1. Základné pojmy z kartografie

1.1 Tvar Zeme – referenčné plochy používané v kartografii

1.2 Súradnicové systémy – obecne

1.3 Dôležité krivky na guli a elipsoidu

Literatúra:

UČEBNÍ TEXTY pro teoretickou přípravu DOPRAVNÍCH PILOTŮ ATPL(A)
dle předpisu JAR-FCL 1, Vydalo: Akademické nakladatelství CERM, s.r.o., Brno 2002

http://www.natur.cuni.cz/~bayertom/mmk.html

http://cs.wikipedia.org/wiki/Ortodroma

http://www.aldebaran.cz/~brichnac/skola/ortodroma.pdf

Kartografia je samostatný vedný obor, ktorého

predmetom skúmania je proces vytvárania a využívania máp ako
špecifických zobrazení (abstraktných modelov) priestorového
usporiadania

skutočnosti.

Hlavnými

zložkami

metodiky

kartografie sú matematické vzťahy medzi referenčnou plochou
zobrazované skutočnosti (Zeme a pod.) a jej obrazom na
zvolenej ploche (najčastejšie na rovine mapy). Ďalej ide o
proces kartografického zovšeobecňovania (generalizáciu) a
interpretáciu zobrazovaných javov pomocou kartografických
vyjadrovacích prostriedkov.

Kartografia súhrn vedeckých a technických postupov,

ktoré spracúvajú výsledky priamych meraní na zemskom
povrchu, iných nebeských telesách, alebo využívajú jestvujúcu
dokumentáciu a informácie za účelom vyhotovenia,
rozmnoženia a využitia máp

dnes

1.1 Tvar Zeme – referenčné plochy

používané v kartografii

Zeme je teleso veľmi zložitého tvaru, matematicky nepopísateľné, a preto je ju
nutné nahradiť tzv. topografickou plochou.
Hladinové plochy –

GEOID

Referenčné plochy–

ROTAČNÝ ELIPSOID
REFERENČNÁ GUĽA
REFERENČNÁ ROVINA

 hladinová plocha s rovnakým tiažovým zrýchlením ( v miestach oceánov sa
zhoduje s ich strednou kľudovou hladinou),

 v každom okamihu kolmá na smer zemskej tiaže,

 nepravidelný tvar (konvexný/ konkávny), ovplyvnený rozložením hmôt.

Priebeh tvaru geoidu sa zisťuje meraním: geodetickým, astronomickým, gravimetrickým

V súčasnej dobe je priebeh geoidu známy s presnosťou v rádoch 0,1 –1m (a

ďalej sa spresňuje).

GEOID

Prevýšenie (preníženie) geoidu nad (pod) plochou elipsopidu

ROTAČNÝ ELIPSOID

 matematicky pravidelná plocha, odchyľuje sa len málo od geoidu,

 normála k elipsoidu a tiažnica ku geoidu nie sú totožné: tiažnicová odchýlka

Používané typy rotačných elipsoidov:
a) Zemský elipsoid (aproximácia geoidu) ZE
Stred ZE totožný s hmotným stredom Zeme (geocentrom)
Malá polos ZE totožná s osou rotácie.
b) Referenční elipsoid (aproximácia časti geoidu) RE
Stred RE nie je totožný so stredom Zeme
Na vybranom území aproximuje lepšie než ZE

Najznámejšie elipsoidy

H - elipsoidická výška (vzdialenosť P0-P)
 - prevýšenie elipsoidu vôči geoidu

h - výška bodu od hladinovej plochy

 - tiažnicová odchýlka

Pozn.: Z hodnoty

 je možné určiť parametre elipsoidu v bode P.

H = h +



Zemský povrch, geoid, elipsoid

Referenčná guľa

 konštantná krivosť,

 jednoduchšie výpočty,

 použitie pre mapy malých a stredných

mierok,

 parameter: polomer R,

Využitie pri nahradení elipsoidu guľou

Náhrada elipsoidu guľou lokálne (na území 300 x 300 km)
a) R= a
b) R= b
c) R= stredný polomer krivosti

Náhrada elipsoidu guľou globálne

a) Guľa má rovnaký povrch ako elipsoid

b) Guľa má rovnaký objem ako elipsoid

Rovina

 dotyčnicou v zvolenom bode,

 využitie pre malá území (20 x 20 km),

 nulová krivosť,

 mapy veľkých mierok,

 nie je využiteľná pre mapy malých a stredných mierok,

 veľké skreslenie.

V matematickej kartografii predstavuje rovina cieľovú

plochu, na ktorú zobrazujeme.

Súradnicové systémy na referenčnom elipsoidu

Najčastejšie využívané súradnicové systémy na referenčnom elipsoidu:

 Zemepisné súradnice (

)

 Geocentrická šírka



 Redukovaná šírka



 Pravouhlé priestorové súradnice (X,Y,Z)

1. 2 Súradnicové systémy - obecne

Súradnicové systémy na guli

Najčastejšie využívané súradnicové systémy na guli:

 Zemepisné súradnice

 Kartografické súradnice

Pravouhlé a polárne súradnice v rovine

Elipsoid -zemepisné súradnice ()

Zemepisná šírka:



Uhol medzi normálou v bode a rovinou rovníku.
Severná pologuľa: <0°, 90°>, južná pologuľa: <0°, -90°>
Zemepisná dĺžka:



Uhol medzi rovinou miestneho poludníku a rovinou základného poludníku.
Východná pologuľa: <0°, 180°>, západná pologuľa: <0°, -180°>

Rovnobežka:
Priesečnica elipsoidu a roviny //
s rovinou rovníku.

Poludník:
Priesečnica elipsoidu a roviny
prechádzajúcej
osou rotácie (ortodroma).
Základný poludník: Ferro, Grenwich

Kartografické póly:
Singulárne body,

=±90°, =lib.

=>Problémy !!!

Elipsoid - geocentrická a redukovaná

šírka

Geocentrická šírka:



Uhol spojnice stredu elipsoidu
s bodom na elipsoidu
s rovinou rovníku
Redukovaná šírka:



Uhol spojnice priemetu bodu
ležiaceho na oskulačnej
kružnici s rovinou rovníku

.

Súradnice bodu P:
x = a cos



y = b sin



Elipsoid - priestorové pravouhlé súradnice

 počiatok S sa nachádza v strede elipsoidu,

 os Z prechádza osou rotácie Zeme,

 os X prechádza priesečnicou roviny rovníku a roviny základného poludníku,

 os Y je kolmá na osy X a Z.

Bod P na povrchu:
X = N cos

 cos 

Y = N cos

 sin 

Z = N (1 – e2) sin



Bod P s výškou H:
X = (N + H) cos

 cos 

Y = (N + H) cos

 sin 

Z = N ((1 – e2) + H) sin



Guľa - zemepisné súradnice

(u, v)

Definícia zemepisných súradníc na guli je analogická ako na elipsoidu.

 zemepisná šírka: u

 zemepisná dĺžka: v
Viacero základných poludníkov: Ferro, Grenwich,…

Guľa - kartografické súradnice

(š, d)

 obraz referenčnej plochy sa čo najviac primkýna ku zvolenému územiu,

 dôsledkom sú nižšie hodnoty kartografických skreslenia,

 os zobrazovacej plochy nebude // so zemskou osou,

 súradnice sú vztiahnuté ku kartografickému pólu, ktorý spravidla označujeme

K.

Kartografická šírka: š
Meria sa od kartografického rovníku, definovaná analogicky ako zemepisná šírka.

Kartografická dĺžka: d
Meria sa od zemepisného poludníku, ktorý prechádza kartografickým (a severným)
pólom, definovaná analogicky ako zemepisná dĺžka.

Ak sa kartografický pól nachádza na rovníku, je zobrazenie v polohe

transverzálnej.

Ak sa kartografický pól nachádza inde, je zobrazenie v polohe

obecnej.

Vzťahy medzi zemepisnými a kartografickými súradnicami rieši sférická trigonometria.

Zemepisné a kartografické súradnice

Pravouhlé súradnice v rovine kartografického

zobrazenia

(x, y)

Používajú sa u väčšiny kartografických zobrazení.

Parametre súradnicového systému:

Počiatok súradnicového systému

 v obraze kartografického pólu,

 v priesečníku obrazov základného
poludníku a rovníku

.

Orientácia súradnicových os x, y

 matematický systém (x=>V, y=>S),
x

y (Gauss, UTM),

 špeciálny - y=>J, y=>Z (JTSK)

Polárne súradnice v rovine kartografického

zobrazenia

(, )

Používajú sa u kužeľových a azimutálnych zobrazení, jednoduchšie vyjadrenie zobrazovacích

rovníc.

 počiatok môžeme zvoliť rovnako ako u pravouhlých súradníc, ale nie je to

nutnosť,



predstavuje sprevádzač bodu, tj. euklidovskú vzdialenosť bodu od počiatku

súradnicového systému,



 predstavuje uhol sprevádzača meraný od rovnobežky s osou x.

Vzťah pravouhlých a polárnych súradníc

Oba súradnicové systémy majú:

rovnaký počiatok rôzny počiatok
x =

cos   = x2 + y2

y =

 sin  = arctg (y/x)

x = x

1 - cos 

y =

 sin 

1.3 Dôležité krivky na guli a elipsoidu

V matematickej kartografii existujú dôležité krivky, ktoré idú po povrchu referenčnej
plochy. Majú využitie pri navigácii, námornej či leteckej doprave.
Vo vybraných kartografických zobrazeniach sa zobrazujú ako priamky, tieto zobrazenia
sa v minulosti používala pre námornú a leteckú navigáciu.
V iných vybraných kartografických zobrazeniach sa zobrazujú ako úsečky, priamky, či
polpriamky.

Krivky:

 Poludník (guľa)

 Rovnobežka (guľa)

 Malá kružnica (guľa)

 Veľká kružnica (guľa)

 Loxodroma (guľa)

 Ortodroma (guľa)

 Geodetická krivka (elipsoid)

Poludníky a rovnobežky

Poludníky

 poloviny poludníkových kružníc, ktoré sú priesečníkom roviny prechádzajúcej zemskou osou s

povrchom gule,

 číslujú sa od 0 – 180°E (východnej), W (západnej) dĺžky,

 základný (nultý) poludník prechádza hvezdárňou v Greenwich (Ferro),východná a západná

pologuľa,

 meridiánová konvergencia (zbiehavosť poludníkov) - konverzný uhol Ku.

Rovnobežky

 kružnice rovnobežné s
rovníkom a kolmé
na zemskú os,

 číslujú sa od
0 – 90°N (severnej),
S (južnej) šírky,

 rovník – nultá rovnobežka,
severná a južná pologuľa,

 obratníky Raka,
Kozorožca (23°27´s.š.,j.š.),
polárne kruhy (66°33´s.š., j. š.).

Malá a veľká kružnica

Malá kružnica
 kružnica na povrchu gule, ktorej stred a polomer nie je totožný so stredom a

polomerom gule (napr. rovnobežky).

Veľká kružnica
 priesečník povrchu gule s rovinou prechádzajúcou stredom gule (napr. rovník,

poludníková kružnica).

Loxodroma

 krivka, ktorá pretína poludníky pod konštantným smerníkom

,

 dĺžka l =



 nie je najkratšou spojnicou dvoch bodov na referenčnej ploche (s výnimkou
rovníku),

 špirálovito sa blíži k severnému/južnému pólu, ktorého však nikdy nedosiahne,

 v kartografických zobrazeniach sa zobrazuje ako obecná krivka,

 v Mercatorovom zobrazení sa zobrazí ako priamka => použitie pre námornú a
leteckú navigáciu.

Súčasné využitie: letecká, námorná doprava
(na malé vzdialenosti).

Pre:

= 0

 loxodroma je identická s poludníkom

= 90

 loxodroma je identická s rovnobežkou

Počiatočný bod lox. trate... …A
Koncový bod lox. trate... ....…B
Azimut loxodromy .............…



Dĺžka lox. trate...…................S
Stredná z.š. trate...............



STR

Rozdiel z.d. trate...............d



Rozdiel z.š. trate...............d



(nevýhodné pre a blížiace sa k 090°a 270°)

(nevýhodné pre a blížiace sa k 0°a 180°)

Výpočet loxodromy

Znázornenie loxodromy v azimutálnom ekvidištantnom zobrazení:
P=[50°,15°], A=70°, krok 1°, 1000 bodov

Znázornenie loxodromy v kužeľovom ekvidištantnom zobrazení:
P=[50°,15°], A=70°, krok 1°, 1000 bodov

Znázornenie loxodromy v nepravom zobrazení: Werner-Staabovo
P=[50°,15°], A=70°, krok 1°, 1000 bodov

Znázornenie loxodromy v Mercatorovom zobrazení: P=[50°,15°],
A=70°, krok 1°, 1000 bodov.

Ortodroma

 najkratšia spojnica dvoch bodov (ortos- priama)na

guli,

 je to geodetická krivka na guli,

 pretína poludníky pod rôznymi smerníkmi,

 vracia sa do bodu, z ktorého vychádza,

 je hlavnou (veľkou) kružnicou, tj. priesečnicou
roviny prechádzajúcej stredom gule,

 poludníku sú ortodromy, rovnobežky s výnimkou

rovníku nie sú ortodromy,

 jej dĺžka je vždy kratší ako dĺžka loxodromy
(s výnimkou rovníku a poludníku),

 v kartografických zobrazeniach sa zobrazuje
ako obecná krivka,

 v gnomonickej projekcii sa zobrazí ako priamka.

Zobrazenia, v ktorých sa zobrazí takmer ako
priamka (malé vydutie) nazývame ortodromická.

Použitie: geodézia, letecká alebo námorná doprava

 Maximálnu a minimálnu zemepisnú šírku dosahuje v bode

Pm=> najjužnejší a najsevernejší bod.

 V bode Pm má ortodroma smerník ±90°.

 Rovník pretína v dvoch bodoch so symetrickými hodnotami

v.

Ortodromické vzdialenosti

Výpočet ortodromy

Ortodromický zemepisný traťový uhol (zemepisný smerník ortodromy) – uhol medzi
severným smerom zemepisného poludníku a smerom dotyčnice v danom bode ortodomy:

Vzdialenosť medzi dvomi bodmi ortodromy:



1, 2, 1, 2 –zemepisné súradnice bodov

ortodromy,

S°, S´ - dĺžky ortodromy v uhlovej
hodnote

Výpočet dĺžky ortodromy riešením sférického trojuholníka

Pre strany a uhly platí:
e = 90° – φ

F

f = 90° – φ

E

Δ λ = | λ

F – λE |

c … dĺžka ortodromy v uhlovej miere (°)
r

Z ... polomer referenčnej gule

d

EF ... dĺžka ortodromy v kilometroch

Pozor! Za ortodromu volíme kratší oblúk hlavnej
kružnice, preto musí byť splnené Δ λ ≤ 180°.
AK vychádza | λ

F – λE | > 180°, použije sa doplnok do

plného uhlu: Δ λ = 360° – | λ

F – λE |.

Kosinová veta pre stranu c sférického trojuholníka:
cos c = cos e cos f + sin e sin f cos



cos c = cos (90° –



F) cos (90° – 

) + sin (90° – F) sin (90° – E) cos Δ λ

d

EF = 2rZ arccos(sin F sin E + cos F cos F cos)

alebo d

EF = 2π rZ c/360°

Príklad na výpočet najkratšej vzdialenosti medzi

Washingtonom D.C. [38°50´s.š.; 77°00´z.d.] a Moskvou [55°45´s.š.; 37°37´v.d.].

Dané:
A [38°50´s.š.; 77°00´z.d.]
B [55°45´s.š.; 37°37´v.d.]

Kosinová veta o strane:

cos c=cos(90-



A) cos(90-B) + sin(90-A) sin(90-B)cos

cos c=sin



A sinB + cosA cosBcos

cosc=sin 38°50´ sin 55°45´ + cos38°50´ cos 55°45´ cos 14°37´

cosc=0,627 × 0,827 + 0,779 × 0,563 ×(-0,417)

cosc=0,518 -0,183

cosc=0,335

c=70°43´

d

AB = 2π rZ c/360°

d

AB=7863,46 km

Výpočet medziľahlých bodov ortodromy riešením sférického

trojuholníka

P1, P2 .... krajné body ortodromy
M ............ medziľahlý bod na ortodrome

Pre výpočet zemepisnej šírky medziľahlých bodov musíme
poznať sin smerníku A

1 a A2

z kosinovej vety pre uhly:

zo sinovej vety pre uhly:

Znázornenie ortodromy vo Werner-Staabove zobrazení.
O1: P=[50°,15°], A=70°, krok 1°
O2: P=[50°,15°], A=20°, krok 1°

Znázornenie ortodromy v gnómonickej projekcii.
P=[50°,15°], A=70°, krok 1°

Gnomonic Projection Transversal

Gnomonic Projection Polar

Gnomonic Projection Japan

Gnómonická projekcia je azimutálné mapové
zobrazenie, ktoré nie je plochojavné, diaľkojavné ani
uhlojavné. Poludníky sa zobrazujú ako priamky,
rovnobežky ako kužeľosečky. V normálnej polohe
leží rovník v nekonečnu, a preto ho nie je možné
zobraziť. Skreslenie narastá od pólu k rovníku.
Ortodromy sa v gnómonickej projekcii zobrazujú ako
priamky.

Znázornenie ortodromy v kužeľovom zobrazení,
P=[50°,15°], A=70°, krok 1°

Znázornenie ortodromy v azimutálnom zobrazení,
P=[50°,15°], A=70°, krok 1°

Rozdielnosť zobrazenia ortodromy a loxodromy

Valcová ortografická projekcia

Gnomonicka
projekcia

Mercatorovo zobrazenie

Zobrazenia ortodromy a loxodromy na mape sveta

Mercatorovo zobrazenie

ORTODROMA

LOXODROMA

Polárne azimutálne equidištantné zobrazenie

Konformné zobrazenie

Zobrazenie ortodromickej a loxodromickej spojnice Campinas, Brazília - Seoul, Južná Korea

Geodetická krivka

 najkratšia spojnica dvoch bodov na elispoidu,

 jej normála je v každom okamihu totožná s normálou plochy,

 poludníky pretína pod rôznymi smerníkmi,

 rovnako ako ortodroma prebieha v intervalu medzi extrémnou severnou a južnou

rovnobežkou,

 na rozdiel od ortodromy sa nevracia do pôvodného bodu, vlní sa medzi
oboma rovnobežkami,

 jej dĺžka je nekonečná,

 medzi dvoma body existuje práve
jedna geodetická krivka,

 výnimkou sú poludníky, medzi dvoma
póly existuje nekonečne mnoho
geodetických kriviek so smerníkom A=90°.

A1…smerník priameho rezu
A2…smerník spätného rezu
A…..smerník geodetickej krivky
 .…uhol medzi obomi rezy

….uhol medzi priamym rezom a geodetickou krivkou

 = /3