13, 5
odkiaˇl dost´
avame rovnice zobrazenia β ◦ α
β ◦ α :
x0
1
=
12x1 + 8x2 − 5
x2
=
−9, 5x1 − 6, 5x2 + 11, 5
.
Analogicky zist´ıme, ˇ
ze
α ◦ β :
x0
1
=
5, 5x1 + 4x2 − 0, 5
x0
2
=
0, 5x1
+ 2, 5
s´
u rovnice zobrazenia α ◦ β.
Mohli sme si vˇ
simn´
uˇ
t, ˇ
ze zobrazenia β, β−1 maj´
u t´
u ist´
u s´
ustavu rovn´ıc, preto β = β−1. Tak´
e zobrazenia,
ktor´
e sa rovnaj´
u svojim inverzn´
ym zobrazeniam naz´
yvame involut´
orne zobrazenia (alebo len invol´
ucie). ˇ
Dalej
α ◦ β, β ◦ α maj´
u rˆ
ozne rovnice, preto vˇ
seobecne neplat´ı komutat´ıvny z´
akon pre skladanie zobrazen´ı.
Jednoduch´
ym kalkulom mat´ıc moˇ
zno uk´
azaˇ
t, ˇ
ze matice zobrazen´ı α−1, α◦β atˇ
d. mˆ
oˇ
zeme vypoˇ
c´ıtaˇ
t aj nasledovne
(α, β s´
u dan´
e ako v pr´ıklade 15.14). Matice zobrazen´ı α, β
α :
5
3
4
1
1
−2
= A
β :
2
2
−9
−1, 5
−2
+13, 5
= B
uprav´ıme na matice
A
∗ =
5
3
4
1
1
−2
0
0
1
B
∗ =
2
2
−9
−1, 5
−2
−13, 5
0
0
1
7
t.j. ku A (resp.B) prid´
ame tret´ı riadok 0 0 1. Ak z matice A∗−1 (t.j. matice inverznej k matici A∗) vynech´
ame
posledn´
y riadok dostaneme maticu zobrazenia α−1. Podobne ak z matice A∗.B∗ ( t.j. s´
uˇ
cinu mat´ıc A∗, B∗)
vynech´
ame posledn´
y riadok dostaneme maticu s´
uˇ
cinu α ◦ β. Maticu A−1 n´
ajdeme zn´
amym spˆ
osobom. Utvor´ıme
maticu algebraick´
ych doplnkov k matici A∗ , t´
uto transponujeme a kaˇ
zd´
y prvok takto z´ıskanej matice del´ıme
determinantom matice A∗ (ktor´
y je 2) a dostaneme hˇladan´
u maticu; pop´ısan´
e matice s´
u:
1
−1
0
−3
5
0
−10
14
2
1
−3
−10
−1
5
14
0
0
2
0.5
−1.5
−5
0.5
2.5
7
0
0
1
Cviˇ
cenie
15.6 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze zobrazenie β : R2 → R2, X[x1, x2] 7→ X
0[|x
1|, |x2|] nie je afinn´
e zobrazenie.
15.7 N´
ajdite tak´
e dve rˆ
ozne afinn´
e zobrazenia, ktor´
e maj´
u rovnak´
e stopy.
15.8 Dan´
e je afinn´
e zobrazenie
α
E =
3
12
5
5
20
−7
.
N´
ajdite dva rˆ
ozne body, ktor´
ych obrazy v α spl´
yvaj´
u.
15.9 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze neidentick´
a rovnoˇlahlosˇ
t ρ a afinita α priestoru Rn komutuj´
u (t.j. ρα = αρ) pr´
ave vtedy , keˇ
d
stred rovnoˇlahlosti je samodruˇ
zn´
ym bodom afinity α.
16
Invarianty afinn´
ych zobrazen´ı
Ak U je ´
utvar afinn´
eho priestoru Rn a α je zobrazenie Rn→Rn, kladieme α U = {αX; X ∈ U } a hovor´ıme, ˇze
αU je obraz ´
utvaru U v zobrazen´ı α. Ak αU = U hovor´ıme, ˇ
ze ´
utvar U je samodruˇ
zn´
y ´
utvar zobrazenia α.
Invariant zobrazenia α je tak´
a rel´
acia θ na mnoˇ
zine ´
utvarov afinn´
eho priestoru Rn, ktor´
u α nemen´ı, t.j. ak
´
utvary U1, . . . , Us s´
u v rel´
acii θ, tak aj ´
utvary αU1, . . . , αUs s´
u v rel´
acii θ.
Nech α : Rn → Rn je afinn´e zobrazenie, X, A0, . . . , As s´
u body priestoru Rn a v porad´ı X
0, A0
0, . . . , A
0
s ich obrazy
v α. Potom
X = A0 + p1
−→
A0A1 + · · · + ps
−→
A0As ⇒ X
0 = A0
0 + p1
−→
A0
0A
0
1 + · · · + ps
−→
A0
0A
0
s.
(16.1)
Skutoˇ
cne
α(A0 + p1
−→
A0A1 + · · · + ps
−→
A0As) = αA0 + α
#(p
1
−→
A0A1 + · · · + ps
−→
A0As) =
αA0 + p1α
#
−→
A0A1 + · · · + psα
#
−→
A0As = αA0 + (p1
-
αA0αA1 + · · · + ps
-
αA0αAs) =
A
0
0 + p1
−→
A0
0A
0
1 + · · · + ps
−→
A0
0A
0
s.
Z rovnosti (16.1) priamo vypl´
yva identita
α(A0 . . . As) = αA0 . . . αAs.
(16.2)
Dˆ
osledok 16.1 Kaˇ
zd´
e afinn´
e zobrazenie definovan´
e na Rn zobraz´ı podpriestor priestoru Rn na podpriestor
priestoru Rn (priˇcom dimenzia obrazu ≤ dimenzia vzoru). Vlastnosˇt ”byˇt podpriestorom” a afinn´
a z´
avislosˇ
t
bodov je invariantom kaˇ
zd´
eho afinn´
eho zobrazenia.
Z cviˇ
cenia 15.5 priamo vypl´
yva
Veta 16.2 Afinn´
a nez´
avislosˇ
t bodov a dimenzia afinn´
eho priestoru je invariantom kaˇ
zdej afinity.
Veta 16.3 Afinn´
e zobrazenie je afinita pr´
ave vtedy, keˇ
d deliaci pomer je jeho invariant.
8
Dˆ
okaz. Keˇ
d α je afinita, je α aj injekcia, preto A 6= B ⇒ αA 6= αB, ˇ
ciˇ
ze pre tri koline´
arne body je vzhˇladom na
Vetu 15.5 jedin´
a moˇ
znosˇ
t: (αAαBαC) = (ABC). Obr´
atene, ak deliaci pomer je invariant afinn´
eho zobrazenia,
nemˆ
oˇ
zu sa dva koline´
arne body zobraziˇ
t do jedn´
eho, preto α je injekcia a teda aj afinita.
Bod A naz´
yvame samodruˇ
zn´
ym (alebo invariantn´
ym) bodom zobrazenia α, ak αA = A. Mnoˇ
zinu vˇ
setk´
ych
samodruˇ
zn´
ych bodov zobrazenia α oznaˇ
cujeme sab α.
V pr´ıpade, ˇ
ze v (16.1) je kaˇ
zd´
y z bodov A0, . . . , As samodruˇzn´
y, t.j. A0 = A
0
0, . . . , As = A
0
s, je aj X = X
0 a teda
aj X je samodruˇ
zn´
y. Preto plat´ı
Veta 16.4 Kaˇ
zd´
y bod afinn´
eho obalu mnoˇ
ziny samodruˇ
zn´
ych bodov je samodruˇ
zn´
y.
Dˆ
osledok 16.5 Mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych samodruˇ
zn´
ych bodov afinn´
eho zobrazenia je buˇ
d ∅ alebo podpriestor afinn´
eho
priestoru.
Dˆ
osledok 16.6 Ak kaˇ
zd´
y bod nejak´
eho simplexu afinn´
eho priestoru Rn je samodruˇzn´
y bod afinn´
eho zobrazenia
α, tak α : Rn→Rn je identita.
Tento dˆ
osledok ˇ
speci´
alne znamen´
a, ˇ
ze afinn´
e zobrazenie na rovine (resp. na priamke) je identita, ak m´
a tri
nekoline´
arne (resp. dva rˆ
ozne) body samodruˇ
zn´
e.
Ak A + V, B + U s´
u rovnobeˇ
zn´
e podpriestory priestoru Rn, tak U ⊂ V alebo V ⊂ U a preto aj α
#U ⊂ α#V alebo
α#V ⊂ α#U , pre kaˇ
zd´
e afinn´
e zobrazenie α na Rn. To znamen´
a, ˇ
ze α(A+V ) = αA+α#V, α(B+U ) = αB+α#U
s´
u op¨
aˇ
t rovnobeˇ
zn´
e podpriestory afinn´
eho priestoru. Plat´ı teda
Veta 16.7 Rovnobeˇ
znosˇ
t podpriestorov afinn´
eho priestoru je invariant kaˇ
zd´
eho afinn´
eho zobrazenia.
Nech α : Rn → Rn, n > 0, je afinn´e zobrazenie. Nenulov´
y vektor ~
v naz´
yvame vlastn´
y vektor zobrazenia α,
keˇ
d existuje skal´
ar k 6= 0 tak, ˇ
ze α#~
v = k~
v. Smer urˇ
cen´
y vlastn´
ym vektorom ~
v je samodruˇ
zn´
y smer afinn´
eho
zobrazenia α. Predpokladajme, ˇ
ze (αX)E = G.XE + QE; nech ~
v je vlastn´
y vektor zobrazenia α. Potom
k~
v
E = α#~v E = G.~v E,
(G − k.1
E ).~v E = ~o E;
Rozp´ısan´ım do s´
uradn´ıc dostaneme homog´
ennu s´
ustavu n-line´
arnych rovn´ıc o n nezn´
amych s parametrom k. T´
a
m´
a nenulov´
e rieˇ
senie pr´
ave vtedy, keˇ
d det (G − k.1E) = 0. T´
uto rovnicu n-t´
eho stupˇ
na o nezn´
amej k naz´
yvame
charakteristick´
a rovnica (afinity α) a jej korene vlastn´
e ˇ
c´ısla afinity α. Zrejme ku kaˇ
zd´
emu vlastn´
emu ˇ
c´ıslu
prisl´
ucha aspoˇ
n jeden samodruˇ
zn´
y smer.
Veta 16.8 Rˆ
oznym vlastn´
ym ˇ
c´ıslam pr´ısl´
uchaj´
u rˆ
ozne samodruˇ
zn´
e smery.
Dˆ
okaz. Nech k 6= r s´
u vlastn´
e ˇ
c´ısla afinn´
eho zobrazenia α, ktor´
ym prisl´
ucha smer urˇ
cen´
y nenulov´
ym vektorom
~
u. Potom α#~
u = k~
u a α#~
u = r~
u. Odˇ
c´ıtan´ım t´
ychto rovnost´ı dostaneme k~
u − r~
u = ~
o, (k − r)~
u = ~
o, odkiaˇl k = r
ˇ
co je spor s predpokladom.
Pr´
ıklad 16.9 Afinita α na R2 je dan´
a s´
ustavou rovn´ıc
α :
x0
1
=
2x1 + 3x2 + 5
x0
2
=
7x1 + 10x2 − 3.
Vypoˇ
c´ıtajte vˇ
seobecn´
u rovnicu nadroviny N 0, ktor´
a je obrazom nadroviny N : 5x1 − 2x2 + 4 = 0 v afinite α.
Rieˇ
senie. S´
ustavu rovn´ıc afinity α rieˇ
sime vzhˇladom na nezn´
ame x1, x2, dostaneme
x
0
1
=
−10x1 + 3x2 + 59
x
0
2
=
7x1 − 2x2 − 41.
Tieto rovnice dosad´ıme do rovnice nadroviny N:
5(−10x
0
1 + 3x
0
2 + 59) − 2(7x
0
1 − 2x
0
2 − 41) + 4 = 0
odkiaˇl dost´
avame rovnicu nadroviny N 0 : −64x1 + 19x2 + 381 = 0.
9
Cviˇ
cenie
16.1 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze afinn´
a nez´
avislosˇ
t bodov nie je invariant afinn´
ych zobrazen´ı.
16.2 Nech α : R1 → R1 je afinn´e zobrazenie, ktor´e nie je afinita. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze existuje bod A0 ∈ R1 tak, ˇze pre
kaˇ
zd´
e X ∈ R1 je αX = A
0.
16.3 Nech α : Rn → Rn , n > 0, je afinn´e zobrazenie, pre ktor´e |αRn| 6= 1. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze existuje s´
ustava line´
arne
nez´
avisl´
ych vektorov priestoru ~
Rn, ktor´
u α# zobraz´ı do line´
arne nez´
avislej s´
ustavy vektorov.
16.4 Urˇ
cte rovnicu samodruˇ
znej priamky zobrazenia α : R2 → R2 dan´eho maticou
2
3
12
1
4
14
.
Koˇlko je tak´
ych priamok? Urˇ
cte rovnicu aspoˇ
n jednej takej priamky L, ˇ
ze L 6= αL a L k αL.
16.5 Dan´
a je afinita α maticou
2
−6
8
7
4
5
.
N´
ajdite vˇ
setky tak´
e prav´
e uhly, kaˇ
zd´
y z ktor´
ych α zobraz´ı na prav´
y uhol.
16.6 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kolmosˇ
t vektorov je invariant afinity
α
E =
5
−7
80
7
5
20
keˇ
d E je ortonorm´
alny rep´
er.
16.7 Dan´
y je rep´
er E = (O, ~
e1, ~e2, ~e3) priestoru E3 a vektor ~aE = (−3, 1, 7). Nech α : E3 → E3 je tak´e afinn´e
zobrazenie, ˇ
ze α#~
e1 = ~e1, α
#~e2 = ~e2, α#~a = 5~a. Vypoˇc´ıtajte αE, keˇd sab α je rovina.
16.8 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze keˇ
d afinn´
e zobrazenie α zobraz´ı dve mimobeˇ
zky K, L do jedn´
eho bodu A, potom α zobraz´ı
afinn´
y obal zjednotenia K ∪ L do bodu A.
16.9 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze keˇ
d afinita α : R2 → R2 m´
a aspoˇ
n tri samodruˇ
zn´
e smery, potom kaˇ
zd´
y smer je samodruˇ
zn´
y.
16.10 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze keˇ
d afinita α : R2 → R2 m´
a aspoˇ
n dve (rˆ
ozne) vlastn´
e ˇ
c´ısla, priˇ
com ani jedno nie je 1, potom
m´
a pr´
ave jeden samodruˇ
zn´
y bod.
16.11 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze keˇ
d existuj´
u dva nenulov´
e kolm´
e vektory, ktor´
e stopa afinn´
eho zobrazenia α : R2 → R2 zobraz´ı
na kolm´
e nenulov´
e vektory, potom existuje ˇ
stvorec, ktor´
y α zobraz´ı na kosoˇ
stvorec.
16.12 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze keˇ
d P je jedin´
y samodruˇ
zn´
y bod afinity α : Rn → Rn, potom leˇz´ı v kaˇzdej samodruˇznej
nadrovine tejto afinity.
17
Urˇ
cenosˇ
t afinn´
eho zobrazenia
Vieme, ˇ
ze afinn´
e zobrazenie na Rn moˇzno zadaˇt maticou typu n × (n + 1) (jej prvky s´
u prvky poˇla R). Tento
”aritmetick´
y” spˆ
osob moˇ
zno nahradiˇ
t ”geometrick´
ym”. Ukazuje to nasleduj´
uca
Veta 17.1 (o urˇ
cenosti afinn´
eho zobrazenia)
Nech Ao, A1, . . . , An je simplex a A
0
o, A
0
1, . . . , A
0
n s´
u ˇ
lubovoˇ
ln´
e
body priestoru Rn. Existuje pr´
ave jedno afinn´
e zobrazenie α na Rn tak, ˇze αA0 = A
0
0, . . . , αAn = A
0
n.
Dˆ
okaz. Oznaˇ
cme
−→
AoAi = ~ei,
−→
A0
oA
0
i = ~
gi pre vˇsetky i > 0. S´
ustava vektorov ~
ei, . . . , ~en je b´
aza priestoru ~
En,
preto (Ao, ~e1, . . . , ~en) = E je rep´er priestoru Rn. Ak XE = [x1, . . . , xn], (~gi)E = (g1i, . . . , gni) a α
#~ei = ~gi, tak
X
0 = αX = α(A
o + x1~
e1 + . . . + xn~en) = αAo + α
#(x
1~
e1 + . . . + xn~en) = A
0
o + x1~
g1 + . . . + xn~gn.
10
Nech X0
E = [x
0
1, . . . , x
0
n]. Ak vyˇ
sˇ
siu rovnosˇ
t prep´ıˇ
seme do s´
uradn´ıc v rep´
ere E dostaneme s´
ustavu rovn´ıc (15.6).
Podˇla Vety 15.7 α je jednoznaˇ
cne urˇ
cen´
e afinn´
e zobrazenie, ktor´
e zobraz´ı Ai 7→ A
0
i; je totiˇ
z Ai = A0 +
−→
A0Ai
odkiaˇl αAi = A
0
0 +
−→
A0
0A
0
i = A
0
i.
Ak t´
uto vetu interpretujeme na rovine, dostaneme: Ku kaˇ
zd´
emu trojuholn´ıku ABC a ˇlubovoˇln´
ym bodom
A0, B0, C0 existuje pr´
ave jedno afinn´
e zobrazenie definovan´
e na danej rovine, ktor´
e zobraz´ı A 7→ A0, B 7→ B0,
C 7→ C’.
Ak vo vete 17.1 je A0
o, . . . , A
0
n tieˇ
z simplex priestoru Rn, t.j. α je afinita, dost´
avame vetu:
Veta 17.2 (o urˇ
cenosti afinity) Ku kaˇ
zd´
ym dvom simplexom Ao, . . . , An, A
0
o, . . . , A
0
n priestoru Rn existuje pr´
ave
jedno afinn´
e zobrazenie α : Rn → Rn tak, ˇze αAi = A
0
i pre i = 0, 1, . . . , n. Toto afinn´
e zobrazenie je afinita.
Veta 17.3 (o urˇ
cenosti afinn´
eho zobrazenia)
Nech (O, ~
e1, . . . , ~en) je rep´er, Q ˇlubovoˇln´
y bod a ~
f1, . . . , ~
fn
ˇ
lubovoˇ
ln´
a s´
ustava vektorov priestoru ~
En. Existuje pr´
ave jedno afinn´
e zobrazenie α na Rn tak, ˇze αO = Q a
α#(~
ei) = ~
f
i pre vˇ
setky i = 1, . . . , n.
Veta 17.4 (o urˇ
cenosti afinn´
eho zobrazenia)
Ku kaˇ
zd´
ym dvom rep´
erom (O, ~
e1, . . . , ~en), (Q, ~
f1, . . . , ~
fn) pries-
toru Rn, existuje pr´
ave jedna afinita α na Rn tak, ˇze αO = Q a α
#(~ei) = ~
f
i pre vˇ
setky i = 1, . . . , n.
Cviˇ
cenie
17.1 V E2 s´
u dan´
e dva trojuholn´ıky ABC, DF G a bod H. Zostrojte (prav´ıtkom a kruˇ
z´ıtkom) obraz bodu H v
afinite α : E2 → E2, A 7→ D, B 7→ F, C 7→ G.
17.2 V R4 s´
u dan´
e body
A0 = [2, 4, 0, 0]
A1 = [−1, 0, 0, 1]
A2 = [2, 1, 3, 1]
A3 = [5, 8, 0, −1]
A0
0 = [1, 0, 1, 0]
A0
1 = [0, 0, 3, 0]
A0
2 = [2, 3, 0, 1]
A0
3 = [4, −1, 0, 0].
Zistite, ˇ
ci existuje afinn´
e zobrazenie α : R4 → R4 tak, ˇze αAi = A
0
i, i = 0, 1, 2, 3.
17.3 V R3 s´
u dan´
e body
A0 = [4, 7, 6], A1 = [0, 3, 1], A2 = [5, 5, 7], A3 = [−6, −9, −7]
B0 = [1, −2, 0], B1 = [3, 7, 7], B2 = [0, 1, 3], B3 = [5, 31, 27].
Zistite, ˇ
ci existuje afinn´
e zobrazenie α : R3 → R3 tak, ˇze αAi = Bi, i = 0, 1, 2, 3. Ak α existuje, vypoˇc´ıtajte
jeho maticu.
17.4 V R3 s´
u dan´
e body A0 = [−4, 1, 7], A1 = [0, 0, 1], A2 = [1, 0, 7], A3 = [−11, 3, 25], B0 = [1, 2, 7], B1 = B2 =
[3, 0, 7]. Vypoˇ
c´ıtajte obraz bodu A3 v afinnom zobrazen´ı α , keˇ
d αAi = Bi, i = 0, 1, 2. Zistite, ˇci existuje
vzor bodu B4 = [−3, 4, 7]. Zvoˇlte tak´
y bod B5, aby mnoˇzina vˇsetk´
ych jeho vzorov bola nekoneˇ
cn´
a.
17.5 V E3 je dan´
a kocka ABCDEF GH a stred S uhloprieˇ
cky AC. Nech afinn´
e zobrazenie α : E3 → E3 zobraz´ı
E 7→ F 7→ C, H 7→ A, B 7→ E. Vo voˇlnom rovnobeˇ
znom premietan´ı zostrojte αS.
18
Priame a nepriame afinity
Keˇ
d E, G, H s´
u orientovan´
e b´
azy priestoru ~
Rn a α je afinita na Rn, potom
G ↑ H ⇐⇒ det G
E . det HE > 0 ⇐⇒ det α#E. det GE. det α#E. det HE > 0,
odkiaˇl podˇla (15.10)
G ↑ H ⇐⇒ det(α
#E GE). det(α#EHE) > 0,
11
ˇ
ciˇ
ze kaˇ
zd´
y automorfizmus vektorov´
eho priestoru ~
Rn zobraz´ı dve rovnako orientovan´e b´
azy priestoru ~
Rn na
rovnako orientovan´
e b´
azy tohto priestoru. To znamen´
a, ˇ
ze buˇ
d men´ı orient´
aciu kaˇ
zdej usporiadanej b´
azy priestoru
~
Rn alebo nemen´ı orient´
aciu ˇ
ziadnej b´
azy tohto priestoru. Ak usporiadan´
y simplex S0 = (A0
0, . . . , A
0
n) je obraz
usporiadan´
eho simplexu S = (A0, . . . , An) v afinite α, tak simplexy S, S
0 s´u rovnako orientovan´e pr´ave vtedy, keˇd
usporiadan´
e b´
azy (
−→
A0
oA
0
1, . . . ,
−→
A0
oA
0
n), (
−→
AoA1, . . . ,
−→
AoAn) s´
u rovnako orientovan´
e a tie s´
u zasa rovnako orientovan´
e
pr´
ave vtedy, keˇ
d determinant zobrazenia α# (t.j. determinant afinity α) je kladn´
y. Z toho vypl´
yva
Lema 18.1 Kaˇ
zd´
a afinita zobraz´ı dva rovnako (resp. nerovnako) orientovan´
e simplexy na rovnako (resp. ne-
rovnako) orientovan´
e simplexy.
Defin´
ıcia 18.2 Afinitu α na Rn, ktor´
a nemen´ı (resp. men´ı) orient´
aciu priestoru Rn naz´
yvame priama alebo
s´
uhlasn´
a (resp. nepriama alebo nes´
uhlasn´
a).
Dˆ
osledok 18.3 Afinita je priama pr´
ave vtedy, keˇ
d jej stopa je priamy automorfizmus. Afinita je priama pr´
ave
vtedy, keˇ
d jej determinant je kladn´
y.
Veta 18.4 Vˇ
setky priame afinity na Rn tvoria grupu.
Dˆ
okaz. Ak afinity α, β s´
u priame, potom ich determinanty s´
u kladn´
e. Keˇ
dˇ
ze det(α ◦ β) = det α.det β a det α > 0,
det β > 0, tak α ◦ β je priama afinita. Podobne det(α−1) = (det α)−1 preto aj α−1 je priama afinita.
Dˆ
okaz nasleduj´
ucej vety prenech´
avame ˇ
citateˇlovi.
Veta 18.5 S´
uˇ
cin dvoch nepriamych afin´ıt je priama afinita. S´
uˇ
cin priamej a nepriamej afinity je nepriama
afinita. S´
uˇ
cin p´
arneho poˇ
ctu nepriamych afin´ıt je priama afinita.
Cviˇ
cenie
18.1 Afinn´
e zobrazenie α : E2 → E2 je dan´e maticou
t + 1
5
t
−1
t + 7
2
.
Urˇ
cte t tak, aby (i) α nebola afinitou, (ii) α bola afinita, (iii) α bola nepriama afinita.
18.2 V E2 je dan´
y 4ABC. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze afinita α, ktor´
a zobraz´ı A 7→ B, B 7→ C, C 7→ A je priama afinita a
afinita β, ktor´
a zobraz´ı A 7→ B 7→ A, C 7→ C je nepriama.
18.3 Nech afinita α zobraz´ı body simplexu S
=
(A0, A1, . . . , An), v porad´ı,
na simplex S
=
(A1, A0, A2, A3, . . . , An). Zistite, ˇci α je priama afinita.
12
N I E K T O R ´
E
T Y P Y
A F I N N ´
Y CH
Z O B R A Z E N ´
I
19
Rovnobeˇ
zn´
e premietanie
Nech K, L s´
u tak´
e podpriestory priestoru Rn , ˇze dim (K ∩ L) = 0 a dim K + dim L = n (t.j. ~
K ⊕ ~
L = ~
Rn).
Pre kaˇ
zd´
e X ∈ Rn je (X + ~
L) ∩ K jednoprvkov´
a mnoˇ
zina; skutoˇ
cne, keˇ
dˇ
ze spojenie ~
L + ~
K zameran´ı priestorov
X + ~
L, K je ~
Rn, tak tieto priestory sa pret´ınaj´
u (viˇ
d 2.7). ˇ
Dalej ~
K ∩ ~
L = ~
o preto mnoˇ
zina X + ~
L ∩ K m´
a
najviac jeden prvok. Teda ku kaˇ
zd´
emu X ∈ En existuje pr´
ave jeden bod X0 ∈ Rn, ktor´
y je prienikom priestorov
X + ~
L, K.
Defin´
ıcia 19.1 Nech K je podpriestor priestoru Rn a W podpriestor priestoru ~
Rn tak, ˇze ~
K ⊕ W = ~
Rn.
Zobrazenie
π : Rn → Rn,
X 7→ X
0 = (X + W ) ∩ K
naz´
yvame rovnobeˇ
zn´
e premietanie do priestoru K. Afinn´
y priestor K naz´
yvame priemetˇ
na a vektorov´
y priestor
W smer tohto premietania.
Veta 19.2 Kaˇ
zd´
e rovnobeˇ
zn´
e premietanie je afinn´
e zobrazenie.
Dˆ
okaz. Nech π je rovnobeˇ
zn´
e premietanie do priemetne K so smerom W a nech ~
e1, . . . , ~es je b´
aza priestoru ~
K a
~
es+1, . . . , ~en je b´
aza priestoru W (v pr´ıpade, ˇ
ze K je jeden bod, s = 0). Pretoˇ
ze ~
K ⊕ W = ~
Rn tak ~e1, . . . , ~en je
b´
aza priestoru En. Nech O ∈ K je ˇlubovoˇln´
y bod, E = (O, ~
e1, . . . , ~en) je r´eper priestoru En, XE = [x1, . . . , xn],
πX = X0, X0
E = [x
0
1, . . . , x
0
n].
Pretoˇ
ze X0 ∈ K a K je s´
uradn´
y priestor, tak x0
s+1 = . . . = x
0
n = 0. Vektor
−→
XX
0
∈ W, W je zameranie s´
uradn´
eho priestoru, preto x0
1 − x1 = . . . = x
0
s − xs = 0. To znamen´
a, ˇ
ze s´
uradnice
bodov X, X0 s´
u viazan´
e rovnicami
x
0
1 = x1, . . . , x
0
s = xs, x
0
s+1 = 0, . . . , x
0
n = 0,
takˇ
ze ˇ
ze vzhˇladom na Vetu 15.6, π je afinn´
e zobrazenie; matica tejto s´
ustavy je matica
1
0
. . .
0
0
0
1
. . .
0
0
. . .
0
0
. . .
0
0
,
(19.1)
v ktorej prv´
ych s prvkov na hlavnej diagon´
ale je rovn´
ych 1 a ostatn´
e s´
u nuly.
ˇ
Lahko sa dok´
aˇ
zu nasleduj´
uce dve lemy.
Lema 19.3 Ak α : Rn → Rn je rovnobeˇzn´e premietanie s priemetˇ
nou K a smerom W , tak dim ~
K + dim W = n,
sab α = K, Ker α# = W.
Lema 19.4 Keˇ
d α je afinnn´
e zobrazenie, potom
-
sab α ∩ Ker α# = ~
o.
Veta 19.5 Afinn´
e zobrazenie α : Rn → Rn, je rovnobeˇzn´e premietanie pr´
ave vtedy, keˇ
d
dim sab α + dim Ker α
# = n.
(19.2)
Dˆ
okaz. ⇒ Ak α je rovnobeˇ
zn´
e premietanie s priemetˇ
nou K a smerom W , tak dim K + dim W = n, odkiaˇl
podˇla Lemy 19.3 dost´
avame (19.2). ⇐ Nech α : Rn → Rn je afinn´e zobrazenie, pre ktor´e plat´ı (19.2). Oznaˇcme
K = sab α, W = Ker α#. Pretoˇ
ze ~
K ⊕ W = Rn, mˆ
oˇ
zme definovaˇ
t rovnobeˇ
zn´
e premietanie π s priemetˇ
nou K a
smerom W ; nech X je ˇlubovoˇln´
y bod a X0 = πX. Teraz staˇ
c´ı dok´
azaˇ
t X0 = αX : zrejme X0 = πX = (X +W )∩K,
preto
−→
XX0 ∈ W = Ker α#, odkiaˇl α#
−→
XX0 = ~
o, t.j.
-
αXαX0 = ~
o, keˇ
dˇ
ze αX0 = X0 (X0 ∈ K = sab α), tak
-
αXX0 = ~
o, odkiaˇl X0 = αX.
13
Pr´
ıklad 19.6 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze zobrazenie π : En → En dan´e s´
ustavou rovn´ıc
x
0
1
=
3x1 − 6x2 + 8
x
0
2
=
x1 − 2x2 + 4
je rovnobeˇ
zn´
e premietanie.
Rieˇ
senie. dim sab π zist´ıme, ak maticu
3 − 1
−6
8
1
−2 − 1
4
uprav´ıme na trojuholn´ıkov´
u maticu
2
−6
8
1
−3
4
∼
2
−6
8
0
0
0
.
dim sab π = 1 (sab π je priamka o rovnici x1 − 3x2 + 4 = 0), dim Ker π
# zist´ıme, ak maticu
(π
#) E =
3
−6
1
−2
uprav´ıme na trojuholn´ıkov´
u maticu
1
−2
0
0
.
dim Ker π# = 1 (Ker π# = h(2, 1)i); dim sab π + dim Ker π# = 2, π je teda rovnobeˇ
zn´
e premietanie.
Rovnobeˇ
zn´
e premietanie En → En, ktor´eho smer je tot´
alne kolm´
y na zameranie priemetne naz´
yvame kolm´
e
premietanie.
Rovnobeˇ
zn´
e premietanie z pr´ıkladu 19.6 nie je kolm´
e, (predpoklad´
ame ortonorm´
alny rep´
er) pretoˇ
ze smer W =
h(2, 1)i nie je kolm´
y na priemetˇ
nu x1 − 3x2 + 4 = 0.
Rovnobeˇ
zn´
e premietanie je afinn´
e zobrazenie, preto ˇ
dalˇ
sie vlastnosti rovnobeˇ
zn´
eho premietania moˇ
zno n´
ajsˇ
t
v ˇ
cl´
ankoch 15 - 18.
Cviˇ
cenie
19.1 V E3 s´
u dan´
e body a vektory A[1,-1,0], B[7,2,8], C[2,0,8], D[-4,9,20] ~a(2, 1, 5), ~b(−1, 0, 3), ~
v(2, 0, 1). Nech
π : E3 → E3 je rovnobeˇzn´e premietanie s premietˇ
nou N = A + h~a,~bi a smerom W = h~
vi. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze
priamky AB, CD s´
u mimobeˇ
zn´
e, a ˇ
ze ich priemety πAB, πCD s´
u rovnobeˇ
zn´
e priamky.
19.2 Dan´
y je bod A a rovnobeˇ
zn´
e premietanie π ako v cviˇ
cen´ı 1. Urˇ
cte tak´
y bod G ∈ E3, aby π(G) = A. ˇ
Co je
priemetom priamky AG ?
19.3 Nap´ıˇ
ste rovnice premietania π z predoˇ
sl´
eho cviˇ
cenia 1 v rep´
ere E = (A; ~a,~b, ~
v) a potom v rep´
ere, v ktorom
s´
u udan´
e vˇ
setky s´
uradnice z cviˇ
cenia 1.
19.4 Nap´ıˇ
ste rovnice premietania π z predoˇ
sl´
eho cviˇ
cenia 1 v rep´
ere F = (A; ~
v, ~a,~b).
19.5 Nech π : Rn → Rn je rovnobeˇzn´e premietanie s priemetˇ
nou N a smerom W a nech L ⊂⊂ Rn. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze
(i)
L k W ⇒ N ∩ L = ∅ alebo dim π(L) = dim (N ∩ L)
(ii)
~
L ⊂ W ⇒ π(L) je bod.
14
20
Perspekt´ıvna afinita
Nech α : Rn → Rn je afinita a nech Ao = αAo, . . . , An−1 = αAn−1, An 6= A
0
n = αAn.
Potom kaˇ
zd´
y bod
nadroviny N = Ao, . . . , An−1 je samodruˇzn´
y bod afinity α a in´
e samodruˇ
zn´
e body α nem´
a (ak by existoval
samodruˇ
zn´
y bod S, neleˇ
ziaci v nadrovine N , podˇla dˆ
osledku 16.6 α by bola identita, ˇ
ciˇ
ze An = A
0
n a to odporuje
predpokladu). To znamen´
a, ˇ
ze v kaˇ
zdom priestore Rn, n > 0, existuje afinita, ktorej vˇsetky samodruˇzn´e body
tvoria nadrovinu (a to dokonca vopred zvolen´
u). Tak´
e afinity hraj´
u v´
yznamn´
u ´
ulohu v afinnej grupe.
Defin´
ıcia 20.1 Afinitu priestoru Rn, n > 0, ktorej mnoˇzina vˇsetk´
ych samodruˇ
zn´
ych bodov je nadrovina
naz´
yvame perspekt´ıvna afinita (alebo nadrovinov´
a afinita) priestoru Rn; mnoˇzinu vˇsetk´
ych samodruˇ
zn´
ych bo-
dov perspekt´ıvnej afinity naz´
yvame os tejto afinity.
Dˆ
osledok 20.2 Kaˇ
zd´
a afinita na Rn, ktor´
a m´
a aspoˇ
n n-afinne nez´
avisl´
ych bodov samodruˇ
zn´
ych je perspekt´ıvna
afinita alebo identita.
Z vety 17.1 vypl´
yva, ˇ
ze perspekt´ıvna afinita je jednoznaˇ
cne urˇ
cen´
a osou a p´
arom nesamodruˇ
zn´
ych odpovedaj´
ucich
si bodov (t.j. bodom a jeho obrazom).
Ak α je afinn´
e zobrazenie a P 6= αP , priamku P αP naz´
yvame afinitn´
a priamka (zobrazenia α).
Veta 20.3 Vˇ
setky afinitn´
e priamky perspekt´ıvnej afinity s´
u navz´
ajom rovnobeˇ
zn´
e a kaˇ
zd´
a z nich je samodruˇ
zn´
a.
Dˆ
okaz. Nech γ je perspekt´ıvna afinita urˇ
cen´
a osou N a p´
arom bodov A, A0 = γA a nech P ∈ N. Pretoˇ
ze
~
N ⊕ h
−→
P Ai = ~
Rn, pre ˇlubovoˇln´
y bod X ∈ Rn existuje pr´
ave jeden vektor ~
v ∈ ~
N a jedin´
e re´
alne ˇ
c´ıslo r tak, ˇ
ze
X = P +~
v+r
−→
P A, odkiaˇl X0 = µX = µ(P +~
v+r
−→
P A) = P +~
v+r
−→
P A0, takˇ
ze
−→
XX0 = X0−X = r(
−→
P A0−
−→
P A) = r
−→
AA0
a to znamen´
a, ˇ
ze vˇ
setky afinitn´
e priamky s´
u navz´
ajom rovnobeˇ
zn´
e. Ak XX0 je afinitn´
a priamka, je ˇ
nou aj jej
obraz, priamka X0γX0; obe priamky s´
u navz´
ajom rovnobeˇ
zn´
e (podˇla predoˇ
slej ˇ
casti dˆ
okazu) a prech´
adzaj´
u
bodom X0, preto s´
u totoˇ
zn´
e.
Defin´
ıcia 20.4 Mnoˇ
zinu vˇ
setk´
ych afinitn´
ych priamok perspekt´ıvnej afinity naz´
yvame smer tejto afinity.
Veta 20.5 Priamka a jej obraz v perspekt´ıvnej afinite s´
u buˇ
d rovnobeˇ
zn´
e (a vtedy s´
u rovnobeˇ
zn´
e s osou alebo
smerom afinity) alebo rˆ
oznobeˇ
zn´
e (vtedy sa pret´ınaj´
u na osi tejto afinity).
Dˆ
okaz. Nech priamka L je rovnobeˇ
zn´
a s osou N afinity γ; potom
L = C + h~ai, ~a ∈ ~
N , γL = γC + hγ
#~ai = γC + h~ai
a teda L k γL. Ak L 6k N , L ∩ N = {Q} a zrejme Q ∈ γL.
Keˇ
d γ je perspekt´ıvna afinita na Rn s osou N , An 6∈ N a γAn = A
0
n, potom afinitn´
a priamka AnA0n ud´ava smer
tejto afinity. Body An 6= A
0
n s´
u ˇlubovoˇln´
e, preto s´
u dve moˇ
znosti, buˇ
d AnA0n pret´ına N alebo nepret´ına N.
Defin´
ıcia 20.6 Perspekt´ıvnu afinitu, ktorej nejak´
a afinitn´
a priamka pret´ına jej os (resp. nepret´ına) naz´
yvame
homol´
ogia (resp. el´
acia).
Nech AA0, P P 0 s´
u rˆ
ozne afinitn´
e priamky homol´
ogie γ s osou N a nech AA0 ∩ N
= AN , P P 0 ∩
N
=
PN .
Ak AP k N , tak aj A0P 0 k N a podˇla Vety 20.5 AP k A0P 0 preto podˇla Dˆ
osledku 5.7
(γP P PN ) = (γAAAN ). V pr´ıpade, ˇze S = AP ∩ N (viˇ
d obr´
azok) plat´ı tieˇ
z A0P 0 ∩ N = S, takˇ
ze podˇla Vety
5.8 op¨
aˇ
t (γP P PN ) = (γAAAN ). To znamen´
a, ˇ
ze plat´ı
15
P
A
PN
AN
P 0
A0
S
Veta 20.7 Ku kaˇ
zdej homol´
ogii γ s osou N existuje skal´
ar k tak, ˇ
ze pre kaˇ
zd´
y bod X 6∈ N , jeho obraz γX a
prieseˇ
cn´ık XγX ∩ N = XN plat´ı
(γXXXN ) = k.
Skal´
ar k naz´
yvame charakteristika homol´
ogie γ. Homol´
ogiu s osou N, charakteristikou k a smerom s budeme
oznaˇ
covaˇ
t γ[N, k, s].
Veta 20.8 Determinant homol´
ogie sa rovn´
a jej charakteristike, determinant ˇ
lubovoˇ
lnej el´
acie je 1.
Dˆ
okaz. Nech γ je perspekt´ıvna afinita s osou N, ~
e1, . . . , ~en−1 je b´
aza priestoru ~
N , O ∈ N , A /
∈ N , A0 = γA,
−→
OA = ~
en a nech E = (O, ~e1, . . . , ~en) je rep´er. Zrejme γ
#~ei = ~ei pre vˇsetky i = 1, 2, . . . , n − 1. Ak γ je homol´ogia,
tak γ#~
en = k~en a ak γ je el´
acia, tak γ#~
en = ~en + ~a,
~a ∈ ~
N . Matice γ# v rep´
ere E s´
u
1
0
. . .
0
0
0
1
. . .
0
0
. . .
0
0
. . .
1
0
0
0
. . .
0
k
1
0
. . .
0
a1
0
1
. . .
0
a2
. . .
0
0
. . .
1
an−1
0
0
. . .
0
1
ich determinanty s´
u k resp. 1.
´
Uloha 20.9 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze inverzn´
e zobrazenie k perspekt´ıvnej afinite je perspekt´ıvna afinita.
Veta 20.10 Nech α je afinita na Rn, n > 0. Existuje nie viac ako n + 1 perspekt´ıvnych afin´ıt na Rn tak, ˇze ich
s´
uˇ
cin je α.
Dˆ
okaz. Keˇ
d α je identita, potom α = νN νN pre kaˇzd´
u homol´
ogiu νN s charakteristikou -1. Predpokladajme, ˇze
α nie je identita; potom existuje tak´
e A, ˇ
ze αA = A0 6= A . Oznaˇ
cme sab α = L; zrejme A /
∈ L, preto existuje
nadrovina N , ktor´
a inciduje s L a neinciduje s A i A0 (viˇ
d lemu 4.6). Nech νN je perspekt´ıvna afinita, ktor´
a
zobraz´ı A 7→ A0. Pretoˇ
ze L ⊂ N , afinita ν
−1
N α = αo zobraz´
ı L na L a A 7→ A, preto A ∪ L ⊂ sab αo. A /
∈ L
implikuje dim L < dim A ∪ L ˇ
ciˇ
ze plat´ı dim sab α < dim sab αo a α = νN αo. Tento postup zopakujeme pre αo,
atˇ
d. Je zrejm´
e, ˇ
ze po koneˇ
cnom poˇ
cte krokov (nie v¨
aˇ
cˇ
som ako n), αi bude perspekt´ıvna afinita.
Dˆ
osledok 20.11 Mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych perspekt´ıvnych afin´ıt na Rn, n > 0, generuje afinn´
u grupu priestoru Rn.
Pr´
ıklad 20.12 Nech N = [d1 d2 . . . dn+1] je nadrovina priestoru Rn a A[a1 a2 . . . an], A
0[a0
1 a
0
2 . . . a
0
n] s´
u rˆ
ozne
body neleˇ
ziace v N. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze keˇ
d
F (A) = d1a1 + · · · + dnan + dn+1
a 4ij je Kronekerovo delta, potom matica, ktorej v i-tom riadku a j-tom st´lpci je prvok
(a0
i − ai)dj + 4ij F (A)
F (A)
i = 1, . . . , n;
j = 1, . . . , n + 1
je matica perspekt´ıvnej afinity γ[N, A 7→ A0].
16
Dˆ
okaz. Maticu n´
ajdeme takto: Matica pre sab γ mus´ı maˇ
t hodnosˇ
t 1, preto kaˇ
zd´
y jej riadok mus´ı byˇ
t nenulov´
y
n´
asobok matice (d1 d2 . . . dn+1). Po aplik´
acii s´
uradn´ıc bodov A, A0 dostaneme poˇ
zadovan´
e tvrdenie.
Cviˇ
cenie
20.1 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze inverzn´
e zobrazenie k homol´
ogii ν[N, k, s] je homol´
ogia ν−1[N, k−1, s].
20.2 Nech ν[N, k, s], µ[N, k−1, t] s´
u homol´
ogie s nerovnobeˇ
zn´
ymi smermi s, t. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze νµ je el´
acia s osou N .
20.3 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
a el´
acia je s´
uˇ
cin dvoch homol´
ogi´ı.
20.4 Nech L je afinitn´
a priamka perspekt´ıvnej afinity. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze z´
uˇ
zenie ν|L je transl´
acia, ak ν je el´
acia a
rovnoˇlahlosˇ
t, ak ν je homol´
ogia.
20.5 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze homol´
ogia je invol´
ucia pr´
ave vtedy, keˇ
d jej charakteristika je -1.
21
Podobn´
e zobrazenia
Mongeova grupa
Veta 21.1 Ak stopa afinity ϕ : En→En je skal´
arne n´
asobenie skal´
arom k 6= 0, t.j. ak ϕ#~
u = k.~
u pre vˇ
setky
~
u ∈ ~
En, tak ϕ je rovnoˇlahlosˇt alebo transl´
acia. Ak k = 1 tak ϕ je transl´
acia, ak k 6= 1 ϕ je rovnoˇ
lahlosˇ
t
(neidentick´
a) s charakteristikou k.
Dˆ
okaz. Keˇ
d k = 1, potom
−→
XY =
-
ϕXϕY odkiaˇl aj
−→
XϕX =
−→
Y ϕY pre vˇ
setky X, Y ∈ En a to znamen´
a, ˇ
ze ϕ
je transl´
acia (o vektor
−→
XϕX). Nech k 6= 1; potom ϕ nie je identita a preto existuje A tak, ˇ
ze A0 = ϕA 6= A.
Je zrejm´
e, ˇ
ze existuje bod S tak, ˇ
ze (A0AS) = k, t.j.
−→
SA0 = k
−→
SA. Pretoˇ
ze k
−→
SA = ϕ#
−→
SA =
−→
ϕSϕA =
−→
S0A0
(kde S0 = ϕS), tak
−→
SA0 =
−→
S0A0, odkiaˇl m´
ame S = S0, ˇ
ciˇ
ze S je samodruˇ
zn´
y bod zobrazenia ϕ. Ak X ∈ En je
ˇlubovoˇln´y bod a X0 = ϕX, tak
−→
SX0 =
−→
S0X0 = ϕ#
−→
SX = k
−→
SX, t.j. ϕX = S + k
−→
SX, ϕ je teda rovnoˇlahlosˇ
t.
Veta 21.2 (Mongeova) S´
uˇ
cin dvoch rovnoˇ
lahlost´ı priestoru En, n > 0, je rovnoˇlahlosˇt alebo transl´
acia; transl´
acia
vtedy, keˇ
d s´
uˇ
cin charakterist´ık dan´
ych rovnoˇ
lahlost´ı je 1, v ostatn´
ych pr´ıpadoch je to rovnoˇ
lahlosˇ
t (nerovnaj´
uca
sa identite), ktorej charakteristika sa rovn´
a s´
uˇ
cinu charakterist´ık dan´
ych rovnoˇ
lahlost´ı.
Dˆ
okaz. Nech ϕ ,ψ s´
u dve rovnoˇlahlosti s charakteristikami k, h. Potom
(ϕ ◦ ψ)
#(~v) = (ϕ# ◦ ψ#)~v = ϕ#(ψ#~v) = k(h.~v) = kh.~v
t.j. stopa zobrazenia ϕ ◦ ψ je skal´
arne n´
asobenie. Ostatn´
a ˇ
casˇ
t dˆ
okazu vypl´
yva z Vety 21.1.
Analogicky sa dok´
aˇ
ze
Veta 21.3 S´
uˇ
cin neidentickej rovnoˇ
lahlosti a transl´
acie priestoru En je rovnoˇlahlosˇt s tou istou charakteristikou.
Dˆ
okaz nasleduj´
ucej vety prenech´
avame ˇ
citateˇlovi.
Veta 21.4 Ak ρ[S; k] je rovnoˇ
lahlosˇ
t, tak ρ−1 je rovnoˇ
lahlosˇ
t so stredom S a charakteristikou k−1.
Inverzn´
e zobrazenie k rovnoˇlahlosti resp. transl´
acii je rovnoˇlahlosˇ
t resp. transl´
acia; to spolu s Vetou 21.2 dokazuje
nasleduj´
ucu vetu.
Veta 21.5 Vˇ
setky rovnoˇ
lahlosti a transl´
acie priestoru En tvoria grupu (naz´
yvame ju Mongeova grupa). Grupa
vˇ
setk´
ych transl´
aci´ı a grupa vˇ
setk´
ych rovnoˇ
lahlost´ı s t´
ym ist´
ym stredom s´
u komutat´ıvne podgrupy Mongeovej grupy.
17
Ekviformn´
a grupa
Nech ρ[S, k] je rovnoˇlahlosˇ
t na En, ρX = X
0, ρY = Y 0. Potom k
−→
XY =
−→
X0Y 0, odkiaˇl |k||XY | = |X0Y 0| pre
vˇ
setky X, Y .
T´
ym je motivovan´
a
Defin´
ıcia 21.6 Zobrazenie ϕ : En→En naz´
yvame podobn´
e zobrazenie (alebo podobnosˇ
t) na En, ak existuje
kladn´
e re´
alne ˇ
c´ıslo k tak, ˇ
ze pre vˇ
setky X, Y ∈ En
|ϕXϕY | = k|XY |.
(21.1)
ˇ
C´ıslo k naz´
yvame koeficient podobnosti ϕ. Podobnosˇ
t s koeficientom, ktor´
y nie je 1, naz´
yvame vlastn´
a podob-
nosˇ
t. Podobnosˇ
t s koeficientom 1 naz´
yvame zhodnosˇ
t alebo nevlastn´
a podobnosˇ
t.
Rovnosˇ
t (21.1) ukazuje na geometrick´
y v´
yznam koeficienta podobnosti: Vzdialenosˇ
t ˇlubovoˇln´
ych dvoch bodov
sa men´ı na jej k-n´
asobok.
Veta 21.7 Kaˇ
zd´
a podobnosˇ
t na En je afinita.
Dˆ
okaz. Nech ϕ je podobnosˇ
t na En s koeficientom podobnosti k, (ABC) = d, a nech ϕA = A
0, ϕB = B0, ϕC =
C0. Staˇ
c´ı dok´
azaˇ
t, ˇ
ze (A0B0C0) = d. Body A, B, C, s´
u podˇla predpokladu koline´
arne a po dvoch rˆ
ozne, preto
|AB| 6= 0. Keˇ
dˇ
ze k|AB| = |A0B0|, tak aj |A0B0| 6= 0. To znamen´
a. ˇ
ze ϕ je injekcia a tak A0, B0, C0 s´
u po
dvoch rˆ
ozne body. Bez ujmy na vˇ
seobecnosti predpokladajme, ˇ
ze d < 0. Potom |AB| + |BC| = |AC|, odkiaˇl
k|AB| + k|BC| = k|AC| a tieˇ
z |A0B0| + |B0C0| = |A0C0|, takˇ
ze (A0B0C0) < 0. Preto
(A
0B0C0) = −
|A0C0|
|B0C0|
= −
k|AC|
k|BC|
= −
|AC|
|BC|
= (ABC).
ˇ
Lahko sa dok´
aˇ
zu nasleduj´
uce tri vety.
Veta 21.8 S´
uˇ
cin ˇ
lubovoˇ
ln´
ych dvoch podobnost´ı na En je podobnosˇt na En. Koeficient s´
uˇ
cinu dvoch podobnost´ı
je s´
uˇ
cin koeficientov t´
ychto podobnost´ı. Inverzn´
e zobrazenie k podobnosti s koeficientom k je podobnosˇ
t s koefici-
entom k−1.
Veta 21.9 Mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych podobnost´ı na En (s oper´
aciou skladania zobrazen´ı) je grupa (ktor´
u budeme naz´
yvaˇ
t
ekviformn´
a grupa priestoru En).
Veta 21.10 Kaˇ
zd´
a rovnoˇ
lahlosˇ
t je podobnosˇ
t. Rovnoˇ
lahlosˇ
t s charakteristikou k je podobnosˇ
t s koeficientom |k|.
Inverzn´
e zobrazenie k rovnoˇ
lahlosti s charakteristikou k je rovnoˇ
lahlosˇ
t s t´
ym ist´
ym stredom a charakteristikou
k−1.
Nech ϕ je podobnosˇ
t na En s koeficientom k a ρ je rovnoˇlahlosˇt na En s charakteristikou k
−1. Podˇla Vety 21.8
ϕ ◦ ρ = ξ, (resp. ρ ◦ ϕ = ξ) je zhodnosˇ
t, odkiaˇl ϕ = ξ ◦ ρ−1 (resp. ϕ = ρ−1 ◦ ξ). T´
ym je dok´
azan´
a nasleduj´
uca
Veta 21.11 Kaˇ
zd´
a podobnosˇ
t je s´
uˇ
cinom nejakej rovnoˇ
lahlosti a zhodnosti (a tieˇ
z zhodnosti a rovnoˇ
lahlosti).
T´
ato veta hovor´ı, ˇ
ze mnoˇ
zina, do ktorej patria vˇ
setky rovnoˇlahlosti a zhodnosti priestoru En generuje ekviformn´
u
grupu priestoru En.
Urˇ
cenosˇ
t podobn´
ych zobrazen´ı
Lema 21.12 Nech ~a,~b, ~
c, ~
d s´
u tak´
e vektory, ˇ
ze
|~a| = k|~c|, |~b| = k| ~
d|
a
|~a + ~b| = k|~c + ~
d|
alebo
|~a − ~b| = k|~c − ~
d|
potom ~a.~b = k2(~
c. ~
d).
18
Dˆ
okaz. ~a.~b =
1
2 ((~
a + ~b)2 − ~a 2 − ~b 2) =
1
2 (|~
a + ~b|)2 − |~a|2 − |~b|2) =
1
2 (k
2|~c + ~
d|2 − k2|~
c|2 − k2| ~
d|2) = k2~
c. ~
d. Keˇ
d v
predoˇ
slej ˇ
casti dˆ
okazu miesto ~b resp. ~
d p´ıˇ
seme −~b resp.− ~
d, dostaneme druh´
u ˇ
casˇ
t tvrdenia tejto pomocnej vety.
Nasleduj´
uce tri vety ukazuj´
u ako moˇ
zno jednoznaˇ
cne urˇ
ciˇ
t podobnosˇ
t.
Veta 21.13 (o urˇ
cenosti podobnosti) Nech A0, A1, . . . , An je simplex a B0, B1, . . . , Bn s´
u tak´
e body priestoru
En, ˇze existuje re´
alne ˇ
c´ıslo k tak, ˇ
ze
|BiBj| = k|AiAj|
i, j = 0, 1, . . . , n.
Potom existuje pr´
ave jedna podobnosˇ
t na En, ktor´
a zobraz´ı Ai do Bi pre vˇsetky i = 0, 1, . . . , n.
Dˆ
okaz. Podˇla Vety 17.2 existuje jedin´
e afinn´
e zobrazenie ϕ na En tak, ˇze ϕAi = Bi pre vˇsetky i. Staˇc´ı dok´
azaˇ
t,
ˇ
ze ϕ je podobnosˇ
t. Oznaˇ
cme
−→
A0Ai = ~ei,
−→
B0Bi = ~
f
i
pre vˇ
setky i ∈ {1, . . . , n}. Potom zrejme
ϕ
#~e
i =
~
f
i, k|~
ei| = | ~
f
i|, |
~
f
j −
~
f
i| = |BiBj | = k|AiAj | = k|~
ej − ~ei|
a vzhˇladom na Lemu 21.12 ~
f
i
~
f
j = k
2~ei~ej. Keˇd ~u = u1~e1 + . . . + un~en, potom ϕ#~u = u1 ~
f1 + . . . + un ~
fn takˇze
(ϕ
#~u)2 =
X
ui ~
f
i
2
=
X
uiuj ~
f
i
~
f
j =
X
uiujk
2~e
i~
ej = k
2
X
ui~ei
2
= k
2~u 2,
odkiaˇl |ϕ#~
u| = k|~
u|.
Veta 21.14 (o urˇ
cenosti podobnosti) Nech E = (O, ~
e1, . . . , ~en), F = (Q, ~
f1, . . . , ~
fn) s´
u tak´
e dva ortogon´
alne
rep´
ery priestoru En, ˇze k|~ei| = | ~
f
i|
pre vˇ
setky i = 1, . . . , n. Existuje jedin´
a podobnosˇ
t ϕ : En → En tak, ˇze
ϕO = Q, ϕ#~
ei = ~
f
i, pre vˇ
setky i = 1, . . . , n.
Dˆ
okaz. Oznaˇ
cme O = A0, O + ~ei = Ai, Q = B0, Q + ~
f
i = Bi pre vˇ
setky i ≤ n. Hˇladan´
a podobnosˇ
t ϕ
mus´ı vyhovovaˇ
t podmienkam ϕAi = Bi pre kaˇzd´e i ∈ {0, 1, . . . , n}. Keˇ
dˇ
ze 4AiA0Aj, 4BiB0Bj s´
u pravouhl´
e,
pouˇ
zit´ım Pytagorovej vety m´
ame
|BiBj|
2 = |B
iB0|
2 + |B
0Bj |
2 = (k|A
iA0|)
2 + (k|A
0Aj |)
2 = k2(|A
iA0|
2 + |A
0Aj |
2) = k2|A
iAj |
2,
odkiaˇl |BiBj| = k|AiAj|, pre vˇsetky i, j a tak moˇzno aplikovaˇt predoˇsl´
u vetu.
Veta 21.15 (o urˇ
cenosti podobnosti) Keˇ
d A0A1 . . . An, B0B1 . . . Bn s´
u dva pravouhl´
e rovnoramenn´
e simplexy s
odvesnami A0Ai, B0Bi pre vˇsetky i, potom existuje pr´
ave jedna podobnosˇ
t ϕ na En tak, ˇze ϕAi = Bi pre vˇsetky
i = 0, 1, . . . , n.
Dˆ
okaz. Z predpokladov vety vypl´
yva, ˇ
ze existuje k tak, ˇ
ze k|A0Ai| = |B0Bi| pre vˇsetky i a tak s´
u splnen´
e
predpoklady predoˇ
slej vety.
Invarianty podobn´
ych zobrazen´ı
Keˇ
dˇ
ze kaˇ
zd´
a podobnosˇ
t je afinita, tak z pr´ısluˇ
sn´
ych viet o vlastnostiach afin´ıt vypl´
yva, ˇ
ze deliaci pomer, vlastnosˇ
t
byˇ
t podpriestorom priestoru En, dimenzia priestoru, rovnobeˇznosˇt s´
u invarianty kaˇ
zdej podobnosti. Uk´
aˇ
zeme,
ˇ
ze podobnosti maj´
u eˇ
ste ˇ
daˇlˇ
sie dˆ
oleˇ
zit´
e invarianty, medzi ktor´
e nepatr´ı d´lˇ
zka ´
useˇ
cky.
Keˇ
d ϕ je podobnosˇ
t s koeficientom k, priamo z Lemy 21.12 vypl´
yva, ˇ
ze pre ˇlubovoˇln´
e vektory ~a, ~b ∈ ~
En plat´ı
ϕ
#~a.ϕ#~b = k2(~a.~b)
(21.2)
Veta 21.16 Uhol nenulov´
ych vektorov, kolmosˇ
t podpriestorov euklidovsk´
eho priestoru s´
u invarianty kaˇ
zdej po-
dobnosti.
19
Dˆ
okaz. Nech ϕ je podobnosˇ
t s koeficientom k. Podˇla (21.2)
cos <) ϕ
#~a ϕ#~b =
ϕ#~a.ϕ#~b
|ϕ#~a||ϕ#~b|
=
k2~a~b
|k~a||k~b|
=
~a~b
|~a||~b|
= cos <) ~a~b.
Podobnosti s´
u teda tak´
e afinity, ktor´
e nemenia veˇlkosˇ
t uhlov. Plat´ı aj obr´
aten´
a
Veta 21.17 Keˇ
d ϕ je afinita na En, n > 1, ktorej invariantom je veˇlkosˇt uhlov, potom ϕ je podobnosˇt na En.
Dˆ
okaz. Nech E = (A0,
−→
A0A1, . . . ,
−→
A0An) je ortonorm´
alny rep´
er. Pre i 6= j m´
a trojuholn´ık A0AiAj veˇlkosti uhlov
90◦, 45◦, 45◦, preto i trojuholn´ık ϕA0ϕAiϕAj m´
a uhly t´
ychto veˇlkost´ı, je to teda pravouhl´
y rovnoramenn´
y tro-
juholn´ık. To znamen´
a, ˇ
ze F = (ϕA0,
−→
ϕA0ϕA1, . . . ,
−→
ϕA0ϕAn) je ortogon´
alny rep´
er s rovnak´
ymi d´lˇ
zkami vektorov.
T´
ym s´
u splnen´
e predpoklady Vety 21.15, ϕ je teda podobnosˇ
t.
Veta 21.18 Kaˇ
zd´
a vlastn´
a podobnosˇ
t m´
a pr´
ave jeden samodruˇ
zn´
y bod.
Dˆ
okaz. Nech ϕ : En→En je vlastn´
a podobnosˇ
t s koeficientom r a nech |sab ϕ| 6= 1. Potom determinant matice
ϕ#E − 1E je 0, preto existuje netrivi´
alne rieˇ
senie homog´
ennej s´
ustavy line´
arnych rovn´ıc s parametrom k, ktorej
matica je ϕ#E − k.1E, pre k=1. To znamen´
a, ˇ
ze existuje tak´
y vlastn´
y vektor ~
u, ˇ
ze ϕ#~
u = k.~
u = 1.~
u, odkiaˇl
|ϕ#~
u| = |~
u| a preto r = 1, ˇ
ciˇ
ze ϕ je nevlastn´
a podobnosˇ
t, ˇ
co je spor s predpokladom.
Matice a determinanty podobnost´ı
Veta 21.19 Nech E je ortonorm´
alny rep´
er priestoru En, n > 0 a nech ϕ je afinita na En. ϕ je podobnosˇt pr´
ave
vtedy, keˇ
d existuje k > 0 tak, ˇ
ze
(ϕ
#E )T .ϕ#E = k2.1E,
(21.3)
(kde 1E je jednotkov´
a matica).
Dˆ
okaz. Predpokladajme, ˇ
ze E = (O, ~
e1, . . . , ~en) , F = (Q, ~
f1, . . . , ~
fn) , priˇcom ϕ
#~ei = ~
fi, pre vˇsetky i = 1, . . . , n
a
ϕ
E =
f11
. . .
f1n
p1
. . .
fn1
. . .
fnn
pn
.
(21.4)
Potom
ϕ
#E =
f11
. . .
f1n
. . .
fn1
. . .
fnn
= [ ~
f
E
1
. . . ~
f
E
n
].
(posledn´
a matica je blokov´
a, zloˇ
zen´
a zo st´lpcov ~
f
E
i
). Priamym v´
ypoˇ
ctom sa ˇlahko over´ı, ˇ
ze
(ϕ
#E )T .ϕ#E = gF
je gramova matica b´
azy F. Nech ϕ je podobnosˇ
t. Podˇla (21.2)
~
f
i.
~
f
j = k
2~ei.~ej a to je (vzhˇladom nato, ˇze ~ei.~ej
je 1 alebo 0) k2, keˇ
d i = j a nula, keˇ
d i 6= j, preto plat´ı 21.3. Obr´
atene, ak gF = k2.1E, tak F je ortogon´
alna
s´
ustava vektorov rovnakej d´lˇ
zky. T´
ym s´
u splnen´
e predpoklady Vety 21.15, preto ϕ je podobnosˇ
t.
Veta 21.20 Determinant kaˇ
zdej podobnosti ϕ : En→En, n > 0, s koeficientom k je ±k
n.
Dˆ
okaz. Z 21.3 vypl´
yva
(det ϕ
#E )2 = det(ϕ#E)T .det (ϕ#E) = det(k2.1E) = k2n,
odkiaˇl odmocnen´ım dost´
avame poˇ
zadovan´
e tvrdenie.
20
Predpokladajme, ˇ
ze ρ[S, k] je rovnoˇlahlosˇ
t na En, ktor´
a nie je identita, E = (O, ~
e1, . . . , ~en) je rep´er priestoru En,
SE = [s1, . . . , sn],
XE = [x1, . . . , xn], ρX = X
0, X0
E = [x
0
1, . . . , x
0
n]. Ke
ˇ
d rovnicu X0 = S + k
−→
SX rozp´ıˇ
seme
do s´
uradn´ıc, dostaneme x0
i = si + k(xi − si), odkia
ˇl
x
0
i
=
k.xi + (1 − k)si
pre i = 1, 2, . . . , n
x
0
i
=
k.xi + bi,
bi = (1 − k)si
pre i = 1, 2, . . . , n;
tieto rovnice s´
u rovnice rovnoˇlahlosti ρ (v rep´
ere E). Matica tohto zobrazenia ( v rep´
ere E) je
k
0
. . .
0
b1
0
k
. . .
0
b2
..
.
0
0
. . .
k
bn
.
(21.5)
T´
ym je dok´
azan´
a
Veta 21.21 Nech n > 0 je prirodzen´
e ˇ
c´ıslo a nech k 6= 0, b1, . . . , bn, s´
u tak´
e re´
alne ˇ
c´ısla, ˇ
ze k = 1 implikuje
b1 = . . . = bn = 0. Potom kaˇzd´
a matica tvaru (21.5) je maticou homotetie na En s charakteristikou k a obr´
atene,
kaˇ
zd´
a homotetia na En s charakteristikou k m´
a maticu tvaru (21.5).
Dˆ
osledok 21.22 Determinant rovnoˇ
lahlosti En → En s charakteristikou k je k
n.
Kaˇ
zd´
a rovnoˇlahlosˇ
t s kladnou charakteristikou je priama podobnosˇ
t, kaˇ
zd´
a rovnoˇlahlosˇ
t na En, n-p´
arne, je priama
podobnosˇ
t a kaˇ
zd´
a rovnoˇlahlosˇ
t so z´
apornou charakteristikou definovan´
a na priestore s nep´
arnou dimenziou je
nepriama podobnosˇ
t. To ˇ
speci´
alne znamen´
a, ˇ
ze kaˇ
zd´
a rovnoˇlahlosˇ
t na rovine je priama.
Cviˇ
cenie
21.1 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze grupa vˇ
setk´
ych rovnoˇlahlost´ı (na Rn) s t´
ym ist´
ym stredom je izomorfn´
a s multiplikat´ıvnou
grupou poˇla re´
alnych ˇ
c´ısel.
21.2 Zobrazenie δ : Rn→Rn, n > 1, ktor´e zobraz´ı kaˇzd´
u priamku priestoru En na priamku s ˇ
nou rovnobeˇ
zn´
u
naz´
yvame dilat´
acia na En. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
a dilat´
acia je buˇ
d transl´
acia alebo homotetia; keˇ
d δ je dilat´
acia,
potom
(i) δ je identita, ak δ m´
a aspoˇ
n dva rˆ
ozne body samodruˇ
zn´
e,
(ii) δ je rovnoˇlahlosˇ
t, ak δ m´
a pr´
ave jeden samodruˇ
zn´
y bod,
(iii) δ je neidentick´
a transl´
acia, ak δ nem´
a ˇ
ziadny samodruˇ
zn´
y bod.
21.3 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
y samodruˇ
zn´
y podpriestor podobnosti ϕ : En→En, ktor´
a m´
a pr´
ave jeden samodruˇ
zn´
y
bod, prech´
adza t´
ymto samodruˇ
zn´
ym bodom.
22
Zhodn´
e zobrazenia
Vˇ
seobecne o zhodn´
ych zobrazeniach
Je zrejm´
e, ˇ
ze kaˇ
zd´
e podobn´
e zobrazenie ξ : En→En s koeficientom k = 1 je zhodn´e zobrazenie. Zhodn´e
zobrazenia teda patria medzi podobn´
e zobrazenia, preto z niektor´
ych viet o podobn´
ych zobrazeniach dostaneme
vety o zhodn´
ych zobrazeniach, ak v nich poloˇ
z´ıme k = 1 (k je koeficient podobnosti). Zhodn´
e zobrazenie
naz´
yvame tieˇ
z izometria. Zhodn´
e zobrazenia nemenia vzdialenosˇ
t bodov, vzdialenosˇ
t je teda invariant zhodn´
eho
zobrazenia.
Veta 22.1 (o urˇ
cenosti zhodnosti) Nech A0, . . . , An je simplex a B0, . . . , Bn je tak´
a s´
ustava bodov priestoru En,
ˇ
ze |AiAj| = |BiBj| i, j = 0, 1, . . . , n. Existuje pr´
ave jedna zhodnosˇ
t
ξ : En→En tak, ˇze
Bi = ξAi
i = 0, 1, . . . , n.
21
Veta 22.2 (o urˇ
cenosti zhodnosti) Nech E = (O, ~
e1, . . . , ~en), F = (Q, ~
f1, . . . , ~
fn) s´
u dva ortonorm´
alne rep´
ery
priestoru En. Existuje pr´
ave jedna zhodnosˇ
t ξ : En→En tak, ˇze Q = ξO, ~
f
i = ξ
#~ei,
i = 1, 2, . . . , n.
Veta 22.3 Skal´
arny s´
uˇ
cin, uhol vektorov, kolmosˇ
t vektorov s´
u invarianty kaˇ
zdej zhodnosti.
Veta 22.4 Nech E je ortonorm´
alny rep´
er priestoru En, n > 0 a nech ξ : En→En je afinita. Potom ξ je zhodnosˇt
pr´
ave vtedy, keˇ
d
(ξ
#E )T .ξ#E = 1E
(t.j. gramova matica obrazu b´
azy E v ortonorm´
alnom rep´
ere) je jednotkov´
a matica.
Veta 22.5 Determinant kaˇ
zdej zhodnosti je ±1.
Veta 22.6 Vˇ
setky zhodnosti na En (s oper´
aciou skladania) tvoria grupu (budeme ju naz´
yvaˇ
t euklidovsk´
a grupa
priestoru En), ktor´
a je podgrupou afinnej grupy i ekviformnej grupy priestoru En.
S´
umernosˇ
t podˇla podpriestoru
Defin´
ıcia 22.7 Nech L je podpriestor priestoru En. Zobrazenie σL : En→En, X 7→ X
0 naz´yvame s´umernosˇt
podˇla podpriestoru L, ak ortogon´
alny priemet bodu X do L je stred dvojice X, X0. Ak L je bod, σL naz´
yvame
stredov´
a s´
umernosˇ
t, ak L je priamka, σL je osov´
a s´
umernosˇ
t.
Dˆ
osledok 22.8 Keˇ
d σL je s´
umernosˇ
t podˇ
la podpriestoru L, potom mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych samodruˇ
zn´
ych bodov tejto
s´
umernosti je L.
Veta 22.9 Kaˇ
zd´
a s´
umernosˇ
t podˇ
la podpriestoru je involut´
orna zhodnosˇ
t a obr´
atene, kaˇ
zd´
a involut´
orna zhodnosˇ
t
je s´
umernosˇ
t podˇ
la podpriestoru.
Dˆ
okaz. Nech σL : En→En je s´
umernosˇ
t podˇla podpriestoru L, A, B s´
u ˇlubovoˇln´
e body v En, AL, BL ich
ortogon´
alne priemety do L a nech σLA = A
0, σ
LB = B
0. Potom
|AB|2
=
−→
AB
2
= (
−→
AAL +
−→
ALBL +
−→
BLB)
2 =
=
−→
AA
2
L +
−→
ALBL
2
+
−→
BLB
2
+ 2(
−→
AAL.
−→
ALBL +
−→
AAL.
−→
BLB +
−→
ALBL.
−→
BLB) =
=
−→
AA
2
L +
−→
ALBL
2
+
−→
BLB
2
+ 2
−→
AAL.
−→
BLB.
Podobne
−→
A0B0
2
=
−→
A0A
2
L +
−→
ALBL
2
+
−→
BLB
0
2
+ 2
−→
A0AL.
−→
BLB
0.
Z t´
ychto rovnost´ı pouˇ
zit´ım
|AAL| = |A
0A
L|,
|BBL| = |B
0B
L|,
−→
A0AL.
−→
BLB
0 = (−
−→
AAL)(−
−→
BLB) =
−→
AAL.
−→
BLB
dost´
avame
|AB|2 = |A0B0|2
t.j.
|AB| = |A0B0|
a to znamen´
a, ˇ
ze σL je zhodnosˇt. Druh´
a ˇ
casˇ
t tejto implik´
acie (t.j. ξ2 = 1) je zrejm´
a.
Dˆ
okaz obr´
atenej vety.
Nech σ je involut´
orna zhodnosˇ
t, L = sab σ, X ˇlubovoˇln´
y bod, σX = X0 a nech
S = X ÷ X0. Potom σS = S a teda S ∈ L. Ak dim L = 0, tak zrejme σ = σL; ak dim L > 0 zvoˇlme ˇlubovoˇln´
y
bod A ∈ L, A 6= S. Keˇ
d X 6∈ L, potom |<) XSA| = |<) X0SA|; s´
uˇ
cet t´
ychto veˇlkost´ı je π, preto
−→
XX0
⊥
−→
SA pre
vˇ
setky A ∈ L, teda
−→
XX0 ⊥ L.
22
S´
umernosˇ
t podˇla nadroviny
Veta 22.10 Zhodnosˇ
t ξ : En→En je s´
umernosˇ
t podˇ
la nadroviny N pr´
ave vtedy, keˇ
d N je mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych jej
samodruˇ
zn´
ych bodov.
Dˆ
okaz. ⇒: Tvrdenie vypl´
yva z Dˆ
osledku 22.8. ⇐: Nech ξ je zhodnosˇ
t a nech nadrovina N je mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych
jej samodruˇ
zn´
ych bodov. Nech X /
∈ N, XN je pravouhl´y priemet bodu X do N . Pretoˇze kaˇzd´y samodruˇzn´y bod
zobrazenia ξ leˇ
z´ı v N , tak X 6= X0 = ξX. Invariantom zhodnosti je kolmosˇ
t, preto obraz X0XN priamky XXN
je tieˇ
z kolm´
y na N . To znamen´
a, ˇ
ze X0XN = XXN , ˇciˇze body X
0, X, X
N leˇ
zia na jednej priamke (kolmej na
N ). Pretoˇ
ze aj vzdialenosˇ
t bodov je invariant zhodnosti, tak |X0XN | = |XXN |, ˇciˇze XN je stred dvojice X
0, X,
ˇ
co znamen´
a, ˇ
ze ξ je s´
umernosˇ
t podˇla nadroviny N .
Dˆ
osledok 22.11 Ak ξ je tak´
a zhodnosˇ
t, ˇ
ze kaˇ
zd´
y bod nadroviny N je jej samodruˇ
zn´
y bod, potom ξ je buˇ
d identita
alebo s´
umernosˇ
t podˇ
la nadroviny.
Veta 22.12 Nech A 6= A0 s´
u ˇ
lubovoˇ
ln´
e body priestoru En. Existuje pr´
ave jedna s´
umernosˇ
t σN podˇla nadroviny
N tak, ˇ
ze σN A = A
0.
Dˆ
okaz. Nadrovina N mus´ı prech´
adzaˇ
t stredom dvojice X, X0 kolmo na
−→
AA0; tak´
a nadrovina existuje pr´
ave jedna.
Ak ν[N, −1, s] je homol´
ogia so smerom s kolm´
ym na nadrovinu N a νX = X0 , tak
−→
XX0 ⊥ ~
N a XX0 ∩ N = XN
je ortogon´
alny priemet bodu X do N . Ak X /
∈ N , tak podˇla Vety 20.7
(X0XXN ) = −1, ˇciˇze XN je stred
dvojice X, X0. Preto plat´ı
Veta 22.13 Kaˇ
zd´
a homol´
ogia so smerom kolm´
ym na os N a charakteristikou −1 je s´
umernosˇ
t podˇ
la nadroviny
N a obr´
atene.
Z Vety 20.8 vypl´
yva
Dˆ
osledok 22.14 Kaˇ
zd´
a s´
umernosˇ
t podˇ
la nadroviny je nepriama zhodnosˇ
t.
Z defin´ıcie perspekt´ıvnej afinity a z Vety 22.10 vypl´
yva
Dˆ
osledok 22.15 Kaˇ
zd´
a perspekt´ıvna afinita, ktor´
a je zhodnosˇ
t je s´
umernosˇ
t podˇ
la nadroviny.
Podobne ako Veta 20.10, dok´
aˇ
ze sa
Veta 22.16 Nech ξ je zhodnosˇ
t na En, n > 0. Existuje nie viac ako n + 1 s´
umernost´ı podˇ
la nadrov´ın priestoru
En tak, ˇze ich s´
uˇ
cin je ξ.
Priamy dˆ
osledok tejto Vety je
Veta 22.17 Mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych s´
umernost´ı podˇ
la nadrov´ın priestoru En generuje euklidovsk´
u grupu priestoru
En.
Veta 22.18 S´
uˇ
cin dvoch s´
umernost´ı podˇ
la rovnobeˇ
zn´
ych nadrov´ın priestoru En je transl´
acia. Keˇ
d M k N
s´
u nadroviny, A ∈ M, B ∈ N,
−
−
→
AB ⊥ N, potom σM σN = τ
2
−
−
→
BA
. Obr´
atene, kaˇ
zd´
a transl´
acia je s´
uˇ
cin dvoch
s´
umernost´ı podˇ
la rovnobeˇ
zn´
ych nadrov´ın kolm´
ych na vektor transl´
acie, z ktor´
ych jedna je ˇ
lubovoˇ
ln´
a a druh´
a je
urˇ
cen´
a jednoznaˇ
cne.
Dˆ
okaz. Nech E je tak´
y ortonorm´
alny rep´
er so zaˇ
ciatkom A, ˇ
ze rovnice nadrov´ın M, N s´
u v porad´ı xn = 0,
xn = p. Nech X = [x1, . . . , xn−1, xn] je ˇlubovoˇln´
y bod. Je zrejm´
e, ˇ
ze jeho obraz X0 v s´
uˇ
cine σM σN m´
a s´
uradnice
[x1, . . . , xn−1, −2p + xn], takˇze
−−→
XX
0 = (0, . . . , 0, −2p) je konˇstantn´y vektor. Zvyˇsok dˆokazu je evidentn´y.
Veta 22.19 S´
uˇ
cin troch s´
umernost´ı podˇ
la nadrov´ın priestoru En patriacich nejak´emu zv¨
azku, je s´
umernosˇ
t podˇ
la
nadroviny, ktor´
a patr´ı do tohto zv¨
azku.
23
Dˆ
okaz. Nech nadroviny K, L, M patria zv¨
azku nadrov´ın a nech ξ = σK σLσM . 1) Nech tento zv¨
azok je nevlastn´
y
a nech E je tak´
y ortonorm´
alny rep´
er, ˇ
ze rovnice nadrov´ın K, L, M s´
u v porad´ı xn = 0, xn = p, xn = q. Nech A =
[a1, . . . , an−1, an] je ˇlubovoˇln´
y bod. Je zrejm´
e, ˇ
ze jeho obraz A0 v s´
uˇ
cine ξ m´
a s´
uradnice [a1, . . . , an−1, 2(q−p)−an],
ˇ
ciˇ
ze A0 je obraz bodu A v s´
umernosti podˇla nadroviny, ktorej rovnica je xn = q − p. 2) Nech nadroviny K, L, M
patria vlastn´
emu zv¨
azku, potom ich prienik je priestor (povedzme P ), dimenzie n − 2. Keˇ
dˇ
ze det ξ = −1, ξ nie
je identita, preto existuje bod A tak, ˇ
ze ξ(A) = A0 6= A. Nech N je tak´
a nadrovina, ˇ
ze σN (A
0) = A. Potom
P ⊂ N, σN ξ(A) = A a kaˇzd´
y bod priestoru P je samodruˇ
zn´
y bod s´
uˇ
cinu σN ξ a tak kaˇzd´
y bod nadroviny P ∪ A
je samodruˇ
zn´
y bod s´
uˇ
cinu σN ξ. Tento s´
uˇ
cin je preto identita (s´
umernosˇ
t podˇla nadroviny to nemˆ
oˇ
ze byˇ
t lebo
det σN ξ 6= −1) a tak σN = σK σLσM .
Grupa symetri´ı
Euklidovsk´
a grupa m´
a mnoho podgr´
up, medzi najv´
yznamnejˇ
sie patria grupy symetri´ı. Hovor´ıme, ˇ
ze zobrazenie
ξ : En→En je symetria ´
utvaru U (leˇ
ziaceho v En), ak ξ je zhodnosˇt a ξU = U ; v tom pr´ıpade aj ξ
−1U = U ,
takˇ
ze vzhˇladom na Lemu A.5 plat´ı
Veta 22.20 Nech U je ´
utvar priestoru En. Mnoˇzina vˇsetk´
ych symetri´ı ´
utvaru U je podgrupou euklidovskej grupy
priestoru En; naz´
yvame ju grupa symetri´ı ´
utvaru U .
Pr´
ıklad 22.21 N´
ajdite grupu symetri´ı obd´
lˇ
znika.
Rieˇ
senie. Nech S je stred obd´lˇ
znika ABCD a nech ξ : E2→E2 je symetria obd´lˇznika ABCD . Uk´
aˇ
zeme, ˇ
ze
S = ξS; zrejme (ACS) = −1 preto (ξAξCξS) = −1 t.j. ξS = ξA ÷ ξC. Pretoˇ
ze
X, Y ∈ ABCD
∧
|XY | = |AC| ⇒ {X, Y } = {A, C} ∨ {X, Y } = {B, D},
tak {ξA, ξC} = {A, C} alebo {ξA, ξC} = {B, D}; to znamen´
a, ˇ
ze ξS = A ÷ C = S alebo ξS = B ÷ D = S,
teda ξS = S. A, B, S tvoria simplex roviny E2 so vzdialenosˇtami vrcholov |AB| = a, |AS| = |BS| = e. Preto
ξA, ξB, ξS je simplex s t´
ymi ist´
ymi vzdialenosˇ
tami vrcholov. To znamen´
a, ˇ
ze simplex (ξA, ξB, ξS) = (ξA, ξB, S)
je jeden z nasleduj´
ucich simplexov: (A, B, S), (B, A, S), (C, D, S), (D, C, S). Postupne tak dostaneme zobra-
zenia 1, σp, σS, σq, kde p je os ´
useˇ
cky AB a q je os ´
useˇ
cky BC.
Cviˇ
cenie
22.1 V En s´
u dan´
e dve roviny M, N. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze existuje zhodnosˇ
t ξ : En → En, ktor´
a zobraz´ı M na N.
22.2 V En s´
u dan´
e dva podpriestory M, N. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze existuje zhodnosˇ
t ξ : En → En, ktor´
a zobraz´ı M do N
alebo N do M.
24
A F I N N ´
E
Z O B R A Z E N I A
v
E1, E2, E3
23
Afinity na priamke
Pod afinitou na priamke budeme rozumieˇ
t kaˇ
zd´
u afinitu E1 do E1. Podˇla (15.6), kaˇzd´
u afinitu α na E1 repre-
zentuje rovnica
x
0
1 = g11x1 + p1,
g11 6= 0.
(23.1)
T´
ato rovnica vˇ
sak podˇla vety 21.21 je rovnicou homotetie pre g11 6= 1 a rovnicou transl´
acie, pre g11 = 1. To
znamen´
a, ˇ
ze kaˇ
zd´
a afinita na E1 je rovnoˇlahlosˇt alebo transl´
acia.
Platia teda nasleduj´
uce dve vety.
Veta 23.1 Kaˇ
zd´
a afinita na E1 je buˇ
d rovnoˇ
lahlosˇ
t alebo transl´
acia. Kaˇ
zd´
a afinita na E1 je podobnosˇt.
Veta 23.2 Afinn´
a, ekviformn´
a a Mongeova grupa na E1 s´
u totoˇ
zn´
e.
Keˇ
dˇ
ze determinant zhodnosti je ±1, rovnica 23.1 je rovnicou zhodnosti pr´
ave vtedy, keˇ
d f11 = ±1 a preto plat´ı
veta
Veta 23.3 Kaˇ
zd´
a zhodnosˇ
t na E1 je buˇ
d stredov´
a s´
umernosˇ
t alebo transl´
acia.
Priamo z Vety 22.18 vypl´
yva
Pr´
ıklad 23.4 S´
uˇ
cin dvoch stredov´
ych s´
umernost´ı je transl´
acia o vektor 2
−→
BA.
Cviˇ
cenie
23.1 Nech (R, +, .) je pole re´
alnych ˇ
c´ısel, G = {[a, b]; a 6= 0, a, b ∈ R}. Na mnoˇ
zine G definujeme oper´
aciu * :
[a, b] ∗ [c, d] = [ac, ad + b].
Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze (G, ∗) je grupa izomorfn´
a s afinnou grupou na E1.
23.2 Dan´
a je rovnoˇlahlosˇ
t ρ : x0 = 3x + 1 a transl´
acia τ : x0 = x − 3. Vypoˇ
c´ıtajte rovnice zobrazen´ı ρ−1, τ −1,
ρτ, τ ρτ −1, ρτ ρ−1, τ τ . Vypoˇ
c´ıtajte s´
uradnice stredov rovnoˇlahlost´ı ρτ, τ ρ.
24
Afinity na rovine
V tomto ˇ
cl´
anku vykon´
ame klasifik´
aciu afin´ıt definovan´
ych na rovine. Rozhoduj´
ucu ´
ulohu bud´
u maˇ
t mnoˇ
ziny
sab α - mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych samodruˇ
zn´
ych bodov a cosab α - mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych samodruˇ
zn´
ych smerov afinity α.
Nech E = (O, ~
e1, ~e2) je rep´er afinn´eho priestoru E2 a nech α : E2→E2 je afinita dan´
a maticou
α
E =
a
b
e
c
d
f
(24.1)
Je zrejm´
e, ˇ
ze sab α je mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych rieˇ
sen´ı s´
ustavy line´
arnych rovn´ıc
x1
=
ax1 + bx2 + e
x2
=
cx1 + dx2 + f
t.j.
(a − 1)x1
+bx2
=
−e
cx1
+(d − 1)x2
=
−f.
(24.2)
25
cosab α je zase mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych netrivi´
alnych vektorov´
ych priestorov h(v1, v2)i, kde (v1, v2) je rieˇsenie s´
ustavy
line´
arnych homog´
ennych rovn´ıc s parametrom k 6= 0 (vlastn´
e ˇ
c´ıslo)
(a − k)v1
+bv2
=
0
cv1
+(d − k)v2
=
0.
(24.3)
Keˇ
d α nem´
a ˇ
ziadny samodruˇ
zn´
y smer, potom s´
ustava (24.3) nem´
a rieˇ
senie pre vˇ
setky k 6= 0, to znamen´
a, ˇ
ze
determinant matice s´
ustavy 24.3 je rˆ
ozny od nuly aj pre k = 1 (t.j. determinant matice s´
ustavy 24.2 je rˆ
ozny od
nuly); z 24.2 vypl´
yva, ˇ
ze |sab α| = 1. Jedna z tak´
ych afin´ıt je dan´
a maticou
α
E =
2
5
0
−1
2
0
.
V ˇ
dalˇ
som predpokladajme, ˇ
ze existuje aspoˇ
n jeden samodruˇ
zn´
y smer; nech je to smer h~
e1i. Potom
α
E =
a
b
e
0
d
f
a sab α z´
avis´ı od toho, ˇ
ci determinant (a − 1)(d − 1) matice s´
ustavy (24.2) (bez posledn´
eho st´lpca) je 0, t.j. ˇ
ci
a = 1 alebo d = 1. Ak by existoval eˇ
ste ˇ
dalˇ
s´ı samodruˇ
zn´
y smer, povedzme h~
e2i , potom b=0. Budeme preto
rozliˇ
sovaˇ
t tieto moˇ
znosti:
a
d
b
1
1
1
0
2
1
1
b
b 6= 0
3
a
1
0
a 6= 1
4
a
1
b
a 6= 1, b 6= 0
5
1
d
0
d 6= 1
6
1
d
b
d 6= 1, b 6= 0
7
a
d
0
a 6= 1, d 6= 1
8
a
d
b
a 6= 1, d 6= 1, b6= 0
Postupne preberieme vˇ
setky tieto pr´ıpady.
1
αE
=
1
0
e
0
1
f
;
α je transl´
acia;
kaˇ
zd´
y smer je samodruˇ
zn´
y;
sab α = E2 alebo sab α = ∅
2
αE
=
1
b
e
0
1
f
b 6= 0
cosab α
:
1 − k
b
0
1 − k
(1 − k)2 = 0
k = 1
cosab α
=
h~e1i
|cosab α| = 1
sab α
:
0
b
e
0
0
f
f = 0 ⇒
sab α je priamka
bx2 + e = 0
f 6= 0 ⇒
sab α = ∅
3
αE
=
a
0
e
0
1
f
a 6= 1
cosab α
:
a − k
0
0
1 − k
k = a ⇒
h~e1i ∈ cosab α
k = 1 ⇒
h~e2i ∈ cosab α
|cosab α| = 2
sab α
:
a − 1
0
e
0
0
f
f = 0 ⇒
sab α je priamka
(a − 1)x1 + e = 0
f 6= 0 ⇒
sab α = ∅
26
4
αE
=
a
b
e
0
1
f
a 6= 1, b 6= 0
cosab α
:
a − k
b
0
1 − k
k = a ⇒
h~e1i ∈ cosab α
k = 1 ⇒
h(b, 1 − a)i ∈ cosab α
|cosab α| = 2
sab α
:
a − 1
b
e
0
0
f
f = 0 ⇒
sab α je priamka
(a − 1)x1 + bx2 + e = 0
f 6= 0 ⇒
sab α = ∅
5
αE
=
1
0
e
0
d
f
d 6= 1
cosab α
:
1 − k
0
0
d − k
k = 1 ⇒
h~e1i ∈ cosab α
k = d ⇒
h~e2i ∈ cosab α
|cosab α| = 2
sab α
:
0
0
e
0
d − 1
f
e = 0 ⇒
sab α je priamka
(d − 1)x2 + f = 0
e 6= 0 ⇒
sab α = ∅
6
αE
=
1
b
e
0
d
f
d 6= 1, b 6= 0
cosab α
:
1 − k
b
0
d − k
k = 1 ⇒
h~e1i ∈ cosab α
k = d ⇒
h(b, d − 1)i ∈ cosab α
|cosab α| = 2
sab α
:
0
b
e
0
d − 1
f
f b = e(d − 1) ⇒
sab α je priamka
(d − 1)x2 + f = 0
f b 6= e(d − 1) ⇒
sab α = ∅
7
αE
=
a
0
e
0
d
f
d 6= 1, a 6= 1
(i) a = d
cosab α
:
a − k
0
0
a − k
k = a ⇒
kaˇ
zd´
y smer je
samodruˇ
zn´
y
|cosab α| = ∞
sab α
:
a − 1
0
e
0
a − 1
f
|sab α| = 1
(ii) a 6= d
cosab α
:
a − k
0
0
d − k
|cosab α| = 2
sab α
:
a − 1
0
e
0
d − 1
f
|sab α| = 1
27
8
αE
=
a
b
e
0
d
f
a 6= 1, b 6= 0, d 6= 1
(i) a = d
cosab α
:
a − k
b
0
a − k
|cosab α| = 1
sab α
:
a − 1
b
e
0
a − 1
f
|sab α| = 1
(ii) a 6= d
cosab α
:
a − k
b
0
d − k
|cosab α| = 2
sab α
:
a − 1
b
e
0
d − 1
f
|sab α| = 1
Spolu je to 10 pr´ıpadov, ktor´
e s´
u uveden´
e v tabuˇlke:
sab α \ cosab α
0
1
2
vˇ
setky
0
x
x
x
1
x
x
x
x
priamka
x
x
vˇ
setky
x
Cviˇ
cenie
24.1 Nech α : E2→E2 je afinita dan´
a maticou
α
E =
a
b
0
−b
a
0
b 6= 0.
Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze α m´
a pr´
ave jeden samodruˇ
zn´
y bod a nem´
a ˇ
ziadnu samodruˇ
zn´
u priamku.
24.2 Dan´
a je priamka N : 3x + 7y − 1 = 0 a body A[3, 0], A0[−1, 1]. Vypoˇ
c´ıtajte rovnice perspekt´ıvnej afinity
γ, ktorej os je N a ktor´
a zobraz´ı A do A0.
24.3 Urˇ
cte sab α, cosab α, ak α : E2→E2 je dan´
a maticou
17
11
−1
−19
−12
2
.
25
Zhodnosti na rovine
Zhodnosˇ
t ako s´
uˇ
cin osov´
ych s´
umernost´ı
S´
umernosˇ
t podˇla nadroviny definovan´
a na E2 je s´
umernosˇ
t podˇla priamky, ˇ
ciˇ
ze osov´
a s´
umernosˇ
t. Z viet 22.9,
22.14 vypl´
yva, ˇ
ze osov´
a s´
umernosˇ
t na E2 je nepriama zhodnosˇt, ktor´
a je invol´
ucia a ˇ
ze pre kaˇ
zd´
e dva rˆ
ozne body
A, A0 ∈ E2 existuje pr´
ave jedna osov´
a s´
umernosˇ
t, ktor´
a zobraz´ı A do A0.
Podˇla 22.16 kaˇ
zd´
a zhodnosˇ
t na rovine je s´
uˇ
cin dvoch alebo troch osov´
ych s´
umernost´ı. Preto klasifikovaˇ
t zhodnosti
na rovine znamen´
a preˇ
setriˇ
t vˇ
setky moˇ
zn´
e s´
uˇ
ciny dvoch alebo troch osov´
ych s´
umernost´ı (pritom rozliˇ
sovaˇ
t podˇla
vz´
ajomnej polohy os´ı).
Osov´
u s´
umernosˇ
t s osou a budeme oznaˇ
covaˇ
t σa, podobne σb je osov´
a s´
umernosˇ
t s osou b.
28
Veta 25.1 Pre zhodn´
e zobrazenia na E2 plat´ı:
(i) s´
uˇ
cin nep´
arneho poˇ
ctu osov´
ych s´
umernost´ı nie je identita
(ii) s´
uˇ
cin p´
arneho poˇ
ctu osov´
ych s´
umernost´ı nie je osov´
a s´
umernosˇ
t
(iii) zhodnosˇ
t, ktor´
a m´
a aspoˇ
n dva rˆ
ozne samodruˇ
zn´
e body je osov´
a s´
umernosˇ
t alebo identita.
(iv) nepriama zhodnosˇ
t , ktor´
a m´
a aspoˇ
n dva rˆ
ozne body samodruˇ
zn´
e je osov´
a s´
umernosˇ
t. Priama zhodnosˇ
t,
ktor´
a m´
a aspoˇ
n dva rˆ
ozne body samodruˇ
zn´
e je identita.
Dˆ
okaz.(i) S´
uˇ
cin nep´
arneho poˇ
ctu nepriamych afin´ıt je nepriama afinita, nemˆ
oˇ
ze to byˇ
t identita, pretoˇ
ze t´
a je
priama afinita. (ii) priamo vypl´
yva z (i). (iii) Vypl´
yva z dˆ
osledku 22.11. (iv) priamo vypl´
yva z (iii).
S´
uˇ
cin dvoch osov´
ych s´
umernost´ı
Z Vety 22.19 priamo vypl´
yva
Veta 25.2 S´
uˇ
cin dvoch osov´
ych s´
umernost´ı s rovnobeˇ
zn´
ymi osami je transl´
acia. Keˇ
d akb, B ∈ b, A ∈ a a
−→
AB ⊥ a, potom
σbσaX = X + 2
−→
AB.
Rovnosˇ
t z predoˇ
slej vety moˇ
zno ”ˇ
c´ıtaˇ
t” i zprava doˇlava. To dokazuje nasleduj´
ucu vetu.
Veta 25.3 Kaˇ
zd´
a transl´
acia na E2 je s´
uˇ
cin dvoch osov´
ych s´
umernost´ı s rovnobeˇ
zn´
ymi osami kolm´
ymi na vektor
posunutia, z ktor´
ych jedna je ˇ
lubovoˇ
ln´
a a druh´
a je urˇ
cen´
a jednoznaˇ
cne.
Nech priamky a, b sa pret´ınaj´
u v bode S, potom S je jedin´
y samodruˇ
zn´
y bod zobrazenia σbσa; ak by totiˇz P bol
ˇ
dalˇ
s´ı samodruˇ
zn´
y bod, tak kaˇ
zd´
y bod priamky P S by bol samodruˇ
zn´
y, preto σbσa = 1 (ako priama zhodnosˇt,
ktor´
a m´
a aspoˇ
n dva rˆ
ozne body samodruˇ
zn´
e) ˇ
co implikuje a = b a to je spor s predpokladom. σbσa nie je teda
transl´
acia ani osov´
a s´
umernosˇ
t (a ak a nie je kolm´
a na b, tak ani stredov´
a s´
umernosˇ
t).
Defin´
ıcia 25.4 Zhodnosˇ
t na E2, ktor´
a m´
a pr´
ave jeden samodruˇ
zn´
y bod naz´
yvame neidentick´
a rot´
acia alebo
neidentick´
e ot´
aˇ
canie; samodruˇ
zn´
y bod naz´
yvame stred rot´
acie. Zhodnosˇ
t, ktor´
a je buˇ
d identita alebo neidentick´
e
ot´
aˇ
canie naz´
yvame rot´
acia (alebo ot´
aˇ
canie).
Veta 25.5 Kaˇ
zd´
a rot´
acia na E2 je s´
uˇ
cin dvoch osov´
ych s´
umernost´ı s totoˇ
zn´
ymi alebo rˆ
oznobeˇ
zn´
ymi osami
(prech´
adzaj´
ucimi stredom rot´
acie, z ktor´
ych jedna je ˇ
lubovoˇ
ln´
a) a obr´
atene.
Dˆ
okaz. Nech ρ je rot´
acia so stredom O, a ˇlubovoˇln´
a priamka prech´
adzaj´
uca bodom O. Nech A 6= O, A ∈ a a
ρA = A0. Pretoˇ
ze |OA0| = |ρOρA| = |OA|, tak os b ´
useˇ
cky AA0 prech´
adza bodom O. (viˇ
d obr´
azok). To znamen´
a,
ˇ
ze σbρ m´
a aspoˇ
n dva rˆ
ozne body (s´
u to O, A) samodruˇ
zn´
e, preto σbρ = 1 alebo σbρ je osov´
a s´
umernosˇ
t s osou
a. Keˇ
d σaρ = 1, potom σa = ρ ˇco vˇsak odporuje faktu, ˇze rot´
acia nie je osov´
a s´
umernosˇ
t, preto σa ◦ ρ = σb, ˇciˇze
ρ = σaσb.
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
b
a
A
A’
O
29
Veta 25.6 S´
uˇ
cin dvoch osov´
ych s´
umernost´ı (na E2) s kolm´
ymi osami je stredov´
a s´
umernosˇ
t so stredom v
prieseˇ
cn´ıku os´ı.
Dˆ
okaz. Predpokladajme, ˇ
ze a ⊥ b, a ∩ b = O. Zvoˇlme ortonorm´
alny rep´
er E = (O, ~
e1, ~e2) tak, ˇze O + h~e1i = a,
O + h~
e2i = b. Potom
σ
E
a =
1
0
0
0
−1
0
σ
E
b
=
−1
0
0
0
1
0
.
(σaσb)
E =
−1
0
0
0
−1
0
.
Dˆ
osledok 25.7 Ak σa, σb s´
u osov´
e s´
umernosti, a ⊥ b, tak σaσb = σbσa.
Plat´ı i obr´
aten´
e tvrdenie
Veta 25.8 Keˇ
d dve rˆ
ozne osov´
e s´
umernosti komutuj´
u, potom ich osi s´
u navz´
ajom kolm´
e.
Dˆ
okaz. Nech σaσb = σbσa a nech B ∈ b, B /
∈ a. Potom σaσbB = σbσaB, σaB = σbσaB, ˇco znamen´a, ˇze σaB je
samodruˇ
zn´
y bod osovej s´
umernosti σb, preto leˇz´ı na b. B, σaB s´
u rˆ
ozne body (lebo B /
∈ a) a priamka a je ich os
s´
umernosti, je teda koln´
a na priamku b.
S´
uˇ
cin troch osov´
ych s´
umernost´ı
Z Vety 22.19 vypl´
yva
Veta 25.9 S´
uˇ
cin troch osov´
ych s´
umernost´ı, ktor´
ych osi patria zv¨
azku priamok je osov´
a s´
umernosˇ
t.
Veta 25.10 Nech ~
v je smerov´
y vektor priamky a. S´
uˇ
cin ξ = σaτ~v = τ~vσa nem´a ˇziadny samodruˇzn´y bod a nie je
to osov´
a s´
umernosˇ
t ani transl´
acia. ξ naz´
yvame posunut´
e zrkadlenie.
Dˆ
okaz. σaτ~v = σaσbσc, kde b, c s´u rˆozne priamky kolm´e na a, preto osov´e s´umernosti a, b resp. a, c komutuj´u,
takˇ
ze prav´
u stranu poslednej rovnosti mˆ
oˇ
zme upraviˇ
t na tvar σbσcσa = τ~vσa. Je zrejm´e, ˇze ξ zobraz´ı jednu
polrovinu s hranicou a na opaˇ
cn´
u polrovinu, preto samodruˇ
zn´
y bod mˆ
oˇ
ze byˇ
t len na a, tam vˇ
sak samodruˇ
zn´
y
bod neexistuje. Toto zobrazenie nem´
a ˇ
ziadny samodruˇ
zn´
y bod, je to nepriama zhodnosˇ
t preto to nie je osov´
a
s´
umernosˇ
t ani transl´
acia.
Rovnosˇ
t σaτ~v = σaσbσc z predoˇsl´eho dˆokazu moˇzme p´ısaˇt v tvare σaτ~v = σSσc, kde S = a ∩ b, S /∈ c. Plat´ı teda,
ˇ
ze s´
uˇ
cin stredovej a osovej s´
umernosti, ktor´
ych stred a os neinciduj´
u je posunut´
e zrkadlenie.
Veta 25.11 S´
uˇ
cin troch osov´
ych s´
umernost´ı (na E2), ktor´
ych osi nepatria ˇ
ziadnemu zv¨
azku priamok je posunut´
e
zrkadlenie.
Dˆ
okaz. Nech priamky a, b, c nepatria ˇ
ziadnemu zv¨
azku priamok, potom niektor´
e dve z nich musia byˇ
t rˆ
oznobeˇ
zn´
e,
povedzme a ∩ b = S. Nech e ⊥ c je priamka prech´
adzaj´
uca bodom S. Podˇla vety 25.5 existuje d tak, ˇ
ze
σaσb = σdσe; σeσc = σT je stredov´
a s´
umernosˇ
t, takˇ
ze σaσbσc = σdσT a t´
ym je tvrdenie dok´
azan´
e (zrejme
T /
∈ d).
T´
ym sme vyˇ
cerpali vˇ
setky moˇ
znosti pre s´
uˇ
cin dvoch a pre s´
uˇ
cin troch osov´
ych s´
umernost´ı (podˇla vz´
ajomnej
polohy os´ı). To znamen´
a, ˇ
ze sme naˇ
sli vˇ
setky druhy zhodn´
ych zobrazen´ı na rovine, je ich 5: identita, osov´
a
s´
umernosˇ
t, transl´
acia, ot´
aˇ
canie a posunut´
e zrkadlenie. Tieto zobrazenia sa daj´
u rozliˇ
sovaˇ
t tieˇ
z podˇla poˇ
ctu
samodruˇ
zn´
ych bodov a poˇ
ctu samodruˇ
zn´
ych smerov. Ukazuje to nasleduj´
uca tabuˇlka.
sam.body
sam. smery
identita
vˇ
setky
vˇ
setky
osov´
a s´
umernosˇ
t
priamka
dva
neident.transl´
acia
0
vˇ
setky
neident.ot´
aˇ
canie
1
0 alebo vˇ
setky
posunut´
e zrkadlenie
0
2
Z tejto tabuˇlky moˇ
zno ”vyˇ
c´ıtaˇ
t” daˇlˇ
sie vlastnosti zhodnost´ı. Napr´ıklad: Kaˇ
zd´
a zhodnosˇ
t na E2, ktor´
a nem´
a
ˇ
ziadny samodruˇ
zn´
y bod a m´
a pr´
ave dva samodruˇ
zn´
e smery je posunut´
e zrkadlenie.
30
Niektor´
e pravidl´
a pre skladanie zhodnost´ı
Veta 25.12 Pre ˇ
lubovoˇ
ln´
e A, B
σAσB je transl´
acia o vektor 2
−→
BA.
Dˆ
okaz. Podˇla Mongeovej vety, σAσB je transl´
acia, zrejme o vektor
−−−−−−→
BσAσBB =
−−−−→
BσAB = 2
−
−
→
BA.
Veta 25.13 S´
uˇ
cin troch stredov´
ych s´
umernost´ı je stredov´
a s´
umernosˇ
t. Nasleduj´
uce tvrdenia s´
u ekvivalentn´
e:
(i) σAσBσC = σD
(ii)
−→
AB =
−→
DC
(iii) ˇ
stvoruholn´ık ABCD je rovnobeˇ
zn´ık alebo ABCD s´
u koline´
arne body (a vtedy
−→
AB =
−→
DC).
Dˆ
okaz. (i) moˇ
zno upraviˇ
t na rovnosˇ
t σAσB = σDσC , odkiaˇl vzhˇladom na predoˇsl´
u vetu vypl´
yva tvrdenie tejto
vety.
Matice zhodn´
ych zobrazen´ı
Nech ξ : E2→E2 je zhodnosˇt, E = (O, ~e1, ~e2) je ortonorm´
alny rep´
er a nech ξ#~
ei = ~
f
i, i = 1, 2. Pretoˇ
ze | ~
f
1| = 1,
existuje re´
alne ˇ
c´ıslo α tak, ˇ
ze ~
f
1
E = (cos α, sin α); z ~
f
1 ⊥
~
f
2 vypl´
yva, ˇ
ze ~
f
2 ∈ h
~
f
1
±
i = h(− sin α, cos α)i a keˇ
dˇ
ze
| ~
f
2| = 1, tak
~
f
2 = ε(− sin α, cos α) pre ε = ±1. Teda
ξ
E =
cos α
−ε sin α
e
sin α
ε cos α
f
ε = ±1, α, e, f ∈ R
(25.1)
je matica zhodn´
eho zobrazenia ξ.
Veta 25.14 Nech E je ortonorm´
alny rep´
er. Ku kaˇ
zd´
emu ot´
aˇ
caniu ω existuj´
u re´
alne ˇ
c´ısla α, e, f tak, ˇ
ze
ω
E =
cos α
− sin α
e
sin α
cos α
f
,
(25.2)
ˇ
c´ıslo α naz´
yvame uhol ot´
aˇ
cania.
Dˆ
okaz. Ot´
aˇ
canie je priama zhodnosˇ
t, preto jej matica mus´ı maˇ
t tvar (25.1) a jej determinant mus´ı byˇ
t kladn´
y,
t.j. ε = 1. V tom pr´ıpade ξ mˆ
oˇ
ze byˇ
t uˇ
z len transl´
acia alebo ot´
aˇ
canie. Transl´
acia to nebude vtedy, keˇ
d matica
stopy zobrazenia ξ nie je jednotkov´
a. Zvyˇ
sok dˆ
okazu je evidentn´
y.
Oznaˇ
cenie ω[S, α] budeme pouˇ
z´ıvaˇ
t pre ot´
aˇ
canie s uhlom (orientovan´
ym) α a samodruˇ
zn´
ym bodom S.
Veta 25.15 Nech ω[S, α] je ot´
aˇ
canie. Pre ˇ
lubovoˇ
ln´
e nenulov´
e vektory ~
u, ~
v plat´ı
(i)
d
~
v ω#~
v = α
(ii)
c
~
v ~
u =
d
ω#~
v ω#~
u.
Dˆ
okaz.(i) Nech (25.2) je matica ot´
aˇ
cania ω a ~
vE = (cos β, sin β) je ˇlubovoˇln´
y ort. Potom
(ω
#~v)E = ω#E~v E =
cos α
− sin α
sin α
cos α
.
cos β
sin β
=
cos(α + β)
sin(α + β)
.
Podˇla Vety 12.26
d
~
v ω#~
v = α + β − β = α. (ii) Zhodn´
e zobrazenie nemen´ı uhol vektorov a rovnako orietovan´
e
b´
azy zobraz´ı op¨
aˇ
t na rovnako orientovan´
e b´
azy.
Veta 25.16 S´
uˇ
cin dvoch ot´
aˇ
can´ı η[S, α], ω[T, β] je buˇ
d transl´
acia (ak α + β = 2kπ, k - cel´
e) alebo ot´
aˇ
canie o
uhol α + β.
Dˆ
okaz. Staˇ
c´ı vyn´
asobiˇ
t matice stˆ
op t´
ychto ot´
aˇ
can´ı.
31
Cviˇ
cenie
25.1 Nech E je ortonorm´
alny rep´
er. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze zobrazenie dan´
e maticou
α
E =
a
δ
b
δ
0
b
δ
− a
δ
0
!
δ =
p
a2 + b2 6= 0
je osov´
a s´
umernosˇ
t s osou prech´
adzaj´
ucou zaˇ
ciatkom rep´
era E.
25.2 Zistite, ˇ
ci matica
−1+q
2
1+q2
−2q
2
1+q2
0
−2q
2
1+q2
1−q
2
1+q2
0
je matica (v ortonorm´
alnom rep´
ere) osovej s´
umernosti s osou x1 + qx2 = 0.
25.3 Nech E je ortonorm´
alny rep´
er. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze zobrazenie dan´
e maticou
α
E =
a
−εb
e
b
εa
f
je zhodnosˇ
t pr´
ave vtedy, keˇ
d a2 + b2 = 1 a ε = ±1.
25.4 Dan´
a je priamka a : 2x + y − 1 = 0 a bod S[3, −1]. Vypoˇ
c´ıtajte rovnice s´
uˇ
cinu σaσS a urˇcte o ak´
y druh
zobrazenia ide.
25.5 Nap´ıˇ
ste multiplikat´ıvne tabuˇlky grupy symetri´ı ˇ
stvorca, obd´lˇ
znika a rovnoramenn´
eho (ale nie rovno-
strann´
eho) trojuholn´ıka.
26
Zhodnosti na E3
Kaˇ
zd´
a zhodnosˇ
t na E3 je afinita. Preto kaˇzd´
a zhodnosˇ
t zobraz´ı priamku, rovinu, ´
useˇ
cku, polpriamku, polrovinu,
rovnobeˇ
zn´ık, trojuholn´ık, konvexn´
y n-uholn´ık, rovnobeˇ
zn´
e podpriestory, koline´
arne body, komplan´
arne body
op¨
aˇ
t na ´
useˇ
cku, polpriamku... atˇ
d. Kaˇ
zd´
a zhodnosˇ
t na E3 nemen´ı vzdialenosti, kolmosˇt a uhol podpriestorov
v E3. Pre kaˇzd´e dva ˇstvorsteny ABCD, A
0B0C0D0, |AB| = |A0B0|, . . . , |CD| = |C0D0| existuje jedin´a zhodnosˇt,
ktor´
a zobraz´ı A 7→ A0, B 7→ B0, C 7→ C0, D 7→ D0 .
Najdˆ
oleˇ
zitejˇ
sie zhodn´
e zobrazenie na E3 je s´
umernosˇ
t podˇla roviny. Keˇ
d N je rovina v E3, potom zobrazenie
σN : E3→E3, X 7→ X
0 je s´umernosˇt podˇla roviny N pr´ave vtedy, keˇd ortogon´alny priemet bodu X do N je
stred dvojice X, X0; rovinu N naz´
yvame os tejto s´
umernosti. Kaˇ
zd´
a zhodnosˇ
t na E3 sa d´
a nap´ısaˇ
t ako s´
uˇ
cin nie
viac ako 4-och s´
umernost´ı podˇla rov´ın.
S´
uˇ
cin dvoch s´
umernost´ı σN , σM podˇla rov´ın N,M je transl´
acia pr´
ave vtedy, keˇ
d M kN ; ak M , N nie s´
u rovnobeˇ
zn´
e,
σN σM naz´
yvame neidentick´
a rot´
acia (alebo neidentick´
e ot´
aˇ
canie) na E3 s osou M ∩ N ; ak M ⊥ N, σN σM je
osov´
a s´
umernosˇ
t σN σM = σM σN .
Nech σM , σN , σK s´
u s´
umernosti podˇla rov´ın definovan´
e na E3. Ak M ∩N = ∅ a K ⊥ M , tak σM σN σK naz´
yvame
posunut´
a s´
umernosˇ
t podˇla roviny (skr´
atene PSR) a to z toho dˆ
ovodu, ˇ
ze toto zobrazenie sa d´
a zloˇ
ziˇ
t z posunutia
a s´
umernosti podˇla roviny, priˇ
com vektor posunutia je rovnobeˇ
zn´
y s touto rovinou. Ak M, N nie s´
u rovnobeˇ
zn´
e
a M ⊥ K ⊥ N , s´
uˇ
cin σM σN σK naz´
yvame otoˇ
cen´
a s´
umernosˇ
t podˇla roviny (skr´
atene ORS). Jej ˇ
speci´
alnym
pr´ıpadom je stredov´
a s´
umernosˇ
t, ktor´
a je s´
uˇ
cinom troch s´
umernost´ı podˇla rov´ın, kaˇ
zd´
e dve z ktor´
ych s´
u na seba
kolm´
e.
Existuje len jeden typ zhodnost´ı na E3, ktor´e s´
u s´
uˇ
cinom najmenej 4-och s´
umernost´ı podˇla rov´ın. Je to skrutkov´
y
pohyb, ktor´
y je s´
uˇ
cin neidentickej rot´
acie a posunutia o nenulov´
y vektor rovnobeˇ
zn´
y s osou rot´
acie.
T´
ymito zobrazeniami s´
u vyˇ
cerpan´
e vˇ
setky moˇ
zn´
e typy zhodnost´ı na priestore E3.
32
Zhodnosti moˇ
zno klasifikovaˇ
t aj pomocou samodruˇ
zn´
ych bodov a smerov. Tak´
uto klasifik´
aciu zhodnost´ı na E3
uv´
adzame v tabuˇlke.
sab ξ
cosab ξ
ξ : E3→E3
rovina N
kaˇ
zd´
y smer kolm´
y na N
σN
alebo rovnobeˇ
zn´
y s N
E3
kaˇ
zd´
y smer
identita
∅
kaˇ
zd´
y smer
neidentick´
a transl´
acia
priamka L
smer L
rot´
acia, ktor´
a nie je
osov´
a s´
umernosˇ
t
priamka L
smer L a kaˇ
zd´
y smer
osov´
a s´
umernosˇ
t
kolm´
y na L
bod S
kaˇ
zd´
y smer
stredov´
a s´
umernosˇ
t
∅
kaˇ
zd´
y smer kolm´
y na N
P RS
alebo rovnobeˇ
zn´
y s nadr. N
bod S
smer L
ORS, ktor´
a nie je
stredov´
a s´
umernosˇ
t
∅
smer L a kaˇ
zd´
y smer
skrutkov´
y pohyb
kolm´
y na L
s otoˇ
cen´ım o 180◦
∅
smer L
skrutkov´
y pohyb s
otoˇ
cen´ım o uhol 6= 180◦
Cviˇ
cenie
26.1 Nech ω : E3→E3 je ot´
aˇ
canie, ktor´
e nie je osov´
a s´
umernosˇ
t. Nech N je tak´
a rovina, ˇ
ze N kωN . Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze
rovina N je kolm´
a na os ot´
aˇ
cania ω.
26.2 Nap´ıˇ
ste rovnice s´
umernosti podˇla roviny N : z = 9.
26.3 Nap´ıˇ
ste rovnice s´
umernosti podˇla priamky L : z = 0, y = −3.
26.4 Nap´ıˇ
ste rovnice P RS, ktor´
a je s´
uˇ
cinom s´
umernosti podˇla roviny z = 4 a transl´
acie o vektor (−2, 1, 0).
26.5 Urˇ
cte typ a rovnice zhodnosti, ktor´
a je s´
uˇ
cinom s´
umernost´ı podˇla rov´ın z = 0, 2x + y = 0 a transl´
acie o
vektor (0, 0, 3).
26.6 Urˇ
cte typ a rovnice zhodnosti, ktor´
a je s´
uˇ
cinom s´
umernost´ı podˇla rov´ın x = 0, x − 2y = 0, z = 4.
26.7 Nech M, N, K s´
u po dvoch kolm´
e roviny v E3. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze s´
uˇ
cin σM σN σK (troch s´
umernost´ı podˇla t´
ychto
rov´ın) je stredov´
a s´
umernosˇ
t.
26.8 S´
uˇ
cin rovnoˇlahlosti s charakteristikou 6= ±1, stredom S a s´
umernosti podˇla roviny, v ktorej S leˇ
z´ı, naz´
yvame
centr´
alnopodobn´
a symetria na E3 (skr´
atene CPS ). Nech S1 je ˇlubovoˇln´
y bod a N1 ˇlubovoˇln´
a rovina
priestoru E3. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze existuje CPS tak, ˇ
ze sa rovn´
a s´
uˇ
cinu rovnoˇlahlosti ρ
1[S1, k] a s´
umernosti σN
1
pre kaˇ
zd´
e k 6= ±1.
27
Podobnosti na rovine
Veta 27.1 Nech α : E2→E2 je afinita, E ortonorm´
alny rep´
er priestoru E2. Zobrazanie α je podobnosˇt pr´
ave
vtedy, keˇ
d
α
E =
a
−εc
e
c
εa
f
ε = ±1, a
2 + c2 6= 0.
(27.1)
Dˆ
okaz. Nech E = (O, ~
e1, ~e2), α
#~ei = ~
f
i, i = 1, 2 a nech
α
E =
a
b
e
c
d
f
.
(27.2)
33
Potom ~
f
1E = (a, c),
~
f
2E = (b, d). Kolmos
ˇ
t je invariant podobnost´ı, preto ~
f
1 ⊥
~
f
2 a ke
ˇ
dˇ
ze h ~
f
1i
± = h(−c, a)i
existuje ε tak, ˇ
ze ~
f
2 = ε
~
f
1 t.j. b = −εc, d = εa. Dalej |
~
f
1| = |
~
f
2|, preto
a
2 + c2 = ε2a2 + ε2c2,
(1 − ε
2)(a2 + c2) = 0,
(1 − ε
2)| ~
f
1|
2 = 0,
odkiaˇl vzhˇladom na to, ˇ
ze | ~
f1| 6= 0, ε = ±1; matica podobnosti je teda (27.1). Obr´
aten´
e tvrdenie je evidentn´
e.
Je zrejm´
e, ˇ
ze afinita α : E2→E2 dan´
a maticou (27.1) je vlastn´
a podobnosˇ
t pr´
ave vtedy, keˇ
d jej determinant je
rˆ
ozny od ±1.
V tomto ˇ
cl´
anku prevedieme klasifik´
aciu vlastn´
ych podobnost´ı na rovine (zhodnosti boli prebrat´
e v predoˇ
slom
ˇ
cl´
anku).
Kaˇ
zd´
a vlastn´
a podobnosˇ
t m´
a pr´
ave jeden samodruˇ
zn´
y bod, preto vlastn´
e podobnosti nemˆ
oˇ
zeme rozliˇ
sovaˇ
t podˇla
poˇ
ctu samodruˇ
zn´
ych bodov ale len podˇla poˇ
ctu samodruˇ
zn´
ych smerov.
Veta 27.2 Nech α : E2→E2 je podobnosˇt. Potom
|cosab α| ∈ {0, 2, ∞}.
Dˆ
okaz. Nech α je dan´
a maticou (27.1). Charakteristick´
a rovnica je
a − k
−εc
c
εa − k
= 0.
S´
u len tri moˇ
znosti:
(I) ε = 1, c = 0 :
α je zrejme rovnoˇlahlosˇ
t;
det α = a2 > 0
(II) ε = −1 :
Charakteristick´
a rovnica je (a − k)(a + k) + c2 = 0, t.j. k2 = a2 + c2. T´
ato rovnica m´
a dva rˆ
ozne korene,
preto |cosab α| = 2;
det α = −a2 − c2 < 0
(III) ε = 1, c 6= 0 :
Charakteristick´
a rovnica je (a − k)2 + c2 = 0, keˇ
dˇ
ze c 6= 0, t´
ato rovnica nem´
a rieˇ
senie;
det α = a2 + c2 > 0.
Defin´
ıcia 27.3 Vlastn´
u podobnosˇ
t α : E2→E2 naz´
yvame centr´
alnopodobn´
a symetria (skr´
atene CP S), ak α je
nepriama afinita a centr´
alnopodobn´
a rot´
acia (skr´
atene CPR), ak α je priama afinita, ktor´
a nie je rovnoˇ
lahlosˇ
t.
Dˆ
osledok 27.4 Existuj´
u tri typy vlastn´
ych podobnost´ı na E2: rovnoˇlahlosˇt (s charakteristikou k 6= ±1), CPS,
CPR.
Veta 27.5 Kaˇ
zd´
a CPS na rovine je s´
uˇ
cinom rovnoˇ
lahlosti a osovej s´
umernosti, ktorej os prech´
adza stredom tejto
rovnoˇ
lahlosti. Kaˇ
zd´
a CPR na rovine je s´
uˇ
cinom rovnˇ
lahlosti a ot´
aˇ
cania, ktor´
ych stredy spl´
yvaj´
u.
Dˆ
okaz.
Nech ϕ je vlastn´
a podobnosˇ
t s koeficientom k, ϕ nie je rovnoˇlahlosˇ
t, ϕS = S a nech ρ[S, k−1]
je rovnoˇlahlosˇ
t.
Potom ϕρ je zhodnosˇ
t, S jej samodruˇ
zn´
y bod, preto ϕρ je buˇ
d osov´
a s´
umernosˇ
t s osou
prech´
adzaj´
ucou bodom S alebo neidentick´
a rot´
acia so stredom S (ϕρ 6= 1 inak by ϕ bola rovnoˇlahlosˇ
t).
Z tejto vety vypl´
yva, ˇ
ze ku kaˇ
zdej vlastnej podobnosti ϕ, ktor´
a je s´
uˇ
cinom rovnoˇlahlosti a osovej s´
umernosti (stred
rovnoˇlahlosti a os osovej s´
umernosti neinciduj´
u) existuj´
u rovnoˇlahlosˇ
t a osov´
a s´
umernosˇ
t, ktorej os prech´
adza
stredom rovnoˇlahlosti tak, ˇ
ze ich s´
uˇ
cin je ϕ. Analogicky je to i s CP R.
Pr´
ıklad 27.6 Dan´
a
je
rovnoˇ
lahlosˇ
t
ρ[S, −0.5]
a
ot´
aˇ
canie
ω[T, −75◦].
Zostrojte
samodruˇ
zn´
y
bod
centr´
alnopodobnej rot´
acie α = ρω.
34
Rieˇ
senie. (viˇ
d obr´
azok)
Nech P je hˇladan´
y samodruˇ
zn´
y bod (t.j. P 0 0 = αP = P ) a nech S0 0 = αS, T 0 0 = αT . Koeficient podobnosti α
je 0.5, preto |P T | : |P T 00 | = 2, ˇ
ciˇ
ze pomer vzdialenost´ı bodu P od bodov T , T 0 0 je 2; vˇ
setky tak´
e body leˇ
zia na
Apoll´
oniovej kruˇ
znici K2 = {X; |XT | : |XT
0 0| = 2}. ˇ
Dalej
d
SP S00 = 105◦ preto P leˇ
z´ı na kruˇ
znicovom obl´
uku
K1 = {X;
d
SXS00 = 105◦}. Existenciu bodu P zaruˇ
cuje Veta 21.18.
Cviˇ
cenie
27.1 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze samodruˇ
zn´
e smery CP S s´
u navz´
ajom kolm´
e.
27.2 Zostrojte stred rovnoˇlahlosti, ktor´
a je s´
uˇ
cinom rovnoˇlahlost´ı ρ[S, −3], δ[O, 2], ak O 6= S s´
u dan´
e body
roviny E2.
27.3 Vypoˇ
c´ıtajte rovnice CP S, ktor´
a je s´
uˇ
cinom s´
umernosti podˇla priamky x = 0 a rovnoˇlahlosti ρ[S, −3], kde
S[−1, 2].
27.4 Vypoˇ
c´ıtajte rovnicu samodruˇ
znej priamky podobnosti danej maticou
2
3
1
3
−2
9
.
27.5 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
a samodruˇ
zn´
a priamka vlastnej podobnosti prech´
adza jej samodruˇ
zn´
ym bodom.
27.6 Nech (C, +, .) je pole komplexn´
ych ˇ
c´ısel, a + bi komplexn´
e ˇ
c´ıslo, kde i 2 = −1 je imagin´
arna jednotka. Dan´
e
je zobrazenie
ρ : C→C, x + yi 7→ (x + yi).(a + bi).
Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze ρ moˇ
zno povaˇ
zovaˇ
t za otoˇ
cenie, centr´
alnopodobn´
u rot´
aciu, rovnoˇlahlosˇ
t, ak v porad´ı a2+b2 = 1,
a2 + b2 6= 1, a 6= 0 ∧ b = 0.
27.7 Urˇ
cte a, b tak, aby zobrazenie
ρ : C→C, x + yi 7→ (x − yi).(a + bi)
bola osov´
a s´
umernosˇ
t alebo centr´
alnopodobn´
a rot´
acia alebo centr´
alnopodobn´
a symetria.
27.8 Dan´
a je priamka L : 2x1 + 3x2 − 2 = 0; nap´ıˇste σL ako zobrazenie C→C.
27.9 Nech (C, +, .) je pole komplexn´
ych ˇ
c´ısel, i je imagin´
arna jednotka a nech
M =
a
−b
b
a
; a, b ∈ R
.
Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze zobrazenie
η :
C → M, a + bi 7→
a
−b
b
a
;
je izomorfizmus poˇla (C, +, .) a ˇ
strukt´
ury (M, +, .) (kde (+) resp. (.) je s´
uˇ
cet resp. s´
uˇ
cin mat´ıc).
35
A P L I K ´
A C I E
Z O B R A Z E N ´
I
28
Podobnosˇ
t a zhodnosˇ
t ´
utvarov v En
Defin´ıcia podobnosti a zhodnosti ´
utvarov
Jeden z najdˆ
oleˇ
zitejˇ
s´ıch ”geometrick´
ych” pojmov je podobnosˇ
t ´
utvarov.
Defin´
ıcia 28.1 ´
Utvar U je podobn´
y s ´
utvarom V v priestore En, ak existuje podobn´e zobrazenie na En, ktor´e
zobraz´ı ´
utvar U na V ; oznaˇ
cenie U ∼ V . Ak koeficient tohto zobrazenia je k, hovor´ıme, ˇ
ze k je koeficient
podobnosti ´
utvarov U, V. Ak koeficient podobnosti ´
utvarov U , V je 1, ´
utvar U je zhodn´
y s ´
utvarom V ; oznaˇ
cenie
U ∼
= V .
Defin´ıciou 28.1 sme do mnoˇ
ziny vˇ
setk´
ych ´
utvarov priestoru En zaviedli bin´
arnu rel´
aciu ”podobnosˇ
t”. T´
ato rel´
acia
je rel´
acia ekvivalencie. Skutoˇ
cne, identita zobraz´ı ˇlubovoˇln´
y ´
utvar U na U a preto ”podobnosˇ
t” je reflex´ıvna
rel´
acia; ak podobnosˇ
t ϕ zobraz´ı U na V , tak podobnosˇ
t ϕ−1 zobraz´ı V na U to znamen´
a, ˇ
ze ”podobnosˇ
t” je
symetrick´
a rel´
acia; ak ϕ, ψ s´
u podobnosti a ϕU = V, ψV = T , tak ψϕ je podobnosˇ
t, ktor´
a zobraz´ı U na T , teda
U a T s´
u podobn´
e ´
utvary, ˇ
ciˇ
ze ”podobnosˇ
t” je tranzit´ıvna rel´
acia. Fakt, ˇ
ze ∼ je rel´
acia ekvivalencie znamen´
a, ˇ
ze
(i) U ∼ U
(ii) U ∼ V
⇒
V ∼ U
(iii) U ∼ V a V ∼ T
⇒
U ∼ T.
Keˇ
dˇ
ze rel´
acia ∼ je symetrick´
a, mˆ
oˇ
zeme v´
yrok ”´
utvar U je podobn´
y s ´
utvarom V ” nahradiˇ
t v´
yrokom ”´
utvary U ,
V s´
u podobn´
e”.
Kaˇ
zd´
a rel´
acia ekvivalencie na nejakej mnoˇ
zine, rozdel´ı t´
uto mnoˇ
zinu na disjunktn´
e triedy navz´
ajom ekviva-
lentn´
ych prvkov. Preto aj rel´
acia ∼ rozdel´ı mnoˇ
zinu vˇ
setk´
ych ´
utvarov priestoru En na disjunktn´e triedy po-
dobn´
ych ´
utvarov. Kaˇ
zd´
u tak´
uto triedu naz´
yvame tvar. Abstraktn´
y pojem tvar dost´
ava tak presn´
y obsah.
Kaˇ
zd´
u priamu zhodnosˇ
t naz´
yvame tieˇ
z premiestnenie. Hovor´ıme, ˇ
ze ´
utvar U je premiestnenie ´
utvaru V , ak
existuje premiestnenie, ktor´
e zobraz´ı U na V . Keˇ
d dva ´
utvary priestoru E3 s´
u podobn´
e, potom jeden z nich
sa d´
a premiestniˇ
t tak, ˇ
ze tieto ´
utvary s´
u rovnoˇlahl´
e ; skutoˇ
cne, ak koeficient podobnosti ´
utvarov U , V je k a
ρ je rovnoˇlahlosˇ
t s charakteristikou k, tak ρ−1V = U 0 je ´
utvar zhodn´
y s U , preto existuje zhodnosˇ
t ξ tak, ˇ
ze
ξ(U 0) = U . Rovnoˇlahlosˇ
t ρ na E3 mˆ
oˇ
ze byˇ
t priama alebo nepriama podobnosˇ
t. Jej charakteristiku (k alebo −k)
preto zvol´ıme tak, aby ξ bola priama zhodnosˇ
t.
Nie je ˇ
taˇ
zk´
e dok´
azaˇ
t, ˇ
ze kaˇ
zd´
e dva body, kaˇ
zd´
e dve priamky, ... a vˇ
seobecne kaˇ
zd´
e dva rovnako dimenzion´
alne
podpriestory priestoru En s´
u podobn´
e. Vzhˇladom na Vetu 16.2 dva priestory En, Em, ktor´e nemaj´
u rovnak´
e
dimenzie nie s´
u podobn´
e.
Nielen rel´
acia ∼ je ekvivalencia, aj rel´
acia ∼
= definovan´
a na mnoˇ
zine vˇ
setk´
ych ´
utvarov priestoru En je rel´
acia
ekvivalencie. Zo symetriˇ
cnosti tejto rel´
acie vypl´
yva opr´
avnenie hovoriˇ
t ”´
utvary U, V s´
u zhodn´
e” (namiesto U je
zhodn´
y s V ).
Veta 28.2 Dve ´
useˇ
cky s´
u zhodn´
e pr´
ave vtedy, keˇ
d maj´
u rovnak´
e veˇ
lkosti.
Dˆ
okaz. Keˇ
d s´
u dve ´
useˇ
cky zhodn´
e, ich veˇlkosti s´
u tieˇ
z zhodn´
e, pretoˇ
ze skal´
arny s´
uˇ
cin je invariant kaˇ
zdej zhodnosti.
Obr´
atene, nech ´
useˇ
cky A0A1, A
0
0A
0
1 maj´
u rovnak´
e nenulov´
e veˇlkosti. Nech τ je transl´
acia, ktor´
a zobraz´ı A0 7→ A
0
0.
Ak A0
1 = τ A1 dˆ
okaz je skonˇ
cen´
y, v opaˇ
cnom pr´ıpade, nech N je nadrovina prech´
adzaj´
uca stredom ´
useˇ
cky A0
1τ A1
kolmo na t´
uto ´
useˇ
cku. Zrejme N prech´
adza bodom A0
0, preto σN τ zobraz´
ı ´
useˇ
cku A0A1 na ´
useˇ
cku A0
0A
0
1.
Veta 28.3 Kaˇ
zd´
e dva podobn´
e uhly s´
u zhodn´
e.
36
Dˆ
okaz. Nech ϕ je podobnosˇ
t s koeficientom k, ktor´
a zobraz´ı uhol AV B na uhol A0V 0B0 a nech ρ[V 0, k−1] je
rovnoˇlahlosˇ
t. Zrejme ρ zobraz´ı uhol A0V 0B0 na uhol A0V 0B0, preto ρϕ je zhodnosˇ
t, ktor´
a zobraz´ı uhol AV B na
uhol A0V 0B0, dˆ
okaz je skonˇ
cen´
y.
Veta 28.4 Dva uhly s´
u zhodn´
e pr´
ave vtedy, keˇ
d maj´
u rovnak´
e veˇ
lkosti.
Dˆ
okaz. Ak s´
u dva uhly zhodn´
e, potom maj´
u rovnak´
e veˇlkosti lebo zhodnosˇ
t nemen´ı veˇlkosˇ
t uhlov. Obr´
atene,
nech dva uhly ABC, A0B0C0 maj´
u rovnak´
e veˇlkosti. Potom s´
u obidva dut´
e alebo obidva priame alebo obidva
nevypukl´
e. Nech s´
u obidva dut´
e, bez ujmy na vˇ
seobecnosti predpokladajme, ˇ
ze |AB| = |A0B0| = 1 a |BC| =
|B0C0| = 1. Najprv predpokladajme, ˇze En je rovina. Potom podˇla kos´ınusovej vety aj |AC| = |A0C0| a podˇla
vety o urˇ
cenosti zhodnosti, existuje jedin´
a zhodnosˇ
t, ktor´
a zobraz´ı A 7→ A0, B 7→ B0, C 7→ C0. V pr´ıpade, ˇ
ze
n > 2, oznaˇ
cme M = ABC, N = A0B0C0; nech ~
e3, . . . , ~en je ortonorm´
alna b´
aza ortogon´
alneho doplnku ~
M
±
a nech ~
f
3, . . . ,
~
f
n je ortonorm´
alna b´
aza ortogon´
alneho doplnku ~
N
±
. Nech ˇ
dalej A0 = A, A1 = B, A2 = C,
A3 = A0 + ~e3, . . . , An = A0 + ~en, B0 = A
0, B
1 = B
0, B
2 = C
0, B
3 = B0 +
~
f
3, . . . , Bn = B0 +
~
f
n, potom
zrejme |BiBj| = |AiAj| pre vˇsetky i, j = 0, 1, . . . , n a preto podˇla Vety 21.13 existuje podobnosˇt, ktor´
a zobraz´ı
Ai 7→ Bi, pre vˇsetky i = 0, 1, . . . , n, t.j. A 7→ A
0, B 7→ B0, C 7→ C0; konˇstrukciu tejto podobnosti, moˇzno pouˇziˇt
aj v dˆ
okazoch ˇ
dalˇ
s´ıch viet o podobnosti trojuholn´ıkov, preto ju uˇ
z nebudeme uv´
adzaˇ
t.
Podobnosˇ
t trojuholn´ıkov
Jednou z najdˆ
oleˇ
zitejˇ
s´ıch parti´ı v uˇ
cive geometrie na strednej ˇ
skole je podobnosˇ
t trojuholn´ıkov. Podˇla defin´ıcie
28.1 s´
u dva trojuholn´ıky podobn´
e pr´
ave vtedy, keˇ
d existuje podobn´
e zobrazenie, ktor´
e zobraz´ı jeden trojuholn´ık
na druh´
y. T´
ato defin´ıcia ned´
ava moˇ
znosˇ
t zistiˇ
t priamo z vlastnost´ı trojuholn´ıkov alebo veˇlkost´ı ich str´
an a uhlov
ˇ
ci s´
u podobn´
e alebo nie. K tomu (ale nielen k tomu) sl´
uˇ
zia vety o podobnosti trojuholn´ıkov (dobre zn´
ame zo
strednej ˇ
skoly).
Pod symbolom 4ABC ∼ 4A0B0C0 budeme rozumieˇ
t, ˇ
ze existuje podobnosˇ
t, ktor´
a zobraz´ı A 7→ A0, B 7→
B0, C 7→ C0. Preto v z´
apise 4ABC ∼ 4A0B0C0 z´
aleˇ
z´ı na porad´ı bodov. Na prv´
ych poz´ıci´
ach v tomto z´
apise s´
u
tie vrcholy, pri ktor´
ych s´
u zhodn´
e uhly, podobne na druh´
ych a tret´ıch poz´ıci´
ach. Preto ak 4ABC ∼ 4A0B0C0
nemus´ı platiˇ
t 4ABC ∼ 4B0A0C0. Z´
apis 4ABC ∼ 4B0A0C0 moˇ
zno vˇ
sak cyklicky obmieˇ
naˇ
t, takˇ
ze potom
aj 4BAC ∼ 4B0A0C0 atˇ
d. Ak 4ABC ∼ 4A0B0C0, dvojice vrcholov (A, A0), (B, B0), (C, C0), naz´
yvame k
sebe pr´ısluˇ
sn´
e. Dvojice str´
an (AB, A0B0), (BC, B0C0), (AC, A0C0) a dvojice uhlov (<) A, <) A0), (<) B, <) B0),
(<) C, <) C0) naz´
yvame tieˇ
z k sebe pr´ısluˇ
sn´
e. Tak´
uto pr´ısluˇ
snosˇ
t mˆ
oˇ
zeme rozˇ
s´ıriˇ
t na v´
yˇ
sky, ˇ
taˇ
znice, osi uhlov atˇ
d.
Veta 28.5 Keˇ
d trojuholn´ıky ABC, A0B0C0 s´
u podobn´
e, predpokladajme, ˇ
ze 4ABC ∼ 4A0B0C0, potom existuje
re´
alne ˇ
c´ıslo k tak, ˇ
ze
|A0B0| = k|AB|
|B0C0| = k|BC|
|C0A0| = k|CA|
<) A0 ∼
= <) A
<) B0 ∼
= <) B
<) C0 ∼
= <) C.
(28.1)
Dˆ
okaz. Podˇla defin´ıcie 28.1 existuje podobn´
e zobrazenie ϕ tak, ˇ
ze ϕA = A0, ϕB = B0, ϕC = C0. Obraz dut´
eho
uhla CAB = <) A je dut´
y uhol C0A0B0 = <) A0; pretoˇ
ze podobnosˇ
t zobraz´ı uhol na uhol s n´ım zhodn´
y, plat´ı
<) A0 ∼
= <) A. Podobne dok´
aˇ
zeme <) B0 ∼
= <) B, <) C
0
∼
= <) C. Ak k je koeficient podobnosti ϕ, tak z defin´ıcie 21.1
vypl´
yva zvyˇ
sok tvrdenia tejto vety.
Pretoˇ
ze medzi invarianty podobnost´ı patr´ı deliaci pomer a veˇlkosˇ
t uhla, tak je zrejm´
e, ˇ
ze ak nejak´
e podobn´
e
zobrazenie zobraz´ı 4ABC na 4A0B0C0, tak ˇ
taˇ
znice, osi uhlov, osi str´
an, stredn´
e prieˇ
cky, v´
yˇ
sky 4ABC sa v
porad´ı zobrazia na ˇ
taˇ
znice, osi uhlov, osi str´
an, stredn´
e prieˇ
cky, v´
yˇ
sky 4A0B0C0, preto aj ˇ
taˇ
zisko, ortocentrum,
stred op´ısanej a stred vp´ısanej kruˇ
znice sa zobrazia v porad´ı do ˇ
taˇ
ziska, ..., stredu vp´ısanej kruˇ
znice. To na
druhej strane znamen´
a, ˇ
ze ak dva trojuholn´ıky s´
u podobn´
e, s´
u ´
umern´
e nielen strany t´
ychto trojuholn´ıkov, ale aj
ˇ
taˇ
znice, v´
yˇ
sky a osi uhlov.
Vo vete 28.5 je uveden´
e, ak´
e vlastnosti musia maˇ
t dva trojuholn´ıky, ak s´
u podobn´
e. K tomu aby dva trojuholn´ıky
4ABC = T , 4A0B0C0 = T 0 boli podobn´
e vˇ
sak staˇ
c´ı dok´
azaˇ
t, ˇ
ze maj´
u len niektor´
e z vlastnost´ı (28.1) (a potom
maj´
u vˇ
setky). O tom hovoria nasleduj´
uce ˇ
styri vety.
37
Veta 28.6 (s:s:s) V En s´
u dan´
e dva trojuholn´ıky 4ABC, 4A0B0C0. Keˇ
d
|A0B0| : |AB| = |B0C0| : |BC| = |C0A0| : |CA|,
potom 4ABC ∼ 4A0B0C0.
Dˆ
okaz. Keˇ
d n = 2, dˆ
okaz vypl´
yva priamo z Vety 21.13.
Veta 28.7 (s:su) V En s´
u dan´
e dva trojuholn´ıky 4ABC, 4A0B0C0. Keˇ
d
<) B
0
∼
= <) B,
|A0B0| : |AB| = |B0C0| : |BC|,
potom 4ABC ∼ 4A0B0C0.
Dˆ
okaz. Nech dan´
y pomer str´
an je k, t.j. |A0B0| = k|AB|, |B0C0| = k|BC|. Podˇla kos´ınusovej vety
|A0C0|2 = |B0A0|2 + |B0C0|2 − 2|B0A0||B0C0| cos <) B0 =
k
2|BA|2 + k2|BC|2 − 2k|BA|k|BC| cos <) B = k2|AC|2.
(28.2)
Teraz uˇ
z moˇ
zno pouˇ
ziˇ
t Vetu 28.6.
Veta 28.8 (uu) V En s´
u dan´
e dva trojuholn´ıky 4ABC, 4A0B0C0. Keˇ
d
<) A
0
∼
= <) A
a
<) B
0
∼
= <) B,
potom 4ABC ∼ 4A0B0C0 .
Dˆ
okaz. Je zrejm´
e, ˇ
ze aj <) C0 ∼
= <) C. Nech |A
0B0| = k|AB|. Podobne ako v predch´adzaj´ucej vete, ale pomocou
s´ınusovej vety (ktor´
u pouˇ
zijeme dvakr´
at) dok´
aˇ
zeme, ˇ
ze |B0C0| = k|BC|, |C0A0| = k|CA|. ˇ
Dalej pouˇ
zijeme Vetu
28.6.
Veta 28.9 (S:su) V En s´
u dan´
e dva trojuholn´ıky 4ABC, 4A0B0C0. Keˇ
d
<) A
0
∼
= <) A,
|AB| < |BC| ,
|A0B0| : |AB| = |B0C0| : |BC|,
potom 4ABC ∼ 4A0B0C0 .
Dˆ
okaz. Z predpokladu |AB| < |BC| vypl´
yva <) C < <) A ˇ
co znamen´
a, ˇ
ze <) C je ostr´
y uhol (inak by <) C +<) A >
180◦); podobne <) C0 je ostr´
y uhol. Zo s´ınusovej vety vypl´
yva
sin <) C0
sin <) A0
=
|B0A0|
|B0C0|
=
|BA|
|BC|
=
sin <) C
sin <) A
,
odkiaˇl sin <) C = sin <) C0 a keˇ
dˇ
ze <) C, <) C0 s´
u ostr´
e musia byˇ
t aj rovnak´
e uhly. Teraz staˇ
c´ı pouˇ
ziˇ
t Vetu 28.8.
Posledn´
e ˇ
styri vety s´
u ˇ
casto formulovan´
e (nie celom presne) aj takto: Ak pre dva trojuholn´ıky plat´ı, ˇ
ze
(i) tri strany jedn´
eho trojuholn´ıka s´
u ´
umern´
e trom stran´
am druh´
eho trojuholn´ıka, alebo
(ii) dva uhly jedn´
eho trojuholn´ıka sa rovnaj´
u pr´ısluˇ
sn´
ym dvom uhlom druh´
eho trojuholn´ıka, alebo
(iii) dve strany jedn´
eho trojuholn´ıka s´
u ´
umern´
e dvom stran´
am druh´
eho trojuholn´ıka a uhly zovret´
e t´
ymito
stranami s´
u zhodn´
e, alebo
(iv) dve strany jedn´
eho trojuholn´ıka s´
u ´
umern´
e dvom stran´
am druh´
eho trojuholn´ıka a uhly oproti v¨
aˇ
cˇ
s´ım z
nich s´
u zhodn´
e,
tak tieto trojuholn´ıky s´
u podobn´
e.
Z t´
ychto viet vypl´
yvaj´
u vety o podobnosti ˇ
speci´
alnych trojuholn´ıkov: Ak vo dvoch pravouhl´
ych trojuholn´ıkoch
(i) je ostr´
y uhol jedn´
eho zhodn´
y s ostr´
ym uhlom druh´
eho, alebo
(ii) odvesny jedn´
eho s´
u ´
umern´
e odvesn´
am druh´
eho, alebo
(iii) prepona a odvesna s´
u ´
umern´
e prepone a odvesne druh´
eho trojuholn´ıka,
tak tieto trojuholn´ıky s´
u podobn´
e.
Je zrejm´
e, ˇ
ze kaˇ
zd´
e dva rovnostrann´
e trojuholn´ıky s´
u podobn´
e a tieˇ
z kaˇ
zd´
e dva pravouhl´
e rovnoramenn´
e troju-
holn´ıky s´
u podobn´
e.
38
Zhodnosˇ
t trojuholn´ıkov
Podˇla defin´ıcie 28.1 s´
u dva trojuholn´ıky zhodn´
e, ak existuje zhodnosˇ
t, ktor´
a zobraz´ı jeden trojuholn´ık na druh´
y.
Pre praktick´
e ´
uˇ
cely je uˇ
zitoˇ
cnejˇ
sie vedieˇ
t ak´
ym podmienkam musia vyhovovaˇ
t strany a uhly dvoch trojuholn´ıkov,
aby boli zhodn´
e. Na to sl´
uˇ
zia vety o zhodnosti trojuholn´ıkov.
Pod symbolom 4ABC ∼
= 4A
0B0C0 budeme (obdobne ako u podobnosti trojuholn´ıkov) rozumieˇt, ˇze existuje
zhodnosˇ
t, ktor´
a zobraz´ı A 7→ A0, B 7→ B0, C 7→ C0. Teda v z´
apise 4ABC ∼
= 4A
0B0C0 z´aleˇz´ı na porad´ı bodov
(viˇ
d predoˇ
sl´
y ˇ
cl´
anok o podobnosti trojuholn´ıkov).
Z viet 28.5 - 28.9 o podobnosti trojuholn´ıkov priamo vypl´
yva p¨
aˇ
t nasleduj´
ucich viet.
Veta 28.10 Ak trojuholn´ıky ABC, A0B0C0 s´
u zhodn´
e, predpokladajme, ˇ
ze 4ABC ∼
= 4A
0B0C0, tak
|A0B0| = |AB|
|B0C0| = |BC|
|C0A0| = |CA|
<) A
0
∼
= <) A
<) B
0
∼
= <) B
<) C
0
∼
= <) C
(28.3)
|<) A0| = |<) A|
|<) B0| = |<) B|
|<) C0| = |<) C|.
Veta 28.11 (sss) V En s´
u dan´
e dva trojuholn´ıky 4ABC, 4A0B0C0. Keˇ
d
|A0B0| = |AB|
|B0C0| = |BC|
|C0A0| = |CA|,
potom 4ABC ∼
= 4A
0B0C0.
Veta 28.12 (sus) V En s´
u dan´
e dva trojuholn´ıky 4ABC, 4A0B0C0. Keˇ
d
<) B
0
∼
= <) B
|A0B0| = |AB|
|B0C0| = |BC|,
potom 4ABC ∼
= 4A
0B0C0.
Veta 28.13 (usu) V En s´
u dan´
e dva trojuholn´ıky 4ABC, 4A0B0C0. Keˇ
d
|A0B0| = |AB|
<) A
0
∼
= <) A
<) B
0
∼
= <) B,
potom 4ABC ∼
= 4A
0B0C0 .
Veta 28.14 (Ssu) V En s´
u dan´
e dva trojuholn´ıky 4ABC, 4A0B0C0. Keˇ
d
<) A
0
∼
= <) A
|AB| < |BC|
|A0B0| = |AB|
|B0C0| = |BC|,
potom 4ABC ∼
= 4A
0B0C0 .
Vety 28.11 - 28.14 mˆ
oˇ
zeme preformulovaˇ
t (nie celkom presne) aj takto: Ak pre dva trojuholn´ıky plat´ı, ˇ
ze
(i) tri strany jedn´
eho trojuholn´ıka s´
u zhodn´
e s tromi stranami druh´
eho trojuholn´ıka, alebo
(ii) sa zhoduj´
u vo dvoch stran´
ach a uhle nimi zovretom, alebo
(iii) sa zhoduj´
u v jednej strane a uhloch k nej priˇlahl´
ych, alebo
(iv) sa zhoduj´
u vo dvoch stran´
ach a uhle oproti v¨
aˇ
cˇ
sej z nich,
tak s´
u zhodn´
e.
39
29
Pouˇ
zitie zobrazen´ı
Aplik´
acie zhodnost´ı
Pr´
ıklad 29.1 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze trojuholn´ık je rovnoramenn´
y, ak jeho ˇ
taˇ
znica a v´
yˇ
ska spl´
yvaj´
u.
Rieˇ
senie. Nech stred S strany AB spl´
yva s p¨
atou v´
yˇ
sky 4ABC. Zrejme σ
CS AC = BC a preto |AC | = |BC |.
Pr´
ıklad 29.2 V rovine E2 je dan´
a kruˇ
znica K, priamka L a na nich neleˇ
ziaci bod C. Zostrojte 4ABC tak, ˇ
ze
|AC| = |BC|, A ∈ K, B ∈ L a AB ⊥ L.
Rieˇ
senie: Rozbor. Nech N = C + ~
L (viˇ
d obr´
azok). Potom N ⊥ AB a keˇ
dˇ
ze |AC| = |BC|, σN B = A. Pretoˇze
B ∈ L, tak A = σN B ∈ σN L, teda A ∈ K ∩ σN L.
Konˇ
strukcia:
(K1)
N = C + ~
L
(K2)
L0 = σN L, A ∈ L
0 ∩ K
(K3)
σN A = B.
Dˆ
okaz vypl´
yva z rozboru a konˇ
strukcie.
Diskusia. Poˇ
cet rieˇ
sen´ı z´
avis´ı od poˇ
ctu bodov prieniku L0 ∩ K. Preto ´
uloha mˆ
oˇ
ze maˇ
t 0,1 alebo dve rieˇ
senia.
Pr´
ıklad 29.3 Dan´
y je p¨
aˇ
tuholn´ık S1S2S3S4S5. Zostrojte konvexn´
y p¨
aˇ
tuholn´ık ABCDE tak, ˇ
ze S1 je stred
strany AB, S2 stred strany BC, . . . , S5 stred strany EA.
Rieˇ
senie: Rozbor. Nech σi je stredov´
a s´
umernosˇ
t so stredom Si pre i = 1, 2, 3, 4, 5. Je zrejm´e, ˇze
A
σ1
7→ B
σ2
7→ C
σ3
7→ D
σ4
7→ E
σ5
7→ A
preto A je samodruˇ
zn´
y bod s´
uˇ
cinu σ5σ4σ3σ2σ1; tento s´
uˇ
cin je stredov´
a s´
umernosˇ
t so stredom A.
Konˇ
strukcia:
(K1)
P tak, ˇ
ze S1S2S3P je rovnobeˇzn´ık
(K2)
A tak, ˇ
ze P S4S5A je rovnobeˇzn´ık.
(K3)
B = σ1A,
C = σ2B,
D = σ3C,
E = σ4D.
Dˆ
okaz vypl´
yva z rozboru a konˇ
strukcie.
Diskusia. Je zrejm´
e, ˇ
ze existuje jedin´
y bod A, jedin´
y bod B . . ., zostrojen´
y podˇla konˇ
strukcie. Avˇ
sak p¨
aˇ
tuholn´ık
ABCDE nemus´ı byˇ
t konvexn´
y, ´
uloha m´
a teda 1 alebo ˇ
ziadne rieˇ
senie.
40
Aplik´
acie podobnost´ı
Pr´
ıklad 29.4 Zostrojte 4ABC, ak s´
u dan´
e veˇ
lkosti jeho uhlov <) A, <) B a obvod s.
Rieˇ
senie:
Rozbor. Keˇ
dˇ
ze pozn´
ame dva uhly v 4ABC, pozn´
ame aj tvar, ktor´
y je dan´
y ˇlubovoˇln´
ym trojuholn´ıkom s dvomi
uhlami veˇlkost´ı |<) A|, |<) B|. Nech A0B0C0 je tak´
y trojuholn´ık, ˇ
ze <) A ∼
= <) A
0, <) B ∼
= <) B
0; tento trojuholn´ık
je podˇla vety 28.8 podobn´
y s 4ABC, priˇ
com koeficient ich podobnosti je |A0B0| : |AB| = k. Ak s0, s s´
u obvody
t´
ychto trojuholn´ıkov, tak zrejme s0 : s = k. Keˇ
dˇ
ze s je dan´
e a s0 pozn´
ame tieˇ
z, tak vieme aj koeficient k. Preto
staˇ
c´ı k-kr´
at zv¨
aˇ
cˇ
siˇ
t (moˇ
zno zmenˇ
siˇ
t) 4A0B0C0 a dostaneme 4ABC.
Konˇ
strukcia.
(K1)
4AB0C0 tak, ˇze <) A ∼
= <) A
0, <) B ∼
= <) B
0, A ≡ A0.
(K2)
D, D0 ∈ AB0 tak, ˇ
ze |AD| = s, |AD0| = s0, kde s0 je obvod 4AB0C0.
(K3)
Nech ρ[A, D0 7→ D] je rovnoˇlahlosˇ
t; B = ρB0, C = ρC0 (DD0kBB0kCC0).
Dˆ
okaz vypl´
yva z rozboru a konˇ
strukcie.
Diskusia. T´
ato ´
uloha je nepolohov´
a, preto dva zhodn´
e trojuholn´ıky povaˇ
zujeme za jedno rieˇ
senie. Ak |<) A| +
|<) B| < π, ´
uloha m´
a 1 rieˇ
senie, v opaˇ
cnom pr´ıpade ˇ
ziadne. Skutoˇ
cne, ak 4ABC, 4A1B1C1 s´
u dve rieˇ
senia
naˇ
sej ´
ulohy, tak tieto trojuholn´ıky s´
u podobn´
e (dva ich uhly s´
u zhodn´
e s <) A, <) B) a s´
uˇ
casne ich obvody s1, s
s´
u rovnal´
e. Pre obvody podobn´
ych trojuholn´ıkov s koeficientom k plat´ı s1.k = s a pretoˇze s1 = s, tak k = 1 a
teda 4ABC ∼
= 4A1B1C1.
Met´
odu pouˇ
zit´
u v rieˇ
sen´ı tohto pr´ıkladu moˇ
zno aplikovaˇ
t na rieˇ
senie ´
uloh, kde je zn´
amy tvar hˇladan´
eho ´
utvaru.
Pr´
ıklad 29.5 Dan´
e s´
u priamky p, q a bod A. Zostrojte obd´
lˇ
znik ABCD tak, aby vrchol B leˇ
zal na priamke p,
vrchol C na q a aby pomer dvoch str´
an obd´
lˇ
znika ABCD bol 3 : 1.
Rieˇ
senie:
Rozbor.
Nech |AB| : |BC| = 3 : 1. To znamen´
a, ˇ
ze pozn´
ame veˇlkosˇ
t orientovan´
eho uhla
d
BAC a pomer
|AB| : |AC| = 3 :
√
10. Nech ξ je centr´
alnopodobn´
a rot´
acia, so stredom A, orientovan´
ym uhlom
d
BAC a
koeficientom
√
10 : 3. T´
ato CP R zobraz´ı bod B do C a teda priamku p na priamku p0, ktor´
a mus´ı prech´
adzaˇ
t
bodom C a keˇ
dˇ
ze C ∈ q tak C ∈ p0 ∩ q.
Konˇ
strukcia.
(K1)
4A0B0C0 tak, ˇze |<) B0| = π/2, |A0B0| : |B0C0| = 3 : 1.
(K2)
Nech ξ[A,
d
B0A0C0,
√
10 : 3] je CP R
(K3)
p0 = ξp, C ∈ p0 ∩ q
(K4)
B = ξ−1C
(K5)
obd´lˇ
znik ABCD.
Dˆ
okaz vypl´
yva z rozboru a konˇ
strukcie.
Diskusia. T´
ato ´
uloha je polohov´
a, preto dva rˆ
ozne obd´lˇ
zn´ıky povaˇ
zujeme za rˆ
ozne rieˇ
senia. Z (K3) vypl´
yva, ˇ
ze
bodov C mˆ
oˇ
ze byˇ
t 0,1 alebo ∞. V (K2) s´
u 4 CPR, lebo
d
B0A0C0 je kladne alebo z´
aporne orientovan´
y a pomery
s´
u dva |A0B0| : |B0C0| = 3 : 1, |A0B0| : |B0C0| = 1 : 3. Spolu teda poˇ
cet rieˇ
sen´ı mˆ
oˇ
ze byˇ
t 0,1,2,3,4 ∞.
Mocnosˇ
t bodu ku kruˇ
znici
Podobnosˇ
t trojuholn´ıkov m´
a eˇ
ste ˇ
dalˇ
sie aplik´
acie. Nech v rovine E2 je dan´
a kruˇ
znica K[S, r] a bod M , ktor´
y
je jej vonkajˇ
s´ım bodom. Nech priamka M S pret´ına kruˇ
znicu K v bodoch A, B a nech L 6= SM je ˇlubovoˇln´
a
seˇ
cnica alebo dotyˇ
cnica kruˇ
znice K prech´
adzaj´
uca bodom M . Nech L ∩ K = {X, Y } (viˇ
d obr´
azok). Z vety o
obvodov´
ych uhloch vypl´
yva, ˇ
ze v trojuholn´ıkoch BXM, Y AM s´
u uhly <) A, <) X zhodn´
e (plat´ı to aj v pr´ıpade,
ˇ
ze X = Y , t.j. keˇ
d L je dotyˇ
cnica kruˇ
znice K) a pretoˇ
ze aj <) M ∼
= <) M , tak 4BXM ∼ 4Y AM preto
| BM |: |XM | = |Y M |: |AM |, t.j. |AM |.|BM | = |XM |.|Y M | .
41
To znamen´
a, ˇ
ze ak sa priamka L ot´
aˇ
ca okolo bodu M , tak body X, Y prebehn´
u vˇ
setky body kruˇ
znice K, priˇ
com
s´
uˇ
cin |M X|.|M Y | je konˇ
stantn´
y (a vzhˇladom na to, ˇ
ze uhol vektorov
−→
M X,
−→
M Y je nulov´
y) rovn´
a sa skal´
arnemu
s´
uˇ
cinu
−→
M X.
−→
M Y . Cel´
a t´
ato ´
uvaha zostane v platnosti, ak by M bol vn´
utorn´
ym bodom kruˇ
znice K (aˇ
z na
znamienko skal´
arneho s´
uˇ
cinu
−→
M X.
−→
M Y ). Preto mˆ
oˇ
ze byˇ
t uveden´
a
Defin´
ıcia 29.6 V rovine je dan´
a kruˇ
znica K[S, r] a bod M . Nech priamka prech´
adzaj´
uca bodmi S, M pret´ına
kruˇ
znicu K v bodoch A, B. Skal´
ar
−→
M A.
−→
M B = µ[M, K]
naz´
yvame mocnosˇ
t bodu M ku kruˇ
znici K.
Z tejto defin´ıcie (a vzhˇladom na to, ˇ
ze
−→
SA +
−→
SB = ~
o,
−→
SA.
−→
SB = −r2), vypl´
yva
−→
M A.
−→
M B
=
(
−→
M S +
−→
SA).(
−→
M S +
−→
SB) =
−→
M S
2
+
−→
M S(
−→
SA +
−→
SB) +
−→
SA.
−→
SB = |M S|
2 − r2,
ˇ
ciˇ
ze mocnosˇ
t bodu M ku kruˇ
znici K[S, r] je dan´
a vzorcom
µ[M, K] = |M S|
2 − r2.
(29.1)
Z tohto vzorca priamo vypl´
yva, ˇ
ze mocnosˇ
t bodu ku kruˇ
znici, na ktorej leˇ
z´ı je 0, mocnosˇ
t vn´
utorn´
eho (resp.
vonkajˇ
sieho) bodu kruˇ
znice k tejto kruˇ
znici je z´
aporn´
e (resp. kladn´
e) re´
alne ˇ
c´ıslo.
V pr´ıpade, ˇ
ze M je vonkajˇ
s´ı bod kruˇ
znice K[S, r], existuje dotyˇ
cnica kruˇ
znice K, ktor´
a prech´
adza bodom M ;
nech T je dotykov´
y bod. Podˇla Pytagorovej vety pre 4ST M , je |M T |2 = |M S|2 − r2, ˇ
ciˇ
ze plat´ı
Veta 29.7 Mocnosˇ
t vonkajˇ
sieho bodu kruˇ
znice k tejto kruˇ
znici sa rovn´
a ˇ
stvorcu d´
lˇ
zky dotyˇ
cnice kruˇ
znice z tohto
bodu.
Veta 29.8 Nech H je mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych tak´
ych bodov roviny E2, ktor´e maj´
u rovnak´
u mocnosˇ
t k dan´
ym dvom
kruˇ
zniciam K1[S1, r1], K2[S2, r2] leˇziacim v rovine E2. Potom
(i) S1 = S2 ∧ r1 6= r2 ⇒ H = ∅
(ii) S1 = S2 ∧ r1 = r2 ⇒ H = E2
(iii) S1 6= S2 ⇒ H je priamka (t´
uto priamku naz´
yvame chord´
ala kruˇ
zn´ıc K1, K2) kolm´
a na stredn´
u S1S2.
Dˆ
okaz.
V rovine E2 zvol´ıme kartezi´
ansku s´
uradnicov´
u s´
ustavu tak, ˇ
ze x-ov´
a os prech´
adza bodmi S1, S2.
Nech v tejto s´
ustave maj´
u body X, S1, S2 v porad´ı s´
uradnice [x, y], [0, 0], [s, 0]. Keˇ
d X ∈ H, podˇla (29.1)
|XS1|2 − r21 = |XS2|
2 − r2
2 , ak t´
uto rovnosˇ
t prep´ıˇ
seme pomocou s´
uradn´ıc, dost´
avame
x
2 + y2 − r2
1 = (x − s)
2 + y2 − r2
2 ,
odkiaˇl po ´
uprave
2sx = r
2
1 − r
2
2 + s
2.
(29.2)
42
Teda bod X ∈ H pr´
ave vtedy, keˇ
d jeho s´
uradnice x, y vyhovuj´
u rovnici (29.2). Mnoˇ
zina H je nepr´
azdna, ak
existuje rieˇ
senie rovnice (29.2). Je zrejm´
e, ˇ
ze t´
ato rovnica nem´
a rieˇ
senie, ak s´
u splnen´
e predpoklady v (i) a kaˇ
zd´
y
bod X[x, y] roviny E2 je jej rieˇsen´ım, ak s´
u splnen´
e predpoklady v (ii). Ak S1 6= S2
x =
r2
1 − r
2
2 + s
2
2s
je jedin´
e rieˇ
senie rovnice (29.2), preto H je priamka o rovici (29.2); t´
ato priamka je zrejme kolm´
a na x-ov´
u os,
ˇ
ciˇ
ze na priamku S1S2. T´
ym je dˆ
okaz ukonˇ
cen´
y.
Ak bod M leˇ
z´ı na dvoch rˆ
oznych kruˇ
zniciach K1, K2, jeho mocnosˇt ku kaˇzdej z nich je nula. To znamen´
a,
ˇ
ze bod M m´
a rovnak´
u mocnosˇ
t k t´
ymto kruˇ
zniciam, ˇ
ciˇ
ze leˇ
z´ı na ich chord´
ale. Preto chord´
ala dvoch kruˇ
zn´ıc
prech´
adza kaˇ
zd´
ym prieseˇ
cn´ıkom t´
ychto kruˇ
zn´ıc (ak existuj´
u). Ak dve kruˇ
znice maj´
u dva rˆ
ozne body spoloˇ
cn´
e,
tak ich chord´
ala prech´
adza kaˇ
zd´
ym z t´
ychto bodov a ak sa dot´
ykaj´
u v bode T , ich chord´
ala je ich spoloˇ
cn´
a
dotyˇ
cnica prech´
adzaj´
uca bodom T (chord´
ala prech´
adza totiˇ
z bodom T kolmo na stredn´
u S1S2). Tento fakt
moˇ
zno vyuˇ
ziˇ
t na konˇ
strukciu chord´
aly dvoch kruˇ
zn´ıc K1, K2, ktor´e nemaj´
u ani jeden spoloˇ
cn´
y bod (viˇ
d obr´
azok):
Zostroj´ıme tak´
u kruˇ
znicu K, ktor´
a pret´ına kaˇ
zd´
u z kruˇ
zn´ıc K1, K2. Nech H1, resp. H2 s´
u chord´
aly dvoj´ıc K, K1,
resp K, K2 potom chord´
ala H kruˇ
zn´ıc K1, K2 prech´
adza prieseˇ
cn´ıkom P chord´
al H1, H2 kolmo na stredn´
u kruˇ
zn´ıc
K1, K2. Bod P m´
a totiˇ
z rovnak´
e mocnosti ku kruˇ
zniciam K1, K resp. K, K2 a to znamen´
a, ˇ
ze P m´
a rovnak´
u
mocnosˇ
t ku kruˇ
zniciam K1, K2. Tak´
yto bod P , ktor´
y m´
a rovnak´
u mocnosˇ
t k trom dan´
ym kruˇ
zniciam naz´
yvame
potenˇ
cn´
y bod t´
ychto kruˇ
zn´ıc.
Nech A je tak´
y bod chord´
aly dvoch kruˇ
zn´ıc K1, K2, z ktor´eho existuj´
u dotyˇ
cnice k t´
ymto kruˇ
zniciam, oznaˇ
cme
T1, T2 pr´ısluˇsn´e dotykov´e body. Podˇla tvrdenia 29.7
|AT1|2 = |AT2|2, odkiaˇl |AT1| = |AT2|, ˇciˇze plat´ı
Veta 29.9 D´
lˇ
zky dotyˇ
cn´ıc (ak existuj´
u) z bodu na chord´
ale dvoch kruˇ
zn´ıc k t´
ymto kruˇ
zniciam s´
u rovnak´
e.
T´
ato vlastnosˇ
t sa d´
a vyuˇ
ziˇ
t na rieˇ
senie niektor´
ych konˇ
strukˇ
cn´
ych ´
uloh.
Pr´
ıklad 29.10 V rovine E2 je dan´
y nenulov´
y dut´
y uhol CV D a jeho vn´
utorn´
y bod A. Zostrojte kruˇ
znicu, ktor´
a
prech´
adza bodom A a dot´
yka sa priamok CV, DV .
Rieˇ
senie. Rozbor. Nech L je os dut´
eho uhla CV D a nech σL je osov´
a s´
umernosˇ
t; σL zobraz´ı polpriamku V C na
polpriamku V D ; nech B = σLA. Predpokladajme, ˇze N = A + ~
L±, F ∈ N ∩ CV a nech K je hˇladan´
a kruˇ
znica.
Potom µ[F, K] = |F A|.|F B| = d2. Ak T je dotykov´
y bod priamky CV a kruˇ
znice K, tak |F T | = d (viˇ
d obr´
azok).
Konˇ
strukcia:
43
(K1)
Os L dut´
eho uhla CV D
(K2)
N = A + ~
L
±
, F ∈ N ∩ CV
(K3)
Kruˇ
znica H prech´
adzaj´
uca bodom A so stredom na L
(K4)
Dotyˇ
cnica F T1 kruˇznice H, T1 ∈ H
(K5)
Kruˇ
znica G[F, |F T1|], T ∈ G ∩ V C
(K6)
O ∈ (T + <
−→
CV >±) ∩ L
(K7)
K[O, |OT |]
Dˆ
okaz a diskusia: Priamka L existuje jedin´
a, preto aj bod F existuje jedin´
y. Pre body T, T 0 ∈ G ∩ V C plat´ı
|F T | = |F T 0| =
p|F A||F B|; tak´e body existuj´u pr´ave dva a s´u rˆozne, pre S = N ∩ L je totiˇz
|V F |2 = |V S|2 + |SF |2 = |V S|2 + (|AF | − |AS|)(|BF | + |BS|) = |AF |.|BF | + |V A|2,
odkiaˇl |V F | >
pµ[F, K] = |T F |, preto aj body O, O0 s´u rˆozne. ´
Uloha m´
a teda vˇ
zdy dve rieˇ
senia.
Kruˇ
znicov´
a inverzia
Kaˇ
zd´
a afinita zobraz´ı priamku na priamku. Tak´
e zobrazenia s´
u tzv. line´
arne. Medzi zobrazenia, ktor´
e nie s´
u
line´
arne patr´ı kruˇ
znicov´
a inverzia, ktorou sa budeme zaoberaˇ
t v tomto subˇ
cl´
anku.
Dan´
a je kruˇ
znica K[O, r] v rovine E2. Zobrazenie ω = ω[O, r] z E2 do E2 dan´e predpisom
ωX = X
0 ⇔ X0 ∈ OX ∧ |OX|.|OX0| = r2
(29.3)
naz´
yvame kruˇ
znicov´
a inverzia, kruˇ
znicu K naz´
yvame urˇ
cuj´
uca kruˇ
znica a jej stred stredom inverzie ω.
Kruˇ
znicov´
a inverzia nie je definovan´
a na rovine E2, pretoˇze neexistuje obraz stredu urˇcuj´
ucej kruˇ
znice; ak totiˇ
z
X = O, tak |OX| = 0 a teda |OX|.|OX0| = 0 6= r2.
Keˇ
d ωX = X0, potom ωX0 = X; vypl´
yva to zo symetrie rel´
acie (29.3) vzhˇladom na permut´
aciu X ↔ X0. Teda
ω(ωX) = X pre kaˇ
zd´
e X 6= O, to je dˆ
ovod preˇ
co ω naz´
yvame inverzia.
Lema 29.11 Nech ω = ω[O, r] je kruˇ
znicov´
a inverzia, ωA = A0, ωB = B0 a nech O, A, B s´
u nekoline´
arne body.
Potom 4OAB ∼ 4OB0A0 a
|<) OAB| = |<) OB0A0|.
(29.4)
Dˆ
okaz. <) O ∼
= <) O a ˇ
dalej |OA|.|OA0| = r2 = |OB|.|OB0|, odkiaˇl |OA| : |OB| = |OB0| : |OA0|, takˇ
ze vzhˇladom
na Vetu 28.7 plat´ı 4OAB ∼ 4OB0A0. Z tejto podobnosti m´
ame (29.4).
Veta 29.12 Obraz priamky neprech´
adzaj´
ucej stredom kruˇ
znicovej inverzie je kruˇ
znica prech´
adzaj´
uca stredom
inverzie (okrem stredu inverzie) a obr´
atene.
Dˆ
okaz. Nech ω = ω[O, r] je kruˇ
znicov´
a inverzia, L priamka neprech´
adzaj´
uca stredom O a nech A je p¨
ata kolmice
z bodu O na priamku L. Nech X ∈ L a ωA = A0, ωX = X0, X 6= A. Podˇla (29.4), 90◦ = |<) OAX| =
|<) OX0A0|. To znamen´
a, ˇ
ze z bodu X0 vid´ıme ´
useˇ
cku OA0 pod prav´
ym uhlom, preto X0 leˇ
z´ı na T´
alesovej
kruˇ
znici, povedzme L0, nad priemerom OA0. Obr´
atene, kaˇ
zd´
y bod kruˇ
znice L0, (okrem bodu O) sa zobraz´ı na
priamku L a t´
ym je dˆ
okaz ukonˇ
cen´
y.
Veta 29.13 Kruˇ
znicov´
a inverzia zobraz´ı kruˇ
znicu neprech´
adzaj´
ucu stredom inverzie na kruˇ
znicu, ktor´
a ne-
prech´
adza stredom inverzie.
Dˆ
okaz. Nech ω = ω[O, r] je kruˇ
znicov´
a inverzia, H[S, h] kruˇ
znica neprech´
adzaj´
uca bodom O. Ak S = O tvrdenie
je trivi´
alne. Predpokladajme preto, ˇ
ze S 6= O; nech SO ∩ H = {A, B} (viˇ
d obr´
azok).
44
Potom
<) OXB ∼
= <) OB
0X0,
<) OXA ∼
= <) OA
0X0;
odˇ
c´ıtan´ım t´
ychto rovnost´ı m´
ame
90
◦ = |<) OXB| − |<) OXA| = |<) OB0X0| − |<) OA0X0| = |<) B0X0A0|
a teda X0 ∈ H0, kde H0 je T´
alesova kruˇ
znica nad priemerom A0B0. Obr´
atene, kaˇ
zd´
y bod kruˇ
znice H0 sa zobraz´ı
do kruˇ
znice H a t´
ym je dˆ
okaz ukonˇ
cen´
y.
´
Uloha 29.14 Nech E∗
2 = E2 − {O} a nech ω = ω[O, r] je kruˇ
znicov´
a inverzia. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze ω : E∗
2 →E
∗
2 je
bijekcia.
´
Uloha 29.15 Nech ω = ω[O, r] je kruˇ
znicov´
a inverzia a K, H dve kruˇ
znice dot´
ykaj´
uce sa v bode O. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze
ωK, ωH s´
u rovnobeˇ
zn´
e priamky.
Pre stuˇ
cnosˇ
t vo vyjadrovan´ı budeme povaˇ
zovaˇ
t dve rovnobeˇ
zn´
e priamky za priamky, ktor´
e sa dot´
ykaj´
u; Uhol
dvoch ˇ
ciar K, L kaˇ
zd´
a, z ktor´
ych je buˇ
d kruˇ
znica alebo priamka, budeme naz´
yvaˇ
t uhol dotyˇ
cn´ıc t´
ychto ˇ
ciar v ich
prieseˇ
cn´ıku; ak uhol t´
ychto ˇ
ciar je π/2, hovor´ıme, ˇ
ze s´
u kolm´
e alebo ortogon´
alne.
Veta 29.16 Nech kaˇ
zd´
a z ˇ
ciar K, L je buˇ
d kruˇ
znica alebo priamka a nech ω je kruˇ
znicov´
a inverzia. Potom
(i)
keˇ
d K, L, sa dot´
ykaj´
u, dot´
ykaj´
u sa aj ωK, ωL (t.j. dotykovosˇ
t je invariant inverzie)
(ii)
uhol ˇ
ciar K, L je invariant kruˇ
znicovej inverzie ω.
Dˆ
okaz. (i) vypl´
yva z ´
uloh 29.14, 29.15. (ii) dok´
aˇ
zeme len pre dve priamky, zvyˇ
sok analogicky. Nech teda K, L
s´
u priamky neprech´
adzaj´
uce stredom S inverzie, potom ωK je kruˇ
znica, ktorej dotyˇ
cnica v S je rovnobeˇ
zn´
a s K,
podobne je to aj s ωL. Uhol kruˇ
zn´ıc ωK, ωL je uhol ich dotyˇ
cn´ıc v bode S a tie s´
u rovnobeˇ
zn´
e s K, L.
Veta 29.17 Nech ω ≡ K[S, r] je kruˇ
znicov´
a inverzia. Kruˇ
znica H je samodruˇ
zn´
a kruˇ
znica inverzie ω pr´
ave
vtedy, keˇ
d K ≡ H alebo K, H s´
u ortogon´
alne.
Dˆ
okaz. ⇒ Nech H 6= K, potom H obsahuje jeden vn´
utorn´
y bod A a jeden vonkajˇ
s´ı bod A0 kruˇ
znice K (vn´
utro
K ω zobraz´ı na vonkajˇ
sok kruˇ
znice K a to s´
u disjunktn´
e mnoˇ
ziny), mˆ
oˇ
zme dokonca predpokladaˇ
t, ˇ
ze A, A0 leˇ
zia
na strednej kruˇ
zn´ıc K, H. Potom A ∈ H ⇒ ωA ∈ H ⇒ A0 = ωA a keˇ
dˇ
ze H je s´
umern´
a podˇla AA0, tak AA0 je jej
priemer. A0 = ωA implikuje |SA||SA0| = r2, ˇ
ciˇ
ze mocnosˇ
t bodu S ku H je r2 preto ST (T ∈ K ∩ H) je dotyˇ
cnica
kruˇ
znice H, t.j. K, H s´
u ortogon´
alne. ⇐ Ak K = H tvrdenie je zrejm´
e. Nech K, H s´
u ortogon´
alne kruˇ
znice, nech
A, B s´
u prieseˇ
cn´ıky H so strednou kruˇ
zn´ıc K, H a nech T ∈ K ∩ H. Potom |SA||SB| = µ(S, H) = |ST |2 = r2
ˇ
co implikuje B = ωA a tak H je samodruˇ
zn´
a kruˇ
znica.
Pr´
ıklad 29.18 V E2 s´
u dan´
e dve rˆ
ozne dot´
ykaj´
uce sa kruˇ
znice K, H a priamka L neprech´
adzaj´
uca ich dotykov´
ym
bodom T . Zostrojte kruˇ
znicu G tak, aby sa dot´
ykala kruˇ
zn´ıc K, H a priamky L.
Rieˇ
senie: Rozbor. Nech S, R s´
u v porad´ı stredy kruˇ
zn´ıc K, H a nech ω = ω[T, r] je kruˇ
znicov´
a inverzia. Potom
ωK, ωH s´
u rovnobeˇ
zn´
e priamky a ωL kruˇ
znica prech´
adzaj´
uca bodom T . Obraz ωG hˇladanej kruˇ
znice G je
kruˇ
znica dot´
ykaj´
uca sa priamok ωK, ωH a kruˇ
znice ωL[Q, a]. Jej polomer g je polovica vzdialenosti priamok
ωK, ωH, preto jej stred leˇ
z´ı na (moˇ
zno dvoch) kruˇ
zniciach L1[Q, a + g], L2[Q, a − g].
Konˇ
strukcia:
45
(K1)
ω = ω[T, r], r vol´ıme tak, aby urˇ
cuj´
uca kruˇ
znica inverzie pret´ınala obe kruˇ
znice K, H.
(K2)
ωK (resp. ωH) je priamka prech´
adzaj´
uca prieseˇ
cn´ıkmi kruˇ
zn´ıc K, ω(resp. H, ω).
(K3)
N je os s´
umernosti priamok ωK, ωH a N kωK.
(K4)
g = ωK a N .
(K5)
A - p¨
ata kolmice z T na L.
(K6)
A0 = ωA
(K7)
ωL[Q, a] je kruˇ
znica nad priemerom A0T .
(K8)
L1[Q, a + g], L2[Q, a − g] s´
u kruˇ
znice.
(K9)
Gi je kruˇznica so stredom v (N ∩ L1) ∪ (N ∩ L2) a polomerom g.
(K10)
ωG0
i = Gi s´
u hˇladan´
e kruˇ
znice.
Dˆ
okaz: vypl´
yva z konˇ
strukcie a vlastnosti kruˇ
znicovej inverzie. Poˇ
cet rieˇ
sen´ı z´
avis´ı od poˇ
ctu kruˇ
zn´ıc dot´
ykaj´
ucich
sa rovnobeˇ
ziek ωK, ωH a kruˇ
znice ωL. Tak´
ych kruˇ
zn´ıc mˆ
oˇ
ze byˇ
t 0,1,2, 3 alebo 4. T´
ym je urˇ
cen´
y aj poˇ
cet
rieˇ
sen´ı ´
ulohy.
T´
ato konˇ
strukˇ
cn´
a ´
uloha patr´ı medzi tzv. Apoll´
oniove ´
ulohy. Vˇ
seobecne Apoll´
oniova ´
uloha znie takto: V rovine
E2 s´
u dan´
e tri ´
utvary K1, K2, K3. Kaˇzd´
y z t´
ychto ´
utvarov je bod, priamka alebo kruˇ
znica. Zostrojte kruˇ
znicu
K tak, aby sa dot´
ykala vˇ
setk´
ych troch ´
utvarov K1, K2, K3 (kruˇznica sa dot´
yka bodu, ak n´ım prech´
adza).
Cviˇ
cenie
29.1 Nech A, B, C s´
u navz´
ajom rˆ
ozne body kruˇ
znice K[S, r]. Prienik polroviny ABC s kruˇ
znicou K naz´
yvame
kruˇ
znicov´
y obl´
uk (skr´
atene len obl´
uk); A, B s´
u jeho krajn´
e body, C vn´
utorn´
y; tak´
y obl´
uk oznaˇ
cujeme
_
ACB.
Obl´
uky
_
ACB,
_
ADB naz´
yvame opaˇ
cn´
e, ak ich zjednotenie je kruˇ
znica. Dut´
y uhol ACB naz´
yvame obvodov´
y
uhol prisl´
uchaj´
uci obl´
uku
_
ADB, ak
_
ACB,
_
ADB s´
u opaˇ
cn´
e obl´
uky (tieˇ
z hovor´ıme, ˇ
ze
_
ACB je obvodov´
y
uhol nad obl´
ukom
_
ADB). Ten uhol ASB, ktor´
eho podmnoˇ
zinou je obl´
uk
_
ADB naz´
yvame stredov´
y uhol
pr´ısluˇ
sn´
y k obl´
uku
_
ADB (alebo stredov´
y uhol nad obl´
ukom
_
ADB). Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze vˇ
setky obvodov´
e uhly
nad t´
ym ist´
ym obl´
ukom s´
u zhodn´
e (veta o obvodov´
ych uhloch). Stredov´
y uhol naz´
yvame pr´ısluˇ
sn´
y k
obvodov´
eme uhlu (a obr´
atene), ak oba prisl´
uchaj´
u tomu ist´
emu obl´
uku. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze veˇlkosˇ
t obvodov´
eho
uhla sa rovn´
a polovici veˇlkosti pr´ısluˇ
sn´
eho stredov´
eho uhla.
29.2 Nech kruˇ
znice K[S, r], H[O, h] sa dot´
ykaj´
u zvonku v bode T , nech priamka AB sa dot´
yka kruˇ
zn´ıc K, H
v bodoch A, B a nech spoloˇ
cn´
a dotyˇ
cnica v bode T pret´ına priamku AB v bode C. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze priamky
AT , T B, SC, CO ohraniˇ
cuj´
u obd´lˇ
znik.
29.3 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze ak A, B, C, D s´
u ˇ
styri body priestoru E3 neleˇziace v jednej rovine, existuje jedin´
y bod, ktor´
y
m´
a od vˇ
setk´
ych ˇ
styroch bodov rovnak´
u vzdialenosˇ
t a udajte jeho konˇ
strukciu.
29.4 Nech dotykov´
e roviny guˇlovej plochy v bodoch A, B sa pret´ınaj´
u v priamke L. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze L ⊥ AB.
29.5 V E2 s´
u dan´
e body S 6= O. Zostrojte rovnoramenn´
y 4AA0O (|AO| = |A0O|) tak, ˇ
ze (AA0S) = −
2
3 a
d
AOA0 = 30◦.
29.6 Nech ρ[S, −
2
3 ] je rovno
ˇlahlosˇt a ω[O, +30◦] je ot´aˇcanie. Nech A, A0 s´u body ako v cviˇcen´ı 5. Dok´aˇzte, ˇze
ρω(A) = ρA0 = A.
29.7 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
e dva ˇ
stvorce, kaˇ
zd´
e dve kocky a kaˇ
zd´
e dve guˇlov´
e plochy s´
u podobn´
e.
29.8 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze neplat´ı: Ak sa dva ˇ
stvoruholn´ıky zhoduj´
u vo vˇ
setk´
ych uhloch, s´
u podobn´
e.
29.9 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze obd´lˇ
zniky s´
u podobn´
e, ak pomery dvoch ich susedn´
ych str´
an s´
u rovnak´
e.
29.10 Deltoid je konvexn´
y ˇ
stvoruholn´ık, ktor´
y nie je rovnobeˇ
zn´ık a ktor´
y je s´
umern´
y podˇla svojej uhloprieˇ
cky.
Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze dva deltoidy s´
u podobn´
e, ak sa zhoduj´
u vo dvoch uhloch.
29.11 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
y ˇ
stvoruholn´ık podobn´
y s deltoidom je deltoid.
46
29.12 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze ˇ
stvorec a obd´lˇ
znik nie s´
u podobn´
e.
29.13 Nech ω je kruˇ
znicov´
a inverzia s urˇ
cuj´
ucou kruˇ
znicou K[O, r].
(i) Nech A /
∈ K, A 6= O, A0 = ωA a nech H je kruˇznica o priemere AA0. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze ωH = H.
(ii) Nech A /
∈ K, A 6= O, A0 = ωA, |OA| < |OA0| a nech G je kruˇ
znica o priemere OA0. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze A
leˇ
z´ı na priamke prech´
adzaj´
ucej prieseˇ
cn´ıkmi kruˇ
zn´ıc K, G.
47
P R O J E K T ´
I V N A
R O V I N A a K O L I N E ´
A C I E
30
Projekt´ıvna rovina
Homog´
enne s´
uradnice
Kaˇ
zd´
y bod roviny E2 je charakterizovan´
y svojimi s´
uradnicami (v nejakom rep´
ere E = (O, ~
e1, ~e2)), ktor´e naz´
yvame
tieˇ
z afinn´
e s´
uradnice. Ak ax + by + c = 0 je rovnica priamky L a AE = [a1, a2] je bod roviny E2, tak bod A leˇz´ı
na priamke L pr´
ave vtedy, keˇ
d aa1 + ba2 + c = 0, ˇco pomocou mat´ıc mˆ
oˇ
zeme p´ısaˇ
t
(a
b
c)
a1
a2
1
= 0
⇔
(a
b
c)
ka1
ka2
k
= 0
kde k 6= 0 je ˇlubovoˇln´
e re´
alne ˇ
c´ıslo; to znamen´
a, ˇ
ze miesto dvoch s´
uradn´ıc bodu A mˆ
oˇ
zeme braˇ
t do ´
uvahy trojice
(ka1, ka2, k), k 6= 0, ktor´e urˇcuj´
u ten ist´
y bod A; tieto trojice naz´
yvame homog´
enne s´
uradnice. Je prirodzen´
e
poloˇ
ziˇ
t ot´
azku, ak´
y bod priamky L je urˇ
cen´
y trojicou (b, −a, 0), keˇ
dˇ
ze
(a
b
c)
b
−a
0
= 0.
Je zrejm´
e, ˇ
ze ”bod” (b, −a, 0) vyhovuje aj rovnici kaˇ
zdej priamky rovnobeˇ
znej s L, pretoˇ
ze
(a
b
c0)
b
−a
0
= 0.
To znamen´
a, ˇ
ze bodom (b, −a, 0) prech´
adzaj´
u vˇ
setky navz´
ajom rovnobeˇ
zn´
e priamky (ich smerov´
y vektor je
(b, −a)). Tak´
y bod budeme naz´
yvaˇ
t nevlastn´
y bod priamky (a, b, c).
Nech H = (~
e1, ~e2, ~e3) je b´
aza priestoru ~
E3; vˇsetky s´
uradnice vektorov priestoru ~
E3 (ak nebude povedan´e inak)
budeme uv´
adzaˇ
t v b´
aze H. Ak M je matica, tak M T je k nej transponovan´
a matica.
Defin´
ıcia 30.1 Mnoˇ
zinu
RP2 = {(x, y, t) ∈ ~
E3, (x, y, t) 6= (0, 0, 0)}
naz´
yvame re´
alna projekt´ıvna rovina, jej prvky naz´
yvame body, priˇ
com body (x, y, t), (x0, y0, t0) s´
u totoˇ
zn´
e (t,j,
(x, y, t) ≡ (x0, y0, t0)) pr´
ave vtedy, keˇ
d
hod
x
y
t
x0
y0
t0
= 1
(hod(M ) je hodnosˇ
t matice M ). Nech (a, b, c) je nenulov´
y vektor priestoru ~
E3; priamkou L ≡ (a b c) roviny
RP2 naz´
yvame mnoˇ
zinu vˇ
setk´
ych bodov X = (x, y, t) ∈ RP2, pre ktor´e plat´ı ax + by + ct = 0 t.j. XL
T = 0 alebo
LXT = 0. Priamku roviny RP2 o rovnici t = 0 naz´
yvame nevlastn´
a priamka a kaˇ
zd´
y jej bod nevlastn´
y bod.
V zmysle tejto defin´ıcie priamku mˆ
oˇ
zeme interpretovaˇ
t ako usporiadan´
u trojicu (a, b, c) (vektor ∈ ~
E3) re´
alnych
ˇ
c´ısel, priˇ
com dve priamky s´
u totoˇ
zn´
e, keˇ
d jedna trojica je nenulov´
ym n´
asobkom druhej trojice.
48
Parametrick´
e rovnice priamky
Tak ako afinn´
a priamka (t.j. priamka roviny E2) aj projekt´ıvna priamka sa d´
a charakterizovaˇ
t vˇ
seobecnou a
parametrick´
ymi rovnicami.
Nech P1 = (x1, y1, t1), P2 = (x2, y2, t2) s´
u rˆ
ozne body roviny RP2. Ako sa urˇc´ı vˇseobecn´
a rovnica projekt´ıvnej
priamky P1P2 v homog´ennych s´
uradniciach ? Keˇ
d ax + by + ct = 0 je hˇladan´
a rovnica, potom ˇ
c´ısla a, b, c musia
vyhovovaˇ
t rovniciam
ax1 + by1 + ct1
=
0
ax2 + by2 + ct2
=
0.
Rieˇ
senie tejto s´
ustavy rovn´ıc je
(a b c) =
y1
t1
y2
t2
−
x1
t1
x2
t2
x1
y1
x2
y2
.
Majme ˇ
dalˇ
s´ı bod X = (x, y, t). Vznik´
a ot´
azka, kedy existuje priamka, ktor´
a prech´
adza bodmi P1, P2, X, P1 6= P2
? Zrejme vtedy, ak existuj´
u ˇ
c´ısla a, b, c (nie s´
uˇ
casne rovn´
e nule) tak, ˇ
ze
ax + by + ct
=
0
ax2 + by2 + ct2
=
0
ax1 + by1 + ct1
=
0.
T´
ato s´
ustava homog´
ennych line´
arnych rovn´ıc m´
a netrivi´
alne rieˇ
senie pr´
ave vtedy, keˇ
d jej determinant je nula,
t.j. keˇ
d
x
y
t
x1
y1
t1
x2
y2
t2
= 0.
(30.1)
To nastane pr´
ave vtedy, keˇ
d prv´
y riadok je line´
arnou kombin´
aciou druh´
ych dvoch (druh´
e dva riadky s´
u nez´
avisl´
e,
pretoˇ
ze P1 6= P2), t.j. keˇ
d existuj´
u re´
alne ˇ
c´ısla k1, k2 ( nie s´
uˇ
casne rovn´
e nule) tak, ˇ
ze
x
=
k1.x1 + k2.x2
y
=
k1.y1 + k2.y2
t
=
k1.t1 + k2.t2.
S´
ustavu t´
ychto troch rovn´ıc naz´
yvame parametrick´
e rovnice projekt´ıvnej priamky P1P2; k1, k2 s´
u parametre.
T´
uto s´
ustavu parametrick´
ych rovn´ıc budeme zapisovaˇ
t aj pomocou mat´ıc (t.j. vektorov) X = k1P1 + k2P2 alebo
XT = k1P
T
1 + k2P
T
2 . Je zrejm´
e, ˇ
ze keˇ
d v (30.1) rozvinieme determinant dostaneme vˇ
seobecn´
u rovnicu priamky
P1P2.
Pr´
ıklad 30.2 Vypoˇ
c´ıtajte s´
uradnice nevlastn´
eho bodu projekt´ıvnej priamky P1P2, ak P1 = (1, −1, 3), P2 =
(2, 4, 7).
Rieˇ
senie. Vˇ
seobecn´
a rovnica priamky P1P2 je
x
y
t
1
−1
3
2
4
7
= 0
t.j. − 19x − y + 6t = 0
Nevlastn´
y bod tejto priamky na nej leˇ
z´ı a jeho tretia s´
uradnica je nula. To znamen´
a, ˇ
ze −19x − y + 6.0 = 0
odkiaˇl x = 1, y = −19, ˇ
ciˇ
ze (1, −19, 0) je nevlastn´
y bod priamky P1P2.
Veta 30.3 Nech P1, P2 s´
u rˆ
ozne body a nech
C = k1P1 + k2P2,
D = m1P1 + m2P2.
Potom C ≡ D pr´
ave vtedy, keˇ
d
k1
k2
m1
m2
= 0.
(30.2)
49
Dˆ
okaz. C ≡ D pr´
ave vtedy, keˇ
d vektory C, D ∈ ~
E3 s´
u line´
arne z´
avisl´
e. k1, k2, resp. m1, m2, s´
u s´
uradnice
vektorov C, D v b´
aze (P1, P2) preto C, D s´
u line´
arne z´
avisle pr´
ave vtedy, keˇ
d plat´ı 30.2.
Pr´
ıklad 30.4 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze v RP2 sa kaˇzd´e dve rˆ
ozne priamky pret´ınaj´
u pr´
ave v jednom bode.
Rieˇ
senie. Ak L(a, b, c), N (d, e, f ) s´
u rˆ
ozne priamky roviny RP2, tak
hod
a
b
c
d
e
f
= 2
preto s´
ustava
ax + by + ct
=
0
dx + ey + f t
=
0
m´
a netrivi´
alne rieˇ
senie
x : y : t =
b
c
e
f
: −
a
c
d
f
:
a
b
d
e
.
´
Uloha 30.5 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
y bod projekt´ıvnej priamky L(0, 0, 1) je nevlastn´
y. Nap´ıˇ
ste jej vˇ
seobecn´
u rovnicu.
Veta 30.6 Priamky
L1 ≡ (a1 b1 c1),
L2 ≡ (a2 b2 c2), . . . , Ls ≡ (as bs cs)
prech´
adzaj´
u jedn´
ym bodom (t.j. patria zv¨
azku priamok) pr´
ave vtedy, keˇ
d
hod
a1
b1
c1
a2
b2
c2
..
.
as
bs
cs
< 3.
Dˆ
okaz. Homog´
enna s´
ustava line´
arnych rovn´ıc
L1X
T = 0, L
2X
T = 0, . . . , L
sX
T = 0
m´
a netrivi´
alne rieˇ
senie (t.j. existuje bod, ktor´
y leˇ
z´ı na kaˇ
zdej z nich) pr´
ave vtedy, keˇ
d plat´ı tvrdenie tejto vety.
Dˆ
osledok 30.7 Keˇ
d navz´
ajom rˆ
ozne priamky
L1 ≡ (a1 b1 c1),
L2 ≡ (a2 b2 c2),
L3 ≡ (a3 b3 c3)
patria zv¨
azku priamok, tak existuj´
u nenulov´
e ˇ
c´ısla k1, k2 tak, ˇze L3 = k1L1 + k2L2.
Keˇ
d L je priamka (resp. bod) roviny E2, budeme hovoriˇt, ˇze L je afinn´
a priamka (resp. afinn´
y bod). Ak
z projekt´ıvnej priamky L0 vynech´
ame nevlastn´
y bod, dostaneme afinn´
u priamku L, ktor´
u budeme naz´
yvaˇ
t
afinn´
e z´
uˇ
zenie priamky L0 a obr´
atene L0 naz´
yvame projekt´ıvne rozˇ
s´ırenie afinnej priamky L. Vˇ
seobecne, ak
z ´
utvaru U ⊂ RP2 vynech´
ame vˇ
setky nevlastn´
e body, dostaneme ´
utvar, ktor´
y naz´
yvame afinn´
e z´
uˇ
zenie ´
utvaru
U .
Zmena s´
uradnicov´
eho syst´
emu
S´
uradnicov´
y syst´
em v RP2 je b´
aza priesoru ~
E3. Nech G, H s´
u dve b´
azy priesoru ~
E3 a A je vektor v ~
E3. Potom
z´
avislosˇ
t s´
uradn´ıc bodu A v b´
azach G, H je vyjadren´
a rovnosˇ
tou
A
H = GHAG.
(30.3)
Po transponovan´ı AH = AGGH t.j. A
0 = AM, kde A0, A je ten ist´y bod v rˆoznych s´uradnicov´ych syst´emoch a
M je matica typu 3x3, ktorej determinant je nenulov´
y.
Veta 30.8 Nech L je priamka, ktorej matica v b´
aze G je LG = (a b c) a nech G, H s´
u b´
azy priestoru ~
E3. Potom
LH = LGH
G je matica priamky L v b´aze H.
Dˆ
okaz. Maticov´
a rovnica priamky L v b´
aze G je LGX
G = 0, odkiaˇl LGHGXH = 0 je maticov´a rovnica priamky
L v b´
aze H.
50
Dvojpomer
Nech A, B, C, D s´
u po dvoch rˆ
ozne body priamky L. Potom existuj´
u skal´
ary k1, k2, m1, m2 (kaˇzd´
y rˆ
ozny od
nuly) tak, ˇ
ze
C = k1A + k2B,
D = m1A + m2B
(30.4)
ˇ
Cislo
k2
k1
:
m2
m1
naz´
yvame dvojpomer ˇ
stvorice A, B, C, D (v tomto porad´ı) a zapisujeme
(ABCD) =
k2
k1
:
m2
m1
(30.5)
Dvojpomer (ABCD) nie je nikdy rovn´
y jednej; v opaˇ
cnom pr´ıpade
k2
k1
=
m2
m1
t.j. − k2m1 + k1m2 = 0,
ˇ
ciˇ
ze
k1
k2
m1
m2
= 0
a tak podˇla 30.2, C = D.
Mimo dvojpomeru (ABCD) bodov A, B, C, D moˇ
zno uvaˇ
zovaˇ
t aj o dvojpomeroch (BACD), (ABCD), . . . atˇ
d.
Ako sa pritom men´ı dvojpomer ukazuj´
u rovnosti
(ABCD) =
1
(BACD)
=
1
(ABDC)
(30.6)
(ABCD) = 1 − (ACBD) = 1 − (DBCA).
(30.7)
Dok´
aˇ
zeme len (30.6): z (30.4) vypl´
yva C = k2B +k1A, D = m2B +m1A, odkiaˇl (BACD) = (k1/k2)/(m1/m2) =
1/(ABCD).
ˇ
Stvoricu koline´
arnych navz´
ajom rˆ
oznych bodov A, B, C, D naz´
yvame harmonick´
a ˇ
stvorica, ak (ABCD) = −1;
v tomto pr´ıpade hovor´ıme tieˇ
z, ˇ
ze body C, D harmonicky oddeˇluj´
u body A, B.
´
Uloha 30.9 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze ak (ABCD) = −1, tak aj
(ABDC) = (BACD) = (BADC) = (CDAB) = (DCAB) = (CDBA) = (DCBA) = −1.
Pr´
ıklad 30.10 Nech Pi = (xi, yi, ti), i = 1, 2, 3, 4 s´
u navz´
ajom rˆ
ozne koline´
arne body. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze
(P1P2P3P4) =
x1
x3
y1
y3
x1
x4
y1
y4
.
x2
x4
y2
y4
x2
x3
y2
y3
alebo
(P1P2P3P4) =
x1
x3
t1
t3
x1
x4
t4
t4
.
x2
x4
t2
t4
x2
x3
t2
t3
alebo
(P1P2P3P4) =
y1
y3
t1
t3
y1
y4
t1
t4
.
y2
y4
t2
t4
y2
y3
t2
t3
51
Rieˇ
senie. Nech P3 = k1P1 + k2P2, P4 = m1P1 + m2P2. Ak
x1
x2
y1
y2
6= 0
tak rozp´ısan´ım rovnost´ı P3 = k1P1 + k2P2, P4 = m1P1 + m2P2 do prv´
ych dvoch s´
uradn´ıc dostaneme
k1x1 + k2x2 = x3
k1y1 + k2y2 = y3
m1x1 + m2x2 = x4
m1y1 + m2y2 = y4
odkiaˇl
k2 : k1 =
x1
x3
y1
y3
:
x3
x2
y3
y2
m2 : m1 =
x1
x4
y1
y4
:
x4
x2
y4
y2
.
Podobne postupujeme vo zvyˇ
sn´
ych pr´ıpadoch.
Veta 30.11 Dvojpomer nez´
avis´ı na voˇ
lbe s´
uradnicov´
eho syst´
emu.
Dˆ
okaz. Nech Pi, P
0
i je ten ist´
y bod vyjadren´
y v dvoch s´
uradnicov´
ych s´
ustav´
ach (pre vˇ
setky i = 1, 2, 3, 4), potom
P 0
i = PiM, kde M je matica prechodu. Ak P3 = k1P1 + k2P2, a P4 = m1P1 + m2P2, tak
P 0
3 = P3M = (k1P1 + k2P2)M = k1P1M + k2P2M = k1P
0
1 + k2P
0
2
P 0
4 = P4M = (m1P1 + m2P2)M = m1P1M + m2P2M = m1P
0
1 + m2P
0
2,
odkiaˇl (P1P2P3P4) = (P
0
1P
0
2P
0
3P
0
4).
Deliaci pomer sme definovali v afinnej rovine pre kaˇ
zd´
e tri koline´
arne navz´
ajom rˆ
ozne body; t´
uto defin´ıciu
rozˇ
s´ırime a to nasledovne: Nech A 6= B s´
u afinn´
e body, potom (ABC) = 1 ⇔ C je nevlastn´
y bod priamky AB.
Veta 30.12 Nech A, B s´
u rˆ
ozne afinn´
e body. Potom (ABCD) =
(ABC)
(ABD) .
Dˆ
okaz. Dvojpomer nez´
avis´ı na voˇlbe s´
uradnicovej s´
ustavy, predpokladajme preto, ˇ
ze A = (0, 0, 1), B = (0, 1, 1),
C = k1A + k2B, D = m1A + m2B. Keˇ
d aj C,D s´
u vlastn´
e body, potom ich afinn´
e s´
uradnice s´
u
A[0, 0], B[0, 1], C[0,
k2
k1 + k2
], D[0,
m2
m1 + m2
],
takˇ
ze (ABC) = −
k2
k1
a (ABD) = −
m2
m1
. Keˇ
d bod D je nevlastn´
y, m1 + m2 = 0 t.j. −m2/m1 = 1 a teda
(ABD) = 1 = −m2/m1, analogicky postupujeme, keˇ
d C je nevlastn´
y bod.
Pr´
ıklad 30.13 Nech S je stred dvojice afinn´
ych bodov A, B a nech D je nevlastn´
y bod priamky AB. Dok´
aˇ
zte,
ˇ
ze (ABSD) = −1.
Rieˇ
senie. Keˇ
dˇ
ze (ABS) = −1, (ABD) = 1, tak podˇla Lemy 30.12 (ABSD) = −1.
´
Uloha 30.14 Nech d 6= 1 je kladn´
e re´
alne ˇ
c´ıslo a nech C 6= D s´
u tak´
e body afinnej priamky AB (A 6= B), ˇ
ze
|AC| = d|BC|, |AD| = d|BD|. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze (ABCD) = −1.
´
Uloha 30.15 Nech d 6= 0, 1 je re´
alne ˇ
c´ıslo a nech A, B, C s´
u po dvoch rˆ
ozne koline´
arne body. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze
existuje pr´
ave jeden bod D tak, ˇ
ze (ABCD) = d.
Projekt´ıvne transform´
acie
Zmenu s´
uradnicov´
eho syst´
emu s maticou prechodu B, mˆ
oˇ
zme interpretovaˇ
t ako zobrazenie α : ~
E3→ ~
E3, ktor´e
vektoru P prirad´ı vektor P 0 = P B a keˇ
dˇ
ze vektoru kP prirad´ı vektor kPB=kP’, tak α je tieˇ
z zobrazenie
RP2→RP2.
52
Defin´
ıcia 30.16 Nech
M =
a
b
e
c
d
f
g
h
i
(30.8)
je matica s determinantom rˆ
oznym od nuly. Zobrazenie α : RP2→RP2, P 7→ P
0 = P M naz´yvame koline´acia
alebo projekt´ıvna transform´
acia.
Nech E, F s´
u dve b´
azy a nech koline´
acia α : RP2→RP2 je dan´
a maticou M a predpisom X 7→ Y, YE = XEM,
kde XE, YE s´
u body X, Y vyjadren´
e v b´
aze E. N´
ajdeme z´
avislosˇ
t medzi bodom X a jeho obrazom Y v novej
b´
aze F. Nech prechod od b´
azy E ku F je dan´
y maticou B, t.j. vzorcom XF = XEB. Potom XF B
−1 = X
E a
YF = YEB = XEM B = XF B
−1MB
→
YF = XF B
−1MB,
ˇ
ciˇ
ze koline´
acia α : RP2→RP2 je v novej b´
aze op¨
aˇ
t n´
asobenie konˇ
stantnou ˇ
stvorcovou maticou zprava.
Veta 30.17 Kaˇ
zd´
a koline´
acia je bijekcia.
Dˆ
okaz. Nech α je koline´
acia dan´
a maticou (30.8) a nech P, Q s´
u rˆ
ozne body. Keˇ
d αP = αQ, tak P M = kQM
pre nejak´
e k 6= 0, odkiaˇl (P − kQ)M = (0 0 0), P − kQ = (0 0 0)M −1 = (0 0 0), ˇ
co implikuje P = kQ a to je spor
s predpokladom; to znamen´
a, ˇ
ze α je injekcia. Pre kaˇ
zd´
y bod P 0 je bod P 0M −1 jeho vzor (lebo P 0M −1M = P 0)
a teda α je aj surjekcia.
Je zrejm´
e, ˇ
ze vˇ
setky koline´
acie na RP2 tvoria grupu, naz´
yvame ju grupa koline´
aci´ı alebo projekt´ıvna grupa roviny
RP2.
Z Defin´ıcie 30.16 a Vety 30.11 vypl´
yva
Veta 30.18 Dvojpomer je invariantom kaˇ
zdej koline´
acie.
Nech koline´
acia je dan´
a maticou M, a nech bod X leˇ
z´ı na priamke L. Ak X0 = XM t.j. X0 je obraz bodu X v
koline´
acii s maticou M, tak
X ∈ L ⇔ 0 = LX
T = L(MT )−1MT XT = L(MT )−1(XM)T = L(MT )−1(X0)T ,
ˇ
ciˇ
ze X0 leˇ
z´ı na priamke L(M T )−1, preto priamku L(M T )−1 naz´
yvame obraz priamky L v koline´
acii danej maticou
M.
Dˆ
osledok 30.19 Bod X leˇ
z´ı na priamke L pr´
ave vtedy, keˇ
d jeho obraz v ˇ
lubovoˇ
lnej koline´
acii leˇ
z´ı na obraze
priamky L v tejto koline´
acii (t.j. incidencia bodu a priamky je invariantom kaˇ
zdej koline´
acie).
Veta 30.20 Nevlastn´
a priamka je invariantom koline´
acie pr´
ave vtedy, keˇ
d matica koline´
acie je tvaru
M =
a
b
0
c
d
0
e
f
g
s nenulov´
ym determinantom.
Dˆ
okaz. Nech koline´
acia je dan´
a maticou M. Z vlastnost´ı transponovanej matice a inverznej matice vypl´
yva, ˇ
ze v
matici (M T )−1 s´
u prvky v 3. riadku a prv´
ych dvoch st´lpcoch nuly, preto obraz (0 0 1)(M T )−1 = (0 0 k), k 6= 0,
nevlastnej priamky je nevlastn´
a priamka. Zrejme plat´ı i obr´
atene.
Kaˇ
zd´
u koline´
aciu, ktorej invariantom je nevlastn´
a priamka naz´
yvame afinita. Z predoˇ
slej vety vypl´
yva, ˇ
ze kaˇ
zd´
a
afinita zobraz´ı kaˇ
zd´
y nevlastn´
y bod na nevlastn´
y a kaˇ
zd´
y vlastn´
y bod na vlastn´
y bod.
Afinita α : E2→E2 zobraz´ı nevlastn´
y zv¨
azok afinn´
ych priamok na nevlastn´
y zv¨
azok afinn´
ych priamok (pozri
vety 16.2, 16.7) preto mˆ
oˇ
zeme definovaˇ
t α(P∞) = Q∞ vtedy, keˇ
d obraz afinnej priamky s nevlastn´
ym bodom
P∞ v afinite α je afinn´
a priamka s nevlastn´
ym bodom Q∞. Zobrazenie α : RP2→RP2 naz´
yvame projekt´ıvne
rozˇ
s´ırenie afinity α : E2→E2 a ob´
atene α : E2→E2 naz´
yvame afinn´
e z´
uˇ
zenie koline´
acie α : RP2→RP2, ktor´
a
zobraz´ı nevlastn´
u priamku na nevlastn´
u priamku.
53
Pr´
ıklad 30.21 Nech afinita α : E2→E2 je dan´
a maticou
α
E =
a
b
e
c
d
f
.
Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze jej projekt´ıvne rozˇ
s´ırenie α : RP2→RP2 je dan´e maticou
a
b
e
c
d
f
0
0
1
(30.9)
t.j. pre X = (x, y, t), X0 = (x0, y0, t0) je αX = X0 pr´
ave vtedy, keˇ
d pre nejak´
e k 6= 0
k.x0
=
ax + by + et
k.y0
=
cx + dy + f t
k.t0
=
t
(30.10)
Dˆ
okaz. Nech X je vlastn´
y bod. Potom t 6= 0, takˇ
ze afinn´
e s´
uradnice bodov X, αX = X0 s´
u
x
t
,
y
t
resp.
a
x
t
+ b
y
t
+ e, c
x
t
+ d
y
t
+ f
,
odkiaˇl dost´
avame homog´
enne s´
uradnice bodu X0 : (ax + by + et, cx + dy + f t, t) ≡ (x0, y0, t0). To je vˇ
sak v zhode
s (30.10).
Nech OE = (0, 0), AE = (x, y) s´
u vlastn´
e body.
Je zrejm´
e, ˇ
ze nevlastn´
y bod priamky OA je
XH = (x, y, 0). Preto αX je nevlastn´
y bod obrazu priamky OA v afinite α, t.j. X0 je nevlastn´
y bod priamky
αOαA. Keˇ
d O0 = αO, A0 = αA, potom zrejme
O
0
E = (e, f ),
A
0
E = (ax + by + e, cx + dy + f ),
takˇ
ze
−→
O0A0E = (ax + by, cx + dy) t.j. X
0
H = (ax + by, cx + dy, 0) je nevlastn´
y bod priamky O0A0. Op¨
aˇ
t je to
v zhode s (30.10), kde je uplatnen´
e t = 0.
Dˆ
osledok 30.22 Projekt´ıvne rozˇ
s´ırenie kaˇ
zdej afinity je koline´
acia.
Obr´
atene,
Veta 30.23 Afinn´
e z´
uˇ
zenie projekt´ıvnej transform´
acie, ktorej nevlastn´
a priamka je samodruˇ
zn´
a je afinita na
E2.
Dˆ
okaz. Nech α je koline´
acia, ktor´
a zobraz´ı kaˇ
zd´
y nevlastn´
y bod na nevlastn´
y. Nech A, B, C s´
u koline´
arne afinn´
e
body, po dvoch rˆ
ozne a nech D je nevlastn´
y bod priamky AB. Potom pre obrazy A0, B0, C0, D0 bodov A, B, C, D
v α plat´ı (ABCD) = (A0B0C0D0) a keˇ
dˇ
ze (ABD) = (A0B0D0) = 1 z Vety 30.12 dost´
avame (ABC) = (A0B0C0).
Deliaci pomer je invariant afinn´
eho z´
uˇ
zenia koline´
acie α, preto je to afinita.
Urˇ
cenosˇ
t koline´
acie
Lema 30.24 Ak Pi = (xi, yi, ti), P
0
i = (x
0
i, y
0
i , t
0
i) i = 1, 2, 3 s´
u dve trojice nekoline´
arnych bodov, tak koline´
acia,
ktorej matica je
F =
x1
y1
t1
x2
y2
t2
x3
y3
t3
−1
k1
0
0
0
k2
0
0
0
k3
x
0
1
y
0
1
t
0
1
x
0
2
y
0
2
t
0
2
x
0
3
y
0
3
t
0
3
,
kde k1, k2, k3 s´
u ˇ
lubovoˇ
ln´
e nenulov´
e skal´
ary, zobraz´ı bod Pi na P
0
i pre vˇ
setky i = 1, 2, 3.
Dˆ
okaz. Obrazy P
0
i = (x
0
i, y
0
i , t
0
i) bodov Pi = (xi, yi, ti) v koline´
acii danej maticou F s´
u riadky matice
x1
y1
t1
x2
y2
t2
x3
y3
t3
.F =
x1
y1
t1
x2
y2
t2
x3
y3
t3
x1
y1
t1
x2
y2
t2
x3
y3
t3
−1
k1
0
0
0
k2
0
0
0
k3
x
0
1
y
0
1
t
0
1
x
0
2
y
0
2
t
0
2
x
0
3
y
0
3
t
0
3
=
54
k1x
0
1
k1y
0
1
k1t
0
1
k2x
0
2
k2y
0
2
k2t
0
2
k3x
0
3
k3y
0
3
k3t
0
3
.
Z tejto lemy vypl´
yva, ˇ
ze existuje ∞ mnoho koline´
aci´ı, ktor´
e zobrazia vˇ
setky vrcholy jedn´
eho dan´
eho trojuholn´ıka
na vrcholy druh´
eho dan´
eho trojuholn´ıka.
ˇ
Stvoricu bodov, v ktorej s´
u kaˇ
zd´
e tri body nekoline´
arne naz´
yvame ˇ
stvorroh.
Veta 30.25 Ak Pi = (xi, yi, ti), P
0
i = (x
0
i, y
0
i , t
0
i), i = 1, 2, 3, 4 s´
u dva ˇ
stvorrohy, tak existuje jedin´
a koline´
acia,
ktor´
a zobraz´ı bod Pi na P
0
i pre vˇ
setky i = 1, 2, 3, 4.
Dˆ
okaz. Nech koline´
acia, ktor´
a zobraz´ı bod Pi na P
0
i pre vˇ
setky i = 1, 2, 3 m´
a maticu F (z predoˇ
slej lemy). Keˇ
dˇ
ze
bod P4 sa zobraz´ı do P
0
4, tak pre nejak´
e k4 6= 0
k4
x
0
4
y
0
4
t
0
4
=
x4
y4
t4
x1
y1
t1
x2
y2
t2
x3
y3
t3
−1
k1
0
0
0
k2
0
0
0
k3
x
0
1
y
0
1
t
0
1
x
0
2
y
0
2
t
0
2
x
0
3
y
0
3
t
0
3
odkiaˇl
k4
x
0
4
y
0
4
t
0
4
x
0
1
y
0
1
t
0
1
x
0
2
y
0
2
t
0
2
x
0
3
y
0
3
t
0
3
−1
=
x4
y4
t4
x1
y1
t1
x2
y2
t2
x3
y3
t3
−1
k1
0
0
0
k2
0
0
0
k3
t.j.
(k4/D
0
4)
x
0
4
y
0
4
t
0
4
y
0
2
t
0
2
y
0
3
t
0
3
−
y
0
1
t
0
1
y
0
3
t
0
3
y
0
1
t
0
1
y
0
2
t
0
2
−
x
0
2
t
0
2
x
0
3
t
0
3
x
0
2
t
0
2
x
0
3
t
0
3
−
x
0
1
t
0
1
x
0
2
t
0
2
x
0
2
y
0
2
x
0
3
y
0
3
−
x
0
1
y
0
1
x
0
3
y
0
3
x
0
1
y
0
1
x
0
2
y
0
2
=
x4
y4
t4
x1
y1
t1
x2
y2
t2
x3
y3
t3
−1
k1
0
0
0
k2
0
0
0
k3
kde D0
4, resp. D4 je determinant matice, ktorej riadky s´
u body P 0
1, P
0
2, P
0
3, resp. P1, P2, P3. Ke
ˇ
d oznaˇ
c´ıme
a
0
1 = x
0
4
y
0
2
t
0
2
y
0
3
t
0
3
− y0
4
x
0
2
t
0
2
x
0
3
t
0
3
+ t
0
4
x
0
2
y
0
2
x
0
3
y
0
3
=
x
0
4
y
0
4
t
0
4
x
0
2
y
0
2
t
0
2
x
0
3
y
0
3
t
0
3
a
0
2 =
· · ·
=
x
0
4
y
0
4
t
0
4
x
0
1
y
0
1
t
0
1
x
0
3
y
0
3
t
0
3
..
.
a3 =
· · ·
=
x4
y4
t4
x1
y1
t1
x2
y2
t2
55
dostaneme
k4(D4/D
0
4)
a
0
1
a
0
2
a
0
3
=
a1
a2
a3
k1
0
0
0
k2
0
0
0
k3
kde a0
1, a
0
2, a
0
3, a1, a2, a3 s´
u rˆ
ozne od nuly; tejto rovnici vyhovuj´
u nenulov´
e skal´
ary k1, k2, k3, k4 :
k1 =
a0
1
a1
k2 =
a0
2
a2
k3 =
a0
3
a3
k4 = D
0
4/D4.
T´
ato veta hovor´ı, ˇ
ze kaˇ
zd´
a koline´
acia je jednoznaˇ
cne urˇ
cen´
a dvomi ˇ
stvorrohmi (priradenie je: prv´
y bod sa zobraz´ı
do prv´
eho, ...) a z´
aroveˇ
n (jej dˆ
okaz) ukazuje ako sa n´
ajde matica koline´
acie danej s´
uradnicami vrcholov dvoch
ˇ
stvorrohov.
Afinn´
a grupa roviny E2 je izomorfn´
a s podgrupou projekt´ıvnej grupy, tvorenej vˇ
setk´
ymi koline´
aciami o matici
tvaru (30.9) alebo jej nenulov´
ych n´
asobkov.
Veta 30.26 (Pappova)
Nech L1, L2, L3, L4 s´
u navz´
ajom rˆ
ozne priamky prech´
adzaj´
uce bodom S. Nech Pi ∈ Li,
i = 1, 2, 3, 4 (viˇ
d obr´
azok) s´
u navz´
ajom rˆ
ozne body priamky L. Keˇ
d
L3 = k1L1 + k2L2,
L4 = m1L1 + m2L2
potom (P1P2P3P4) = (k2/k1)/(m2/m1).
Dˆ
okaz. Nech
P3 = r1P1 + r2P2,
P4 = q1P1 + q2P2.
Keˇ
dˇ
ze Pi ∈ Li ⇒ PiL
T
i
= 0 pre vˇ
setky i = 1, . . . , 4, tak
0
=
P3L
T
3 = (r1P1 + r2P2)(k1L1 + k2L2)
T = (r
1P1 + r2P2)(k1L
T
1 + k2L
T
2 ) =
=
r1k1P1L
T
1 + r1k2P1L
T
2 + r2k1P2L
T
1 + r2k2P2L
T
2 = r1k2P1L
T
2 + r2k1P2L
T
1
odkiaˇl r1k2/r2k1 = −P2L
T
1 /P1L
T
2 . Analogicky odvod´
ıme q1m2/q2m1 = −P2L
T
1 /P1L
T
2 . Porovnan´
ım ostatn´
ych
dvoch rovnost´ı dost´
avame (k2/k1)/(m2/m1) = (r2/r1)/(q2/q1). ˇ
C´ıslo (k2/k1)/(m2/m1) naz´
yvame dvojpomer
ˇ
stvorice navz´
ajom rˆ
oznych priamok patriacich nejak´
emu zv¨
azku a oznaˇ
cujeme (L1L2L3L4).
T´
uto vetu moˇ
zno struˇ
cnejˇ
sie (ale aj voˇlnejˇ
sie) formulovaˇ
t aj takto:
Dˆ
osledok 30.27 Stredov´
ym premietan´ım sa dvojpomer nemen´ı.
Defin´
ıcia 30.28 Neidentick´
u koline´
aciu, ku ktorej existuje priamka, ktorej kaˇ
zd´
y bod je samodruˇ
zn´
y, naz´
yvame
perspekt´ıvna koline´
acia (t´
uto priamku naz´
yvame os perspekt´ıvnej koline´
acie).
Dˆ
okaz Dˆ
osledku 30.27 moˇ
zno urobiˇ
t aj tak, ˇ
ze definujeme perspekt´ıvnu koline´
aciu, ktorej stred je stred premie-
tania a os prech´
adza prieseˇ
cn´ıkom priamky a jej stredov´
eho priemetu.
56
Cviˇ
cenie
30.1 Nech ˇ
ziadne tri z bodov P , Q, R, S neleˇ
zia na jednej priamke a nech A = RQ ∩ P S, B = RP ∩ QS,
C = P Q ∩ AB, D = AB ∩ RS. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze A, B, C, D je harmonick´
a ˇ
stvorica bodov.
30.2 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze keˇ
d tri navz´
ajom rˆ
ozne body priamky L s´
u samodruˇ
zn´
e body koline´
acie α, potom kaˇ
zd´
y bod
priamky L je samodruˇ
zn´
y.
30.3 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
a priamka a jej obraz v perspekt´ıvnej koline´
acii s´
u totoˇ
zn´
e alebo sa pret´ınaj´
u na osi tejto
koline´
acie.
30.4 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
a kolinitn´
a priamka (prech´
adza bodom a jeho obrazom, ak s´
u rˆ
ozne) perspekt´ıvnej ko-
line´
acie je samodruˇ
zn´
a.
30.5 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze prieseˇ
cn´ık dvoch rˆ
oznych kolinitn´
ych priamok perspekt´ıvnej koline´
acie je samodruˇ
zn´
y bod.
30.6 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze vˇ
setky kolinitn´
e priamky perspekt´ıvnej koline´
acie patria zv¨
azku priamok (jeho stred naz´
yvame
stred perspekt´ıvnej koline´
acie).
30.7 Dan´
e s´
u navz´
ajom rˆ
ozne koline´
arne body A, A0, S a priamka N neprech´
adzaj´
uca ˇ
ziadnym z bodov A, A0.
Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze existuje jedin´
a perspekt´ıvna koline´
acia α so stredom S a osou N, ktor´
a zobraz´ı A 7→ A0 (tak´
u
koline´
aciu budeme oznaˇ
covaˇ
t α(N, S, A 7→ A0).
30.8 Nech S je nevlastn´
y bod, N nevlastn´
a priamka a α koline´
acia ako v cviˇ
cen´ı 7. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze afinn´
e z´
uˇ
zenie
koline´
acie α je posunutie na E2.
30.9 Nech S je vlastn´
y bod, N nevlastn´
a priamka a α koline´
acia ako v cviˇ
cen´ı 7. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze afinn´
e z´
uˇ
zenie
koline´
acie α je rovnoˇlahlosˇ
t na E2.
30.10 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze afinn´
e z´
uˇ
zenie perspekt´ıvnej koline´
acie s nevlastn´
ym stredom a vlastnou osou je perspekt´ıvna
afinita.
30.11 Nech S je nevlastn´
y bod, N vlastn´
a priamka. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze afinn´
e z´
uˇ
zenie perspekt´ıvnej koline´
acie α s osou
N a stredom S je homol´
ogia, ak S /
∈ N a el´
acia, ak S ∈ N .
30.12 Nech A, B, C, S resp. A0, B0, C0, S s´
u tak´
e dva rˆ
ozne ˇ
stvorrohy, ˇ
ze A, A0, S, resp. B, B0, S, resp. C, C0, S,
s´
u tri trojice koline´
arnych bodov a nech α je koline´
acia, ktor´
a zobraz´ı A 7→ A0, B 7→ B0, C 7→ C0, S 7→ S.
Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze
a) keˇ
d D = AB ∩ SC, D0 = A0B0 ∩ SC, potom α(D) = D0
b) keˇ
d E = AB ∩ A0B0, potom α(E) = E
c) keˇ
d F = BC ∩ B0C0 a G = AC ∩ A0C0, potom α(F ) = F, α(G) = G, body E, F, G s´
u koline´
arne a
kaˇ
zd´
y bod priamky EF je samodruˇ
zn´
y
d) plat´ı Desarguesova veta
e) α je perspekt´ıvna koline´
acia.
30.13 Nech A, B, C, D s´
u ˇ
styri koline´
arne navz´
ajom rˆ
ozne body a nech A0, B0, C0 s´
u tri koline´
arne navz´
ajom
rˆ
ozne body. Zostrojte (prav´ıtkom a kruˇ
zidlom) bod D tak, ˇ
ze (ABCD) = (A0B0C0D0).
30.14 Nech ABCD, ABCD’ s´
u dva ˇ
stvorrohy a nech E = CD0 ∩ BD. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze s´
uˇ
cin perspekt´ıvnych koline´
aci´ı
ψ(AB, C, E 7→ D0), α(AC, B, D 7→ E), zobraz´ı ˇ
stvorroh ABCD na ABCD0.
30.15 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
a koline´
acia RP2→RP2 je s´
uˇ
cinom nie viac ako piatich perspekt´ıvnych koline´
aci´ı.
30.16 Ak ku priestoru E3 prid´
ame nevlastn´
e body vˇ
setk´
ych priamok priestoru E3, dostaneme projekt´ıvny priestor
RP3 (technika prevedenia je analogick´
a ako pri vytvoren´ı RP2). Nech N, M s´
u rˆ
ozne projekt´ıvne roviny
priestoru RP3, P, S body neleˇziace v ˇziadnej z nich. Nech π : M →N , ρ : N →M s´
u stredov´
e premietania
so stredmi P , resp. S. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze πρ : N →N je perspekt´ıvna koline´
acia.
57
K U ˇ
Z E ˇ
L O S E ˇ
C K Y
31
Defin´ıcia kuˇ
zeˇloseˇ
cky
Rovinn´
ym rezom rotaˇ
cnej kuˇ
zeˇlovej plochy je kuˇ
zeˇloseˇ
cka; ak rovina rezu prech´
adza vrcholom kuˇ
zeˇlovej plo-
chy, rezom je jedna priamka alebo zjednotenie dvoch rˆ
oznobeˇ
zn´
ych priamok. Rovnica kuˇ
zeˇloseˇ
cky, ktor´
a je
zjednoten´ım priamok x+4y-3t=0, 5x-4y+7t=0 je
(x + 4y − 3t)(5x − 4y + 7t) = 0, t.j. 5x
2 + 16xy − 16y2 − 8xt + 40yt − 21t2 = 0
a to je ˇ
speci´
alny pr´ıpad rovnice
a11x
2 + 2a
12xy + a22y
2 + 2a
13xt + 2a23yt + a33t
2 = 0.
(31.1)
Ak poloˇ
z´ıme aik = aki, pre vˇsetky i, k = 1, 2, 3, t´
uto rovnicu mˆ
oˇ
zeme prep´ısaˇ
t do tvaru
x(a11x + a12y + a13t) + y(a21x + a22y + a23t) + t(a31x + a32y + a33t) = 0
(31.2)
ˇ
co pomocou mat´ıc je
XKX
T = 0,
(31.3)
kde X je matica (x y t) a
K =
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
(31.4)
Rovnicu (31.1) p´ıˇ
seme skr´
atene v tvare
f (x, y, t) = 0.
Defin´
ıcia 31.1 Nenulov´
u symetrick´
u maticu (31.4) (nad poˇ
lom R), naz´
yvame kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka. Dve kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky
povaˇ
zujeme za totoˇ
zn´
e, keˇ
d jedna je nenulov´
y n´
asobok druhej. Hovor´ıme, ˇ
ze bod P = (p1, p2, p3) ∈ RP2 je bodom
kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky K, keˇ
d P KP T = 0; ak P je vlastn´
y bod kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky K, tak je jej afinn´
y bod. Determinant matice
K naz´
yvame determinant kuˇ
zeˇloseˇ
cky K. Kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka je regul´
arna, keˇ
d m´
a aspoˇ
n jeden bod a jej determinant je
rˆ
ozny od nuly. Rovnicu (31.3) naz´
yvame maticov´
a rovnica kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky K.
Existuj´
u kuˇ
zeˇloseˇ
cky, ktor´
e nemaj´
u ani jeden bod, maj´
u pr´
ave jeden bod alebo s´
u zjednoten´ım dvoch priamok
(aj totoˇ
zn´
ych), ostatn´
e kuˇ
zeˇloseˇ
cky s´
u regul´
arne.
Obrazom kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky K v koline´
acii danej maticou M naz´
yvame kuˇ
zeˇloseˇ
cku M −1K(M −1)T .
Veta 31.2 Bod X leˇ
z´ı na kuˇ
zeˇ
loseˇ
cke K pr´
ave vtedy, keˇ
d jeho obraz v ˇ
lubovoˇ
lnej koline´
acii leˇ
z´ı na obraze
kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky K v tejto koline´
acii (t.j. incidencia bodu a kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky je invariantom kaˇ
zdej koline´
acie).
Dˆ
okaz. Nech koline´
acia je dan´
a maticou M a nech bod X leˇ
z´ı na kuˇ
zeˇloseˇ
cke K, potom
X ∈ K ⇔ 0 = XKX
T = XMM−1K(XMM−1)T = X0M−1K(M−1)T X0T ⇔ X0 ∈ K0.
32
Prienik priamky s kuˇ
zeˇloseˇ
ckou
Ak Pi = (xi, yi, ti) a Pj = (xj, yj, tj) s´
u body a K kuˇ
zeˇloseˇ
cka, tak definujeme
PiKP
T
j
= f
(ij).
Keˇ
dˇ
ze f (ij) je skal´
ar, f (ij) T = f (ij), takˇ
ze (PiKP
T
j ) = (PiK P
T
j )
T = PjKT P T
i
= PjKP
T
i , odkia
ˇl
f
(ij) = f(ji).
58
Veta 32.1 Keˇ
d X = k1P1 + k2P2, potom
f (X) = XKX
T = k2
1 f
(11) + 2k
1k2f
(12) + k2
2 f
(22).
(32.1)
Dˆ
okaz.
XKXT
=
(k1P1 + k2P2)K(k1P1 + k2P2)
T = (k1P1 + k2P2)K(k1P T
1 + k2P
T
2 ) =
=
(k1P1 + k2P2)(k1KP
T
1 + k2K P
T
2 ) =
=
k1k1P1KP
T
1 + k2k1P2K P
T
1 + k1k2P1K P
T
2 + k2k2P2K P
T
2
=
=
k2
1 f
(11) + 2k1k2f(12) + k2
2 f
(22).
Hˇladajme prieseˇ
cn´ıky projekt´ıvnej priamky L (urˇ
cenej bodmi P1(x1, y1, t1) 6= P2(x2, y2, t2)) s kuˇzeˇloseˇckou
(31.1), t.j. s kuˇ
zeˇloseˇ
ckou K, ktorej maticov´
a rovnica je XKXT = 0.
Podˇla (32.1)
k
2
1 f
(11) + 2k
1k2f
(12) + k2
2 f
(22) = 0.
(32.2)
Ak nenulov´
e rieˇ
senie k1, k2 tejto rovnice dosad´ıme do rovn´ıc priamky P1P2, dostaneme hˇladan´e prieseˇcn´ıky.
Poˇ
cet t´
ychto prieseˇ
cn´ıkov z´
avis´ı od diskriminantu D = 4((f (12))2 − f (11)f (22)) kvadratickej rovnice (32.2):
ak D < 0,
priamka L nepret´ına kuˇ
zeˇloseˇ
cku K v ˇ
ziadnom bode,
ak D = 0,
priamka L pret´ına kuˇ
zeˇloseˇ
cku v jednom bode alebo
(v pr´ıpade, keˇ
d f (11) = f (12) = f (22) = 0) je jej podmnoˇ
zinou,
ak D > 0,
priamka L pret´ına kuˇ
zeˇloseˇ
cku K vo dvoch rˆ
oznych bodoch.
(32.3)
To znamen´
a, ˇ
ze ak priamka nie je podmnoˇ
zinou kuˇ
zeˇloseˇ
cky, tak ju pret´ına najviac vo dvoch bodoch.
Typ kuˇ
zeˇloseˇ
cky
Nevlastn´
e body kuˇ
zeˇloseˇ
cky (31.1) s´
u body prieniku nevlastnej priamky (0 0 1) s kuˇ
zeˇloseˇ
ckou. Tretia s´
uradnica
kaˇ
zd´
eho nevlastn´
eho bodu je 0, t.j. t = 0, preto z rovnice (31.1) m´
ame
a11x
2 + 2a
12xy + a22y
2 = 0
(32.4)
Mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych bodov (x, y, 0), ktor´
e vyhovuj´
u tejto rovnici, je mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych nevlastn´
ych bodov
kuˇ
zeˇloseˇ
cky (31.1).
Ak a11 = a12 = a22 = 0 tak, nevlastn´
a priamka je podmnoˇ
zinou kuˇ
zeˇloseˇ
cky K. Ak
a11, a12, a22 nie s´
u s´
uˇ
casne rovn´
e nule, tak rovnici (32.4) nevyhovuje kaˇ
zd´
y bod nevlastnej priamky. Rieˇ
sme
rovnicu (32.4). Vydelen´ım tejto rovnice s y2 dostaneme kvadratick´
u rovnicu
a11(
x
y
)
2 + 2a
12
x
y
+ a22 = 0,
ktorej korene s´
u
x
y
=
−a12 ±
pa2
12 − a11.a22
a11
To znamen´
a, ˇ
ze keˇ
d a11 6= 0 nevlastn´e body s´
u
P
∞
1
= (−a12 +
p−A
33, a11, 0),
P
∞
2
= (−a12 −
p−A
33, a11, 0),
a keˇ
d a22 6= 0
P
∞
1
= (a22, −a12 +
p−A
33, 0),
P
∞
2
= (a22, −a12 −
p−A
33, 0),
kde
A33 = a11.a22 − a
2
12
naz´
yvame diskriminant kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky (31.1) (je to minor matice (31.4)). Poˇ
cet nevlastn´
ych bodov z´
avis´ı od exis-
tencie
√
−A33, preto kuˇzeˇloseˇcka (31.1) m´a
59
(i) dva rˆ
ozne nevlastn´
e body, ak A33 < 0
(ii) jeden nevlastn´
y bod alebo priamku nevlastn´
ych bodov, ak A33 = 0
(iii) nem´
a ani jeden nevlastn´
y bod, ak A33 > 0.
Kuˇ
zeˇloseˇ
cku s dvomi nevlastn´
ymi bodmi naz´
yvame kuˇ
zeˇloseˇ
cka typu hyperbola, s jedn´
ym nevlastn´
ym bodom
alebo s priamkou nevlastn´
ych bodov typu parabola a kuˇ
zeˇloseˇ
cku, ktor´
a nem´
a ani jeden nevlastn´
y bod naz´
yvame
kuˇ
zeˇloseˇ
cka typu elipsa. Ak z projekt´ıvnej kuˇ
zeˇloseˇ
cky (31.1) vynech´
ame vˇ
setky nevlastn´
e body, dostaneme jej
afinn´
e z´
uˇ
zenie
a11x
2 + 2a
12xy + a22y
2 + 2a
13x + 2a23y + a33 = 0,
(32.5)
ktor´
e naz´
yvame afinn´
a kuˇ
zeˇloseˇ
cka.
O afinnom z´
uˇ
zen´ı projekt´ıvnej kuˇ
zeˇloseˇ
cky typu hyperbola (resp. parabola, elipsa) hovor´ıme, ˇ
ze tieˇ
z je typu
hyperbola (resp. parabola, elipsa). Ak P ∞ je nevlastn´
y bod kuˇ
zeˇloseˇ
cky (31.1), hovor´ıme, ˇ
ze P ∞ je nevlastn´
y
bod afinnej kuˇ
zeˇloseˇ
cky (32.5)
Pr´
ıklad 32.2 Urˇ
cte typ a nevlastn´
e body afinnej kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky
K : 4x
2 + 20xy + 25y2 − 4x − 10y + 1 = 0.
Rieˇ
senie. A33 = 4.25 − 100 = 0. Kuˇzeˇloseˇcka K m´
a teda pr´
ave 1 nevlastn´
y bod P ∞(−10, 4, 0) ≡ (−5, 2, 0); K
je typu parabola.
Regul´
arnu kuˇ
zeˇloseˇ
cku typu elipsa, parabola, hyperbola naz´
yvame v porad´ı elipsa, parabola, hyperbola. Zrejme,
typ kuˇ
zeˇloseˇ
cky je invariantom, kaˇ
zdej afinity.
Cviˇ
cenie
32.1 V E2 je dan´
a priamka L : x = −
p
2 , bod F = (
p
2 , 0), p 6= 0 a kuˇ
zeˇloseˇ
cka
K =
0
0
−p
0
1
0
−p
0
0
Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze K je parabola o rovnici y2 = 2pxt a
{X ∈ E2; |F X| = L a X} = {X(x, y) ∈ E2; y
2 = 2px}
(vˇ
setky s´
uradnice s´
u v ortonorm´
alnom rep´
ere).
32.2 V E2 s´
u dan´
e body F (e, 0), E(−e, 0), e ≥ 0 a tak´
e re´
alne ˇ
c´ıslo a, ˇ
ze a > e; nech e2 = a2 − b2 a nech
kuˇ
zeˇloseˇ
cka
K =
b2
0
0
0
a2
0
0
0
−a2b2
.
Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze K je elipsa a
{X ∈ E2; |EX| + |F X| = 2a} = {X(x, y) ∈ E2;
x2
a2
+
y2
b2
= 1}
(vˇ
setky s´
uradnice s´
u v ortonorm´
alnom rep´
ere).
32.3 V E2 s´
u dan´
e body E(−e, 0), F (e, 0), e > 0 a kladn´
e re´
alne ˇ
c´ısla a, e, a < e; nech e2 = a2 + b2 a nech
kuˇ
zeˇloseˇ
cka
K =
b2
0
0
0
−a2
0
0
0
−a2b2
.
Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze K je hyperbola a
{X ∈ E2; |EX| − |F X| = ±2a} = {X(x, y) ∈ E2;
x2
a2
−
y2
b2
= 1}
(vˇ
setky s´
uradnice s´
u v ortonorm´
alnom rep´
ere).
60
33
Dotyˇ
cnice a singul´
arne body kuˇ
zeˇloseˇ
cky
Hovor´ıme, ˇ
ze priamka L je dotyˇ
cnicou kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky K, ak L∩K je jeden bod alebo L ⊂ K; v tom pr´ıpade, hovor´ıme
tieˇ
z, ˇ
ze afinn´
e z´
uˇ
zenie priamky L je dotyˇ
cnicou afinn´
eho z´
uˇ
zenia kuˇ
zeˇloseˇ
cky K. Dotyˇ
cnicu kuˇ
zeˇloseˇ
cky v jej
nevlastnom bode naz´
yvame asymptota tejto kuˇ
zeˇloseˇ
cky. Bod P naz´
yvame singul´
arny bod kuˇ
zeˇloseˇ
cky K, keˇ
d
P K = (0 0 0). Je zrejm´
e, ˇ
ze keˇ
d P je singul´
arny bod kuˇ
zeˇloseˇ
cky K, tak P je jej bodom, je totiˇ
z P KP T = 0.
Veta 33.1 Ak bod P1 leˇz´ı na kuˇzeˇloseˇcke K, tak priamka P1K je dotyˇcnica kuˇzeˇloseˇcky K prech´
adzaj´
uca bodom
P1 alebo P1 je singul´
arny bod kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky K.
Dˆ
okaz. Nech P1 nie je singul´
arny bod kuˇ
zeˇloseˇ
cky K. Potom P1K 6= (0 0 0) a tak P1K = L je priamka. Ak
P2 ∈ L, t.j. 0 = LP
T
2
= P1KP
T
2
= f (12), tak D = 4((f (12))2 − f (11)f (22)) = 0 a teda L je dotyˇ
cnica;
Bod P (x, y, t) je singul´
arny bod kuˇ
zeˇloseˇ
cky K pr´
ave vtedy, keˇ
d je rieˇ
sen´ım maticovej rovnice P K = (0 0 0), t.j.
s´
ustavy line´
arnych homog´
ennych rovn´ıc
a11x + a12y + a13t
=
0
a21x + a22y + a23t
=
0
a31x + a32y + a33t
=
0
(33.1)
Je zrejm´
e, ˇ
ze
(0 0 0) = P K ⇒ (0 0 0)(M
−1)T = P MM−1K(M−1)T ⇒ (0 0 0) = (P M)M−1K(M−1)T
ˇ
co znamen´
a, ˇ
ze koline´
acia zobraz´ı singul´
arny bod na singul´
arny bod.
Z rieˇ
senia s´
ustavy line´
arnych homog´
enych rovn´ıc vypl´
yva, ˇ
ze kuˇ
zeˇloseˇ
cka nem´
a ani jeden singul´
arny bod (ak je
naviac nepr´
azdna, je regul´
arna) alebo m´
a jeden singul´
arny bod alebo m´
a priamku singul´
arnych bodov (vtedy
hovor´ıme, ˇ
ze je singul´
arna.) Zrejme, kuˇ
zeˇloseˇ
cka je singul´
arna pr´
ave vtedy, keˇ
d determinant matice kuˇ
zeˇloseˇ
cky
sa rovn´
a 0.
Veta 33.2 Kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka m´
a 0, 1 alebo priamku singul´
arnych bodov, ak hodnosˇ
t jej matice je v porad´ı 3, 2, 1.
Pr´
ıklad 33.3 Urˇ
cte singul´
arne body kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky
K :
3x
2 + 14xy − 5y2 + 2xt + 26yt − 5t2 = 0.
Rieˇ
senie. Nech X = (x, y, t) je singul´
arny bod kuˇ
zeˇloseˇ
cky K. Potom XK = (0 0 0) a to znamen´
a, ˇ
ze mnoˇ
zina
vˇ
setk´
ych singul´
arnych bodov kuˇ
zeˇloseˇ
cky K je mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych rieˇ
sen´ı s´
ustavy line´
arnych rovn´ıc ):
3x + 7y + 1t
=
0
7x − 5y + 13t
=
0
x + 13y − 5t
=
0.
Determinant tejto s´
ustavy je determinant kuˇ
zeˇloseˇ
cky K (pozri (31.4)); ten mus´ı byˇ
t rovn´
y nule, aby existoval
aspoˇ
n jeden singul´
arny bod. ˇ
Lahko sa over´ı, ˇ
ze det K = 0 a hodnosˇ
t matice s´
ustavy je 2, preto existuje jedin´
y
singul´
arny bod, je to bod (−3, 1, 2).
Kaˇ
zd´
a singul´
arna kuˇ
zeˇloseˇ
cka je buˇ
d bodom alebo je zjednoten´ım priamok (vtedy hovor´ıme, ˇ
ze kuˇ
zeˇloseˇ
cka sa
rozpad´
a na priamky). Skutoˇ
cne, nech P1 je singul´
arny bod a nech P2 6= P1 je ˇlubovoˇln´
y bod kuˇ
zeˇloseˇ
cky K.
Potom priamka P1P2 je dotyˇcnica, ktor´
a m´
a s kuˇ
zeˇloseˇ
ckou aspoˇ
n body P2 6= P1 spoloˇcn´e, preto priamka
P1P2 ⊂ K, ˇciˇze K je zjednoten´ım priamok, ktor´e prech´
adzaj´
u bodom P1. Tak´
ych priamok je menej ako tri; ak
by boli aspoˇ
n tri, tak ˇlubovoˇln´
a priamka neprech´
adzaj´
uca bodom P1 by pret´ınala tieto priamky a teda aj K
v aspoˇ
n troch bodoch a bola by jej ˇ
casˇ
tou, teda K by bola cel´
a rovina a to nie je moˇ
zn´
e, lebo matica K nie
je nulov´
a. T´
ym je tieˇ
z dok´
azan´
e, ˇ
ze vˇ
setky priamky, na ktor´
e sa kuˇ
zeˇloseˇ
cka rozpad´
a, prech´
adzaj´
u kaˇ
zd´
ym jej
singul´
arnym bodom.
61
Pr´
ıklad 33.4 Dan´
y je ˇ
lubovoˇ
ln´
y bod P1 projekt´ıvnej roviny a kuˇzeˇloseˇcka
K =
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
a priamka prech´
adzaj´
uca bodom P1 je dotyˇcnica kuˇzeˇloseˇcky K.
Rieˇ
senie. Dˆ
okaz vypl´
yva z faktu, ˇ
ze K je priamka (x + y + t)2 = 0.
Veta 33.5 Nech P1 je tak´
y bod kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky K, ˇ
ze kaˇ
zd´
a priamka n´ım prech´
adzaj´
uca je dotyˇ
cnica kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky K.
Potom P1 je singul´
arny bod kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky K.
Dˆ
okaz. Zrejme f (11) = 0. Nech P1K 6= (0 0 0); potom P1K je priamka a P1P2 je dotyˇcnica kuˇzeˇloseˇcky K, pre
kaˇ
zd´
e P2 rˆ
ozne od P1. Preto (f
(12))2 − f (11)f (22) = 0, odkiaˇl f (12) = 0 t.j. P1KP T
2
= 0, ˇ
ciˇ
ze bod P2 leˇz´ı na P1K
a tak RP2 ⊂ P1K, t.j. RP2 je priamka, ˇco nie je pravda.
Veta 33.6 Na kaˇ
zdej priamke, ktor´
a je podmnoˇ
zinou kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky, leˇ
z´ı aspoˇ
n jeden singul´
arny bod tejto
kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky.
Dˆ
okaz. Nech priamka L je podmnoˇ
zina kuˇ
zeˇloseˇ
cky K a nech P1, P2 s´
u rˆ
ozne nesingul´
arne body priamky L.
Potom P1K, P2K s´
u priamky, totoˇ
zn´
e s priamkou P1P2 (je totiˇz P1KP
T
2
= 0, P1KP
T
1
= 0, P2KP
T
1
= 0,
P2KP
T
2
= 0 viˇ
d 32.3). Preto existuje k 6= 0 tak, ˇ
ze P1K = kP2K, odkiaˇl (P1 − kP2)K = (0 0 0) a teda
(P1 − kP2) je singul´
arny bod.
Dˆ
osledok 33.7 Ak existuje priamka, ktor´
a je podmnoˇ
zinou kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky, tak kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka je singul´
arna.
Pr´
ıklad 33.8 Nap´ıˇ
ste rovnice asymptˆ
ot afinnej kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky
K :
48x
2 + 32xy − 12y2 − 176x − 76y + 105 = 0.
Rieˇ
senie. Najprv n´
ajdeme nevlastn´
e body. Rieˇ
sime kvadratick´
u rovnicu
48
x
y
2
+ 32
x
y
− 12 = 0.
Jej korene s´
u
x
y
=
−2 ±
√
13
6
,
nevlastn´
e body s´
u
P
∞
1 (−2 +
√
13, 6, 0)
P
∞
2 (−2 −
√
13, 6, 0).
Dotyˇ
cnice v t´
ychto bodoch s´
u hˇladan´
e asymtoty. Nap´ıˇ
seme najprv maticu danej kuˇ
zeˇloseˇ
cky
48
16
−88
−16
−12
−38
−88
−38
105
Prv´
a asymtota je teda dotyˇ
cnica v bode P ∞
1 :
P1K = (48
√
13
− (40 + 16
√
13)
− (52 + 88
√
13)).
Podobne urˇ
c´ıme druh´
u asymptotu
P2K = (−12
√
13
− (10 − 4
√
13)
− (13 − 22
√
13)).
Pr´
ıklad 33.9 Nap´ıˇ
ste rovnice priamok, na ktor´
e sa rozpad´
a kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka
3x
2 + 14xy − 5y2 + 2x + 26y − 5 = 0.
62
Rieˇ
senie. Najprv n´
ajdeme singul´
arne body. Rieˇ
sen´ım rovn´ıc (33.1) zist´ıme, ˇ
ze P (−3, 1, 2) je jedin´
y singul´
arny
bod danej kuˇ
zeˇloseˇ
cky. Jej nevlastn´
e body s´
u P ∞
1 (1, 3, 0), P
∞
2 (5, −1, 0).
Priamky P P1, P P2, ktor´
ych rovnice
urˇ
c´ıme podˇla (30.1), s´
u priamky, na ktor´
e sa kuˇ
zeˇloseˇ
cka rozpad´
a:
P P1 :
x
y
t
−3
1
2
1
3
0
= 0
t.j.
3x − y + 5 = 0
P P2 :
x
y
t
−3
1
2
5
−1
0
= 0
t.j.
x + 5y − 1 = 0.
Priamym v´
ypoˇ
ctom moˇ
zno overiˇ
t, ˇ
ze s´
uˇ
cin rovn´ıc priamok P P1, P P2 je rovnica danej kuˇzeˇloseˇcky (alebo jej
n´
asobok).
´
Uloha 33.10 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze priamky, na ktor´
e sa kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka rozpad´
a, s´
u jej asymptoty. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze obr´
aten´
e
tvrdenie neplat´ı.
´
Uloha 33.11 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka, ktor´
a m´
a aspoˇ
n dva rˆ
ozne singul´
arne body je priamka.
´
Uloha 33.12 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka sa rozpad´
a na dve rˆ
ozne priamky (resp. na jednu priamku) pr´
ave vtedy,
keˇ
d hodnosˇ
t jej matice je 2 a m´
a aspoˇ
n jeden nesingul´
arny bod (resp. hodnosˇ
t jej matice je 1).
´
Uloha 33.13 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze afinn´
a kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka sa rozpad´
a na dve rˆ
oznobeˇ
zn´
e (resp. rovnobeˇ
zn´
e) afinn´
e priamky
pr´
ave vtedy, keˇ
d je singul´
arna a m´
a 2 rˆ
ozne nevlastn´
e body (resp. jeden nevlastn´
y bod).
´
Uloha 33.14 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze singul´
arna kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka je buˇ
d jeden bod, jedna priamka alebo dve rˆ
ozne priamky.
Cviˇ
cenie
33.1 Dan´
a je kuˇ
zeˇloseˇ
cka 9x2 − 4y2 = 36. Urˇ
cte jej asymptoty a urˇ
cte dotyˇ
cnice v bodoch (3, 0, 1), (−3, 0, 1).
Urˇ
cte rovnice jej dotyˇ
cnice rovnobeˇ
znej s priamkou 7x + 2y − 1 = 0. Koˇlko je tak´
ych dotyˇ
cn´ıc ?
33.2 Overte, ˇ
ze kuˇ
zeˇloseˇ
cka o rovnici (ax + bt)2 + (cy + dt)2 = 0 (nie vˇ
setky a, b, c, d s´
u nuly), je singul´
arna.
33.3 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kuˇ
zeˇloseˇ
cka, ktorej kaˇ
zd´
y bod je jej singul´
arnym bodom je bod alebo jedna priamka.
33.4 Nech K je afinn´
a singul´
arna kuˇ
zeˇloseˇ
cka. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze existuje r´
eper roviny E2 a re´
alne ˇ
c´ısla a, c tak, ˇ
ze K
m´
a v tomto r´
epere jednu z rovn´ıc
x
2 + y2 = 0,
y
2 − c2 = 0,
a
2x2 − y2 = 0.
34
Pol´
arne vlastnosti kuˇ
zeˇloseˇ
ciek
Pol´
ara, p´
ol
Pol´
arne vlastnosti kuˇ
zeˇloseˇ
ciek pouˇ
zijeme na defin´ıcie tak´
ych dˆ
oleˇ
zit´
ych pojmov, ako s´
u stred, osi, priemery,
ohnisk´
a . . . kuˇ
zeˇloseˇ
ciek.
Lema 34.1 Dan´
y je bod P1 a kuˇzeˇloseˇcka K tak, ˇze P1 6∈ K. Keˇ
d P2 je tak´
y bod, ˇ
ze priamka P1P2 pretne K vo
dvoch bodoch Q1, Q2 a (P1P2Q1Q2) = −1, potom P2 leˇz´ı na priamke P1K.
Dˆ
okaz. Nech Q1 = k1P1 + k2P2. Z rovnosti (P1P2Q1Q2) = −1 vypl´
yva Q2 = k1P1 − k2P2, priˇcom k1k2 6= 0. To
znamen´
a, ˇ
ze
k
2
1 f
(11) + 2k
1k2f
(12) + k2
2 f
(22)
=
0
(∗)
k
2
1 f
(11) + 2k
1(−k2)f
(12) + (−k
2)
2f(22) = 0.
Odˇ
c´ıtan´ım t´
ychto rovn´ıc dostaneme 4k1k2f
(12) = 0, odkiaˇl f (12) = 0, ˇciˇze P1KP T
2
= 0 a teda P2 ∈ P1K.
63
Defin´
ıcia 34.2 Dan´
a je kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka K a bod P1. Priamku L = P1K naz´
yvame pol´
ara bodu P1 a bod P1 p´
ol
priamky L (vzhˇ
ladom na kuˇ
zeˇ
loseˇ
cku K).
Veta 34.3 Polarita je invariantom kaˇ
zdej koline´
acie (t.j. ak P1 je p´
ol priamky p1 vzhˇladom na kuˇzeˇloseˇcku K,
tak to plat´ı aj pre ich obrazy v kaˇ
zdej koline´
acii.
Dˆ
okaz: Nech koline´
acia α je dan´
a maticou M. Potom
α(P1K) = P1K(M
−1)T = (P
1M )M
−1K(M−1)T = αP
1αK
Z Vety 33.1 vypl´
yva, ˇ
ze pol´
ara bodu, ktor´
y leˇ
z´ı na kuˇ
zeˇloseˇ
cke je dotyˇ
cnica kuˇ
zeˇloseˇ
cky v tomto bode.
Pr´
ıklad 34.4 Dan´
a je kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka x2 − 2xy − y2 − 4xt + 6t2 = 0. Vypoˇ
c´ıtajte rovnicu pol´
ary bodu P1(2, 1, −1).
Rieˇ
senie. Najprv urˇ
c´ıme maticu danej kuˇ
zeˇloseˇ
cky:
K =
1
−1
−2
−1
−1
0
−2
0
6
.
ˇ
Dalej vypoˇ
c´ıtame s´
uˇ
cin mat´ıc P1K = (3 − 3 − 10), rovnica hˇladanej pol´
ary je 3x − 3y − 10t = 0.
Pr´
ıklad 34.5 Vypoˇ
c´ıtajte s´
uradnice p´
olu nevlastnej priamky, ak je dan´
a kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka
K :
x2
a2
+
y2
b2
− t2 = 0,
a 6= 0 6= b.
Rieˇ
senie. Rovnicu kuˇ
zeˇloseˇ
cky uprav´ıme na tvar b2x2 + a2y2 − a2b2t2 = 0; jej matica je
b2
0
0
0
a2
0
0
0
−a2b2
Ak nevlastn´
a priamka je pol´
ara bodu P (x, y, t), tak P K = (0 0 k), k 6= 0, preto s´
uradnice (x, y, t) p´
olu nevlastnej
priamky s´
u rieˇ
senia s´
ustavy rovn´ıc b2x = 0, a2y = 0, −a2b2t = k. Jedin´
y bod, ktor´
y vyhovuje tejto s´
ustave je
(0, 0, 1). Teda zaˇ
ciatok r´
epera roviny E2 je p´
olom nevlastnej priamky.
Zdruˇ
zen´
e pol´
ary
Nech ˇ
ziadny z bodov P1, P2 nie je singul´
arny bod kuˇ
zeˇloseˇ
cky K. Potom bod P2 leˇz´ı na pol´
are bodu P1 pr´
ave
vtedy, keˇ
d P1KP
T
2
= 0 ⇔ f (12) = 0 t.j. pr´
ave vtedy, keˇ
d f (21) = 0 ⇔ P2KP
T
1
t.j. keˇ
d P1 leˇz´ı na pol´
are bodu
P2. Z toho vypl´
yva
Veta 34.6 Pol´
ara (ak existuje) bodu leˇ
ziaceho na pol´
are bodu P1, prech´
adza bodom P1. Pol´
ara bodu P1 obsahuje
body dotyku, vˇ
setk´
ych dotyˇ
cn´ıc kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky prech´
adzaj´
ucich bodom P1.
Hovor´ıme, ˇ
ze dve pol´
ary s´
u zdruˇ
zen´
e pol´
ary , ak p´
ol jednej z nich inciduje s druhou z nich.
Pr´
ıklad 34.7 Dan´
a je kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka a bod P1 ako v Pr´ıklade 34.4. Urˇcte dotyˇcnice kuˇzeˇloseˇcky, ktor´e prech´
adzaj´
u
bodom P1.
Rieˇ
senie. Dotykov´
e body s´
u prieseˇ
cn´ıky kuˇ
zeˇloseˇ
cky s pol´
arou bodu P1. Rieˇsime preto s´
ustavu rovn´ıc
3x − 3y − 10t
=
0
x
2 − 2xy − y2 − 4xt + 6t2 = 0.
Pretoˇ
ze t = 0 implikuje x = y = 0, mˆ
oˇ
zme poloˇ
ziˇ
t t = 3. Potom x = y + 10 dosad´ıme do rovnice kuˇ
zeˇloseˇ
cky a
dostaneme rovnicu y2 + 6y − 17 = 0. T´
a m´
a korene −3 ±
√
26, preto
64
A1(7 +
√
26, −3 +
√
26, 3)
A2(7 −
√
26, −3 −
√
26, 3)
s´
u dotykov´
e body. Hˇladan´
e dotyˇ
cnice s´
u priamky P1A1, P1A2, ktor´
ych rovnice s´
u
√
26x − (13 +
√
26)y − (13 −
√
26)t
=
0
√
26x − (13 −
√
26)y − (13 +
√
26)t
=
0.
Prieseˇ
cn´ıky pol´
ary bodu P1 s kuˇzeˇloseˇckou moˇzno n´
ajsˇ
t aj nasledovne. Na pol´
are zvol´ıme dva body, povedzme
Q1(1, 1, 0), Q2(5, −5, 3). Vypoˇc´ıtame f
(11) = −2, f (12) = 4, f (22) = 44. Potom rieˇsime rovnicu (32.2): −2k2
1 +
8k1k2 + 44k
2
2 = 0. Jej korene k1 : k2 = 2 ±
√
26 dosad´ıme do rovnice A = k1Q1 + k2Q2 a dostaneme dotykov´e
body A1, A2.
Pr´
ıklad 34.8 Dan´
a je afinn´
a kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka y2 − 2px = 0, p 6= 0. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze pol´
ara ˇ
lubovoˇ
ln´
eho nevlastn´
eho bodu
prech´
adza bodom (1, 0, 0). Vypoˇ
c´ıtajte rovnicu dotyˇ
cnice rovnobeˇ
znej s priamkou 3x + 2y − 1 = 0.
Rieˇ
senie. Nech Q = (a, b, 0) je ˇlubovoˇln´
y nevlastn´
y bod. Jeho pol´
ara je urˇ
cen´
a rovnicou QKXT = 0. Rovnica
projekt´ıvneho rozˇ
s´ırenia danej afinnej kuˇ
zeˇloseˇ
cky je y2 − 2pxt = 0; jej matica je
0
0
−p
0
1
0
−p
0
0
Hˇladan´
a pol´
ara bodu Q = (a, b, 0) je by − apt = 0; na nej zrejme leˇ
z´ı bod (1, 0, 0). Nevlastn´
y bod danej priamky
je P (2, −3, 0). Urˇ
ciˇ
t rovnicu hˇladanej dotyˇ
cnice znamen´
a n´
ajsˇ
t dotyˇ
cnicu kuˇ
zeˇloseˇ
cky K prech´
adzaj´
ucu bodom
P . Dotykov´
e body s´
u prieseˇ
cn´ıky kuˇ
zeˇloseˇ
cky s pol´
arou bodu P ; podˇla prvej ˇ
casti tohto pr´ıkladu
3y + 2pt = 0
je rovnica tejto pol´
ary a t´
a pret´ına dan´
u kuˇ
zeˇloseˇ
cku v bodoch A(1, 0, 0), B(2p, −6p, 9). Priamky P A, P B s´
u
hˇladan´
e dotyˇ
cnice; z nich len P B je afinn´
a priamka, ktorej rovnica je
x
y
t
2
−3
0
2p
−6p
9
= 0,
t.j.
9x + 6y + 2p = 0
Pr´
ıklad 34.9 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze nevlastn´
a priamka sa dot´
yka kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky y2 − 2pxt = 0, p 6= 0, v bode (1, 0, 0).
Dˆ
okaz. Vypl´
yva z pr´ıkladu 34.8.
Pr´
ıklad 34.10 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze priamky t = 0, 3y + 2pt = 0 s´
u zdruˇ
zen´
e pol´
ary kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky y2 − 2pxt = 0, p 6= 0.
Dˆ
okaz. Pouˇ
ziˇ
t pr´ıklady 34.8 a 34.9.
Cviˇ
cenie
34.1 Dan´
a je kuˇ
zeˇloseˇ
cka K : x2 + xy − 6y2 + 4t2 = 0. Urˇ
cte jej asymptoty, p´
ol nevlastnej priamky a dotyˇ
cnice
prech´
adzaj´
uce bodom P1(1, 2, 3). Urˇcte dotyˇcnice afinn´eho z´
uˇ
zenia kuˇ
zeˇloseˇ
cky K rovnobeˇ
zn´
e s priamkou
x = 0. Vypoˇ
c´ıtajte rovnice dotyˇ
cn´ıc kuˇ
zeˇloseˇ
cky K prech´
adzaj´
ucich bodom (0,
√
6, 3).
34.2 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze pol´
ara ˇlubovoˇln´
eho nesingul´
arneho bodu prech´
adza kaˇ
zd´
ym singul´
arnym bodom kuˇ
zeˇloseˇ
cky.
34.3 Nech K je singul´
arna kuˇ
zeˇloseˇ
cka a L priamka neprech´
adzaj´
uca ˇ
ziadnym jej singul´
arnym bodom. Dok´
aˇ
zte,
ˇ
ze p´
ol priamky L neexistuje.
65
35
Metrick´
e vlastnosti kuˇ
zeˇloseˇ
ciek
S´
umernosˇ
t kuˇ
zeˇloseˇ
ciek
Ak v E2 stredov´
a (resp. osov´
a) s´
umernosˇ
t so stredom S (resp. osou L) je symetria ´
utvaru U , hovor´ıme, ˇ
ze S je
stred s´
umernosti (resp. L je os s´
umernosti) ´
utvaru U .
Nech S-vlastn´
y bod je stred kuˇ
zeˇloseˇ
cky K, X∞ ˇlubovoˇln´
y bod nevlastnej priamky. Nech K ∩ SX
∞
= {X, X0},
X 6= X0 a nech S, X s´
u navz´
ajom rˆ
ozne body (viˇ
d obr´
azok).
Potom σSX = X
0, preto (X0XS) = −1 a podˇla pr´ıkladu 30.7 aj (X0XSX∞) = −1. Podˇla defin´ıcie 34.2 a Lemy
34.1 pol´
ara bodu X∞ prech´
adza bodom S. Teda pol´
ara ˇlubovoˇln´
eho bodu nevlastnej priamky prech´
adza stredom
S kuˇ
zeˇloseˇ
cky K preto S je p´
ol nevlastnej priamky.
Defin´
ıcia 35.1 P´
ol nevlastnej priamky naz´
yvame stred kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky.
Pr´
ıklad 35.2 Vypoˇ
c´ıtajte s´
uradnice stredu S kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky (31.1).
Rieˇ
senie. P´
ol X nevlastnej priamky je rieˇ
senie maticovej rovnice XK = (0 0 k), kde k 6= 0 je vhodn´
e re´
alne
ˇ
c´ıslo, t.j. je tak´
e rieˇ
senie s´
ustavy line´
arnych rovn´ıc
a11x + a12y + a13t
=
0
a21x + a22y + a23t
=
0
(35.1)
ˇ
ze a31x + a32y + a33t 6= 0.
Ak kuˇ
zeˇloseˇ
cka nie je singul´
arna, existuje jedin´
y stred S(A31, −A32, A33), kde Aik je minor matice kuˇzeˇloseˇcky
(31.1); regul´
arna kuˇ
zeˇloseˇ
cka m´
a vlastn´
y stred ak A33 6= 0.
Pr´
ıklad 35.3 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze bod (0, 0, 1) je stred regul´
arnej kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky (31.1) pr´
ave vtedy, keˇ
d a13 = a23 = 0.
Dˆ
okaz. Ak (0, 0, 1) je stred, musia jeho s´
uradnice vyhovovaˇ
t rovniciam (35.1), odkiaˇl po dosaden´ı x = 0, y = 0,
t = 1 dost´
avame a13 = a23 = 0. Zrejme plat´ı i obr´
atene.
Pr´
ıklad 35.4 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka (1 6 9 3 9 5) m´
a len jeden bod, nekoneˇ
cne mnoho stredov a je typu
parabola.
Dˆ
okaz. Matica tejto kuˇ
zeˇloseˇ
cky je
K =
2
6
3
6
18
9
3
9
10
.
Jedin´
y singul´
arny bod (3 − 1 0) je rieˇ
sen´ım rovnice XK = (0 0 0). Stredy kuˇ
zeˇloseˇ
cky K s´
u nesingul´
arne body,
ktor´
e s´
u rieˇ
sen´ım prv´
ych dvoch rovn´ıc s´
ustavy XK = (0 0 0). Keˇ
dˇ
ze tieto rovnice s´
u line´
arne z´
avisl´
e, stredom
kuˇ
zeˇloseˇ
cky K je kaˇ
zd´
y bod priamky (2 6 3) okrem singul´
arneho bodu (3 − 1 0). Prienik afinnej priamky (1 3 c)
(ktorej nevlastn´
y bod je (3 − 1 0)) s K je ∅, preto kuˇ
zeˇloseˇ
cka K m´
a len jeden bod.
66
Priemery kuˇ
zeˇloseˇ
ciek
Pol´
aru nevlastn´
eho bodu naz´
yvame priemer kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky. Zdruˇ
zen´
e pol´
ary, ktor´
e s´
u jej priemermi naz´
yvame
zdruˇ
zen´
e priemery kuˇ
zeˇloseˇ
cky. Kaˇ
zd´
y priemer kuˇ
zeˇloseˇ
cky prech´
adza jej stredom (podˇla vety 34.6). Zdruˇ
zen´
e
priemery L, resp. N naz´
yvame hlavn´
e zdruˇ
zen´
e priemery, ak pre ich nevlastn´
e body P ∞(a, b, 0), Q∞(c, d, 0)
plat´ı ac + bd = 0; L i N naz´
yvame hlavn´
y priemer kuˇ
zeˇloseˇ
cky. V pr´ıpade, ˇ
ze L, N s´
u vlastn´
e priamky,
posledn´
a rovnosˇ
t vyjadruje fakt, ˇ
ze L ⊥ N . To znamen´
a, ˇ
ze zdruˇ
zen´
e priemery prech´
adzaj´
uce vlastn´
ym stredom
kuˇ
zeˇloseˇ
cky s´
u hlavn´
e zdruˇ
zen´
e priemery pr´
ave vtedy, keˇ
d s´
u navz´
ajom kolm´
e.
Nech P ∞(a, b, 0), Q∞(c, d, 0) s´
u nevlastn´
e body zdruˇ
zen´
ych hlavn´
ych priemerov.
Potom existuje λ tak, ˇ
ze
jeden z bodov P ∞, Q∞ je (λ, 1, 0) a druh´
y (1, −λ, 0). Skutoˇ
cne, aspoˇ
n jedno z ˇ
c´ısel a, b je rˆ
ozne od nuly,
povedzme b 6= 0. Nech a = λb potom P ∞(λb, b, 0) ≡ (λ, 1, 0). ˇ
Dalej ac + bd = 0 implikuje λbc + bd = 0, odkiaˇl
d = −λc, takˇ
ze Q∞(c, −λc, 0) ≡ (1, −λ, 0). Nevlastn´
e body zdruˇ
zen´
ych hlavn´
ych priemerov nespl´
yvaj´
u. Ak by
totiˇ
z P ∞ = Q∞, tak hodnosˇ
t matice
λ
1
0
1
−λ
0
mus´ı byˇ
t jedna, preto λ2 + 1 = 0; tak´
e re´
alne ˇ
c´ıslo λ vˇ
sak neexistuje.
Veta 35.5 Hlavn´
y priemer, ktor´
y je vlastn´
a priamka, je osou kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky.
Dˆ
okaz prevedieme len pre afinn´
e z´
uˇ
zenie K danej kuˇ
zeˇloseˇ
cky. Nech P ∞ resp. Q∞ s´
u nevlastn´
e body hlavn´
ych
zdruˇ
zen´
ych priemerov, L, resp. N a N je vlastn´
a priamka. Nech X ∈K je ˇlubovoˇln´
y bod. Nech X0 je ˇ
dalˇ
s´ı
prieseˇ
cn´ık priamky XP ∞ s kuˇ
zeˇloseˇ
ckou K. Ak X 6= X0, existuje bod X0 tak, ˇze (P
∞X
0X X
0) = −1, ktor´y
podˇla Lemy 34.1 leˇ
z´ı na pol´
are N bodu P ∞ a teda X0 ∈ N . Keˇ
dˇ
ze (X0XX0) = −1 (pozri Pr´ıklad 34.7) a
XP ∞ ⊥ N , tak σN X = X
0. Ak X = X0, priamka XP sa dot´yka kuˇzeˇloseˇcky K v bode X = X0, je teda pol´arou
bodu X a preto podˇla vety 34.6 bod X leˇ
z´ı na pol´
are bodu P ∞, ˇ
ciˇ
ze X = X0 ∈ N t.j. σN X = X
0. Zostala
posledn´
a moˇ
znosˇ
t, XP ∞ ∩ K m´
a aspoˇ
n tri rˆ
ozne body. Potom XP ∞ ⊂ K a keˇ
dˇ
ze XP ∞ ⊥ N , tak XP ∞ je
samodruˇ
zn´
a priamka osovej s´
umernosti σN , preto σN X ∈ XP ∞ ⊂ K. T´
ym je dˆ
okaz skonˇ
cen´
y.
Hˇladajme hlavn´
e priemery kuˇ
zeˇloseˇ
cky K, danej rovnicou (31.1). Nech P ∞(λ, 1, 0), Q∞(1, −λ, 0) s´
u nevlastn´
e
body zdruˇ
zen´
ych hlavn´
ych priemerov. Pol´
ara P ∞K bodu P ∞ obsahuje bod Q∞, preto P ∞K(Q∞)T = 0 odkiaˇl
a12λ
2 + (a
22 − a11)λ − a12 = 0.
(35.2)
Diskriminant (a22 − a11)
2 + 4a2
12 tejto kvadratickej rovnice je nez´
aporn´
y, preto rovnica ( 35.2), ktor´
u budeme
naz´
yvaˇ
t sekul´
arna, m´
a vˇ
zdy aspoˇ
n jeden re´
alny koreˇ
n. To znamen´
a, ˇ
ze kaˇ
zd´
a kuˇ
zeˇloseˇ
cka m´
a aspoˇ
n dva hlavn´
e
priemery. S´
u to pol´
ary bodov P ∞, Q∞.
Defin´
ıcia 35.6 Prieseˇ
cn´ıky kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky s jej osami naz´
yvame vrcholy tejto kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky.
´
Uloha 35.7 Priamka y = 0 (t.j. x-ov´
a s´
uradn´
a os) je os kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky (31.1) pr´
ave vtedy, keˇ
d a12 = a23 = 0.
´
Uloha 35.8 Ku kaˇ
zdej kuˇ
zeˇ
loseˇ
cke existuje rep´
er tak, ˇ
ze jej rovnica je
a11x
2 + a
22y
2 + 2a
13xt + a33t
2 = 0.
(35.3)
´
Uloha 35.9 Ku kaˇ
zdej nestredovej kuˇ
zeˇ
loseˇ
cke existuje rep´
er tak, ˇ
ze jej rovnica je
y
2 = 2pxt,
p 6= 0.
(35.4)
´
Uloha 35.10 Ku kaˇ
zdej stredovej kuˇ
zeˇ
loseˇ
cke existuje rep´
er tak, ˇ
ze jej rovnica je
a11x
2 + a
22y
2 + a
33t
2 = 0.
(35.5)
´
Uloha 35.11 Parabola je jedin´
a nestredov´
a regul´
arna kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka. Ku kaˇ
zdej afinnej parabole existuje orto-
norm´
alny rep´
er tak, ˇ
ze jej rovnica je
y
2 = 2px,
p 6= 0.
(35.6)
67
´
Uloha 35.12 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka (35.5) je regul´
arna pr´
ave vtedy, keˇ
d a11a22a33 6= 0 a aspoˇ
n jedno z ˇ
c´ısel
a11, a22, a33 je z´
aporn´
e a aspoˇ
n jedno kladn´
e.
´
Uloha 35.13 Ku kaˇ
zdej hyperbole roviny E2 existuje ortonorm´
alny rep´
er tak, ˇ
ze jej rovnica je
x2
a2
−
y2
b2
= 1,
a.b 6= 0.
(35.7)
Ku kaˇ
zdej elipse roviny E2 existuje ortonorm´
alny rep´
er tak, ˇ
ze jej rovnica je
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
a.b 6= 0.
(35.8)
´
Uloha 35.14 Kaˇ
zd´
a regul´
arna afinn´
a kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka m´
a kanonick´
u rovnicu. Je to pr´
ave jedna z rovn´ıc (35.6),
(35.7), (35.8).
´
Uloha 35.15 Nech kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka K je dan´
a kanonickou rovnicou (t.j. jednou z rovn´ıc (35.6), (35.7), (35.8)).
Keˇ
d K je parabola, potom K prech´
adza zaˇ
ciatkom rep´
era, nem´
a stred a x-ov´
a s´
uradn´
a os je jej jedinou osou
s´
umernosti. Ak K je elipsa alebo hyperbola, tak zaˇ
ciatok ortonorm´
alneho rep´
era je jej jedin´
y stred a s´
uradn´
e osi
s´
u jej osi s´
umernosti.
´
Uloha 35.16 Vypoˇ
c´ıtajte kanonick´
u rovnicu afinnej kuˇ
zeˇ
loseˇ
cky K, danej rovnicou (v ortonorm´
alnom rep´
ere)
x
2 − 6xy + 9y2 + 8x − 4y − 7 = 0.
(35.9)
´
Uloha 35.17 Dan´
a je elipsa K rovnicou
x
2
25 +
y
2
16
= 1. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
e dve zdruˇ
zen´
e pol´
ary elipsy K
prech´
adzaj´
uce bodom F (3, 0) s´
u navz´
ajom kolm´
e priamky.
´
Uloha 35.18 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze F (
p
2 , 0) je jedin´
e ohnisko (leˇ
ziace v euklidovskej rovine) afinnej paraboly y2 = 2px.
´
Uloha 35.19 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze hyperbola je mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych bodov roviny E2, ktor´
ych rozdiel vzdialenost´ı od dvoch
rˆ
oznych bodov E, F je ±a, kde a < |EF | je dan´
e kladn´
e re´
alne ˇ
c´ıslo.
´
Uloha 35.20 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze elipsa je mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych bodov roviny E2, ktor´
ych s´
uˇ
cet vzdialenost´ı od dvoch
rˆ
oznych bodov E, F je konˇ
stantn´
y a v¨
aˇ
cˇ
s´ı ako |EF |.
´
Uloha 35.21 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze parabola je mnoˇ
zina vˇ
setk´
ych bodov roviny E2, ktor´
ych vzdialenosti od dan´
eho bodu F
a danej priamky r, F /
∈ r, s´
u rovnak´
e.
´
Uloha 35.22 Nech α : E2→E2 je afinita, K je afinn´
a kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka. Obraz K je op¨
aˇ
t afinn´
a kuˇ
zeˇ
loseˇ
cka toho
ist´
eho typu ako K. Ak K je regul´
arna, αK je tieˇ
z regul´
arna; ak K je singul´
arna, K je tieˇ
z singul´
arna.
´
Uloha 35.23 Afinita zobraz´ı elipsu na elipsu, parabolu na parabolu a hyperbolu na hyperbolu.
´
Uloha 35.24 Dan´
a je afinita α : E2→E2 rovnicami x
0 = x + 2y
y0 = 3y a kruˇ
znica K(Q, 2), Q(0, 0).
Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze α K je elipsa (ktor´
a nie je kruˇ
znica) a n´
ajdite jej stred a osi.
Cviˇ
cenie
35.1 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
a kruˇ
znica je elipsa.
35.2 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze ak a = b, tak elipsa (35.8) je kruˇ
znica.
35.3 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kuˇ
zeˇloseˇ
cka (31.1) je kruˇ
znica pr´
ave vtedy, keˇ
d a12 = 0 a a11 = a22.
35.4 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze kaˇ
zd´
e dva zdruˇ
zen´
e primery kruˇ
znice s´
u hlavn´
e.
35.5 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze ak a ≥ b, ohnisk´
a elipsy (35.8) s´
u body E(e, 0). F (−e, 0), kde e2 = a2 − b2.
35.6 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze ak kaˇ
zd´
e dva zdruˇ
zen´
e priemery elipsy s´
u hlavn´
e, tak t´
ato elipsa je kruˇ
znica.
68
35.7 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze asymptoty hyperboly (35.7) s´
u priamky
bx − ay = 0
bx + ay = 0.
35.8 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze ohnisk´
a hyperboly (35.7) s´
u body E(e, 0), F (−e, 0), kde e2 = a2 + b2.
35.9 Nech K je elipsa alebo hyperbola, dan´
a jednou z rovn´ıc (35.7), (35.8). Nech E, F s´
u ohnisk´
a, t dotyˇ
cnica
kuˇ
zeˇloseˇ
cky K v bode A ∈ K a nech B = σtF (σt je osov´
a s´
umernosˇ
t s osou t). Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze B ∈ EA a
|EB| = 2a. (Pozri cviˇcenia 35.4, 35.5).
35.10 Nech K je parabola, F jej ohnisko, t dotyˇ
cnica v bode A ∈ K, B pravouhl´
y priemet bodu A na os M
paraboly K a nech C = t ∩ M . Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze vrchol paraboly je stred ´
useˇ
cky BC.
35.11 Priamku x = −
p
2 naz´
yvame riadiaca priamka paraboly (35.6). Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze dotyˇ
cnice paraboly zostrojen´
e
z jej riadiacej priamky s´
u navz´
ajom kolm´
e priamky.
35.12 D´lˇ
zkou osi stredovej regul´
arnej kuˇ
zeˇloseˇ
cky rozumieme vzdialenosˇ
t vrcholov kuˇ
zeˇloseˇ
cky leˇ
ziacich na tejto
osi. Nap´ıˇ
ste rovnicu elipsy, ktorej ohnisk´
a s´
u E(1, 0), F (0, 1) a v¨
aˇ
cˇ
sia os m´
a d´lˇ
zku 2.
35.13 Vypoˇ
c´ıtajte rovnicu hyperboly, ktorej ohnisk´
a s´
u E(1, 0), F (0, 1) a asymptoty s´
u rovnobeˇ
zn´
e so s´
uradn´
ymi
osami.
35.14 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze ku kaˇ
zdej elipse existuje rep´
er (nie nutne ortonorm´
alny !) tak, ˇ
ze jej rovnica je x2 + y2 = r2,
r 6= 0.
35.15 Nech a 6= 0, b 6= 0 s´
u re´
alne ˇ
c´ısla. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze mnoˇ
zina
{(a. cos t, b. sin t) ∈ E2; t ∈ R}
je elipsa. Rovnice
x = a. cos t
y = b. sin t
naz´
yvame parametrick´
e rovnice elipsy.
35.16 Nech π : 3x+4y +z −3 = 0 je rovina v E3 a nech L je ˇlubovoˇln´
a priamka rˆ
oznobeˇ
zn´
a s π. Nech α : E3→E3
je rovnobeˇ
zn´
e premietanie so smerom L na rovinu π. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze keˇ
d K je kruˇ
znica x2 + y2 = 1, z = 0,
tak K je elipsa (inak povedan´
e rovnobeˇ
zn´
ym priemetom kruˇ
znice je elipsa.)
35.17 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze elipsa m´
a 4 vrcholy, afinn´
a parabola jeden a afinn´
a hyperbola dva. Os hyperboly, na ktorej
leˇ
zia vrcholy naz´
yvame re´
alna os, t´
a druh´
a je imagin´
arna os hyperboly.
35.18 Nech κ : RP2 → RP2 je perspekt´ıvna koline´
acia so stredom S(0, 2, 1), osou N = (0, 1, 0) a p´
arom odpo-
vedaj´
ucich si bodov A(0, 1, 1), A0(0, 1, 0), t.j. κA = A0. Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze obraz kruˇ
znice (x − 1)2 + y2 = r2 je
parabola, ak r = 1, hyperbola, ak r > 1 a elipsa, ak r < 1.
35.19 Nap´ıˇ
ste rovnice afinity, ktor´
a zobraz´ı elipsu
(x − 2)2
4
+
(y + 3)2
9
= 1 na kruˇ
znicu.
35.20 Dok´
aˇ
zte, ˇ
ze koline´
acia zobraz´ı kuˇ
zeˇloseˇ
cku na kuˇ
zeˇloseˇ
cku a pritom regul´
arnu na regul´
arnu a singul´
arnu
na singul´
arnu.
69
L I T E R A T
´
U R A
[1] Artin, E.: Geometriˇ
ceskaja algebra. Nauka, Moskva 1969
[2] Dieudonn´
e, J.: Linejnaja algebra i elementarnaja geometrija. Moskva 1970
[3] Hejn´
y M. a kol.: Geometria 1. SPN Bratislava 1985
[4] Sekanina M. a kol.: Geometria II, SPN Praha 1988.
[5] ˇ
Sediv´
y O. a kol.: Geometria 2. SPN Bratislava 1987
Automaticky vygenerovaný textový náhľad. Pre plné formátovanie si stiahnite súbor.