Materiál na štátnicu

Ondrej Vršanský

26.IX.1997

Materiál na štátnicu

Algebra

Verzia 1

Materiál na štátnicu

Algebra

- 2 -

Obsah.

2.1. ZÁKLADY........................................................................................................................................................................................4

2.1.1. ZÁKLADNÉ POJMY Z TEÓR ............................................................................................................................................4

2.1.2. GRUPY A POLIA. ...........................................................................................................................................................................4

2.2. VEKTOROVÉ PRIESTORY..........................................................................................................................................................4

2.2.1. VEKTOROVÉ PRIESTORY A PODPRIESTORY. ..................................................................................................................................4

2.2.2. L .......................................................................................................................5

2.2.3. BÁZA VEKTOROVÉHO PRIESTORU. ................................................................................................................................................6

2.2.4. LINEÁRNE ZOBRAZENIA................................................................................................................................................................7

2.3. MATICE. ..........................................................................................................................................................................................7

2.3.1. POJEM MATICE..............................................................................................................................................................................7

2.3.2. VYJADRENIE LINEÁRNYCH ZOBRAZENÍ POMOCOU MATÍC.............................................................................................................8

2.3.3. RIADKOVÁ EKVIVALENCIA MATÍC................................................................................................................................................8

2.3.4. REGULÁRNE MATICE. ...................................................................................................................................................................9

2.3.5. EKVIVALENTNÉ MATICE. ............................................................................................................................................................ 10

2.3.6. SÚSTAVY LINEÁRNYCH ROVNÍC.................................................................................................................................................. 10

2.4. EUKLIDOVSKÉ A UNITÁRNE PRIESTORY. .........................................................................................................................11

2.4.1. EUKLIDOVSKÉ PRIESTORY. ......................................................................................................................................................... 11

2.4.2. ORTOGONÁLNE MATICE. ............................................................................................................................................................ 13

2.4.3. UNITÁRNE PRIESTORY. ............................................................................................................................................................... 13

2.5. GRUPY............................................................................................................................................................................................15

2.5.1. POLOGRUPY................................................................................................................................................................................ 15

2.5.2. IZOMORFIZMUS NA GRUPÁCH. .................................................................................................................................................... 16

2.5.3. PODGRUPY. ................................................................................................................................................................................ 16

2.5.4. CYKLICKÉ GRUPY....................................................................................................................................................................... 17

2.5.5. HOMOMORFIZMY GRÚP. ............................................................................................................................................................. 18

2.5.6. P! "#$% &(' . ................................................................................................................................................................ 18

2.5.7. ROZKLADY NA GRUPÁCH............................................................................................................................................................ 20

2.5.8. INVARIANTNÉ PODGRUPY........................................................................................................................................................... 20

2.5.9. FAKTOROVÉ GRUPY.................................................................................................................................................................... 22

2.6. DETERMINANTY.........................................................................................................................................................................22

2.6.1. DETERMINANT MATICE............................................................................................................................................................... 22

2.6.2. VLASTNOSTI DETERMINANTOV................................................................................................................................................... 22

2.6.3. MATICE ELEMENTÁRNYCH ÚPRAV.............................................................................................................................................. 24

2.6.4. GRUPA REGULÁRNYCH MATÍC.................................................................................................................................................... 25

2.6.5. CRAMEROVO PRAVIDLO. ............................................................................................................................................................ 25

2.7. OKRUHY........................................................................................................................................................................................25

2.7.1. ZÁKLADNÉ VLASTNOSTI............................................................................................................................................................. 25

2.7.2. OBORY INTEGRITY...................................................................................................................................................................... 26

2.7.3. PODOKRUHY............................................................................................................................................................................... 26

2.7.4. HOMOMORFIZMY A IDEÁLY OKRUHOV. ...................................................................................................................................... 27

2.7.5. FAKTOROVÉ OKRUHY. ................................................................................................................................................................ 28

2.8. POLIA. ............................................................................................................................................................................................28

2.8.1. PODPOLE. ................................................................................................................................................................................... 28

2.8.2. PODIELOVÉ POLE. ....................................................................................................................................................................... 29

2.9. OKRUHY POLYNÓMOV. ...........................................................................................................................................................30

2.9.1. KONŠTRUKCIA POLYNÓMOV....................................................................................................................................................... 30

2.9.2. OKRUHY HLAVNÝCH IDEÁLOV. .................................................................................................................................................. 32

2.9.3. KORENE POLYNÓMOV. ............................................................................................................................................................... 33

2.9.4. ALGEBRAICKÉ ROZŠÍRENIA POLÍ................................................................................................................................................. 35

2.9.5. K#$)&" . ........................................................................................................................................................................ 35

2.10. BILINEÁRNE A KVADRATICKÉ FORMY............................................................................................................................36

Ondrej Vršanský

- 3 -

2.10.1. BILINEÁRNE FORMY. ................................................................................................................................................................ 36

2.10.2. CHARAKTERISTICKÉ VEKTORY A HODNOTY MATÍC (BI)LINEÁRNYCH ZOBRAZENÍ. ................................................................... 36

2.10.3. P * + !" , . ................................................................................................................................................................. 37

2.10.4. KVADRATICKÉ FORMY. ............................................................................................................................................................ 37

2.10.5. KONGRUENCIA MATÍC. ............................................................................................................................................................. 37

2.10.6. REÁLNE KVADRATICKÉ FORMY. ............................................................................................................................................... 38

Materiál na štátnicu

Algebra

- 4 -

2. Algebra.

2.1. Základy.
=iNODGQpSRMP\]WHyULHPQRĺtQ
2.1.2. Grupy a polia.

Definícia.

Usporiadanú dvojicu (A,

⊕) nazývame grupa, ak

• ⊕ je binárna asociatívna operácia na A

• A je neprázdna

• ⊕ má neutrálny prvok e.

• ∀x∈A ∃y∈A > x⊕y = y⊕x = e.

Príklad.

(Z, +) je grupa, (Q+,

∗) je grupa, (P1..n, °) je grupa.

Definícia.

Usporiadanú trojicu (A,

⊕, ⊗) nazývame okruh, ak

• (A, ⊕) je komutatívna grupa

• ⊗ je binárna asociatívna operácia na A

• ⊗

MHGLVWULEXWtYQDY]K DGRPQD⊕.

Definícia.

Neutrálny prvok operácie

⊗ okruhu (A, ⊕, ⊗) nazývame jednotka okruhu (A, ⊕, ⊗).

Príklad.

(Z, +,

∗) je komutatívny okruh s jednotkou. (2Z, +, ∗) je komutatívny okruh bez jednotky.

Definícia.

Okruh (A,

⊕, ⊗) nazývame obor integrity, ak ∀a,b∈A : a≠0 ∧ b≠0 ⇒ a⊗b≠0.

Definícia.

Obor integrity s jednotkou nazývame teleso.

Príklad.

(Q, +,

∗) je teleso.

Definícia.

Teleso (A,

⊕, ⊗), kde ⊗ je komutatívna operácia, nazývame pole.

Veta 2.1.2.1.

Zn

MHSROHSUiYHYWHG\NH nMHSUYRţtVOR

Dôkaz.

6WDţtGRNi]D ĺHZnMHRERULQWHJULW\SUiYHYWHG\NH nMHSUYRţtVOR6SlWQiLPSOLNiFLDMH]UHMPiDNn je

SUYRţtVORWDNQHPiLQęFKGHOLWH RYQHĺMHGQRWNXWDNĺH∀x,y≠0 : x⊗y≠n (=0 v Zn). Ak ale n nie jeSUYRţtVOR

tak

∃a,b∈A : a≠0 ∧ b≠0 ∧ a⊗b = n = 0.

2.2. Vektorové priestory.
2.2.1. Vektorové priestory a podpriestory.

Definícia.

Usporiadanú trojicu (V,

⊕, ϕ) nazývame vektorový priestor

QDGSR RPF, ak

• (V, ⊕) je komutatívna grupa

• ϕ : V×F → V je taká funk

FLDĺH∀α,β∈F ∀x,y∈V platí

•

α(x⊕y) = αx ⊕ αy

•

(

α+β)x = αx ⊕ βx

•

α(β(x)) = (αβ)x

Ondrej Vršanský

- 5 -

•

1.x = x.

Lema 2.2.1.1.

∀α∈F : ak 0 je neutrálny prvok operácie ⊕ vektorového priestoru V, potom

• α.0 = 0

• α(-x) = -(αx)

Dôkaz.

• α.0 = α(0 ⊕ 0) = α.0 + α.0 ⇒ 0 = α.0.

• 0 = α.0 = α(x ⊕ (-x)) = αx ⊕ α(-x) ⇒ α(-x) = -(αx).

Definícia.

Vektorový priestor (W,

⊕, ψ) nazývame podpriestor vektorového priestoru (V, +, ϕ), ak

• W ⊆ V

• ∀x,y∈W : x⊕y = x+y

• ∀x∈W ∀α∈F : ψ(α, x) = ϕ(α, x).

Veta 2.2.1.1.

Neprázdna W

⊆V je podpriestor V

SUiYHYWHG\NH

• x,y∈W : (x - y)∈W

• ∀x∈W ∀α∈F : αx∈W.

Dôkaz.

Dopredná implikácia je triviálna. Obrátene nech W

PiSRĺDGRYDQpYODVWQRVWLW≠∅WDNĺH∃x∈W. Ale

potom aj }x - x|

∈W ⇒ 0∈W. Rovnako (0 - x)∈W ⇒ -x∈W a teda ∀y∈W aj (x - (-y)) = (x + y)∈W.

Veta 2.2.1.2.

Nech W,W´súpodpriestory V. Potom aj

• W∩W´je podpriestor V

• W+W´= {x+y; x∈W a y∈W´} je podpriestor V.

Dôkaz.

• (x - y)∈W ∧ (x - y)∈W´⇒ (x - y)∈W∩W´. Takiso αx.

• Nech x,y∈W a x´,y´∈W´. Potom (x+x´) + (y+y´) = (x+y) ∈W + (x´+y´)∈W´ ⇒ (x+y)+(x´+y´)∈W+W´.

2.2.2. Lineárna závis

ORV DQH]iYLVORV YHNWRURY

Definícia.

Vektor x

∈V nazývame lineárna kombinácia vektorov x1..xn∈V, ak ∃α1..αn : x = α1x1 + ..

+

αnxn.

Veta 2.2.2.1.

Ak x1..xn∈V, tak [x1..xn] = {x∈V; x je lineárna kombinácia x1..xn} je podpriestor V.

Dôkaz.

∀x = (α1x1+ .. +αnxn), y = (β1x1+ .. +βnxn)∈[x1..xn] : (x - y) = (α1 - β1)x1 + .. + (αn - βn)xn. Podobne ∀α∈F

:

αx = αα1x1 + .. + ααnxn.

Definícia.

[x1..xn] nazývame podpriestor generovaný vektormi x1..xn.

Definícia.

Vektory x1..xn nazývame lineárne závislé, ak ∃i : xi je lineárna kombinácia ostatných.

Veta 2.2.2.2.

Vektory x1..xn sú lineárne závislé práve vtedy,

NH ∃α1..αn≠0 : Σαixi = 0.

Dôkaz.

Ak x1..xn sú lineárne závislé, tak ∃i : xi je lineárna kombinácia ostatných. Nech je to xn a nech xn = α1x1 +

.. +

αn-1xn-1. Potom ale pre αn = -1 platí Σαixi = xn - xn = 0. Obrátene ak ∃α1..αn≠0 : Σαixi = 0, potom xn =

α

α

-

. -

-

.

[

=

−

∑ /

/

⇒ x1..xn sú lineárne závislé.

Materiál na štátnicu

Algebra

- 6 -

Definícia.

Vektory x1..xn sú lineárne nezávislé, ak nie sú lineárne závislé.

Veta 2.2.2.3.

Vektory x1..xn

V~OLQHiUQH]iYLVOpSUiYHYWHG\NH ∃i : xi je lineárna kombinácia predchádzajúcich.

Dôkaz.

Spätná implikácia je triviálna. Teraz ak x1..xn sú lineárne závislé, tak vezmeme max{i; αi≠0}

NWRUpVS D

SRĺLDGDYRN]DGDQLD

Veta 2.2.2.4.

Ak x je lineárna kombinácia x1..xn, tak [x1..xn] = [x, x1..xn].

Dôkaz.

-H]UHMPpĺH[x1..xn] ⊆ [x, x1..xn]. Nech x = Σαixi a v = βx + Σβixi$NR]QDţtPHγi = αi+βi, potom v =

Σαixi a teda v∈[x1..xn].

Dôsledok 2.2.2.1.

.DĺGiV~VWDYDYHNWRURYx1..xn obsahuje nezávislú podsústavu xi1..xim WDN~ĺH[x1..xn] = [xi1..xim].

Dôkaz.

3RVWXSQęP RGVWUD RYDQtP YHNWRURY V~VWDY\ x1..xn spôsobom popísaným vo vete 2.2.2.4 dosiahneme

nezávislú podsústavu, generujúcu ten istý podpriestor.

Veta 2.2.2.5.

Nech V = [x1..xn] a nech y1..ym∈V sú nezávislé. Potom n≥m.

Dôkaz.

x1..xn sú generujúce ⇒ y1,x1..xn

V~ OLQHiUQH ]iYLVOp 3RG D YHW\ Sootm existuje xi ako lineárna

kombinácia predchádzajúcich

⇒

SR MHKR RGVWUiQHQt RVWiYD JHQHUXM~FD V~VWDYD $OH WHQWR SRVWXS PRĺQR

SRVWXSQHDSOLNRYD QDYăHWN\ySULţRP]DNDĺGęPRGVWUiQLPHMHGHQxi (veta 2.2.3.2 nikdy nevyberie jeden z y,

lebo tie sú lineár

QHQH]iYLVOp$E\WRWRERORPRĺQpPXVtY\ n≥m.

2.2.3. Báza vektorového priestoru.

Definícia.

Nezávislú sústavu vektorov x1..xn∈V nazývame báza vektorového priestoru V, ak

[x1..xn] = V.

Veta 2.2.3.1.

Všetky bázy vektorového priestoru V

PDM~URYQDNęSRţHW vektorov.

Dôkaz.

Tvrdenie je triviálnym dôsledkom vety 2.2.2.5.

Definícia.

3RţHWYHNWRURYEi]YHNWRURYpKRSULHVWRUXV sa nazýva dimenzia VDR]QDţXMHdim(V).

Veta 2.2.3.2.

Ak dim(V) = n

WDNNĺGęFKn+1 vektorov z V je lineárne závislých.

Dôkaz.

Tvrdenie vyplýva priamo z tvrdenia 2.2.2.5.

Veta 2.2.3.3.

.DĺGęYHNWRUx∈VPRĺQR]DStVD MHGLQęPVS{VRERPDNROLQHiUQXNRPELQiFLXEi]\x1..xn.

Dôkaz.

-H]UHMPpĺHNDĺGęYHNWRUx∈VPRĺQR]DStVD DNROLQHiUQXNRPELQiFLXEi]\x1..xn. Nech existujú dva

rôzne zápisy x =

Σαixi = Σβixi (teda ∃i : αi≠βi). Ale x - x = Σαixi - Σβixi = Σ(αi - βi)xi

DNH ĺHx1..xn sú

lineárne nezávislé,

∀i=1..n : (αi - βi) = 0 ⇒ αi = βi.

Ondrej Vršanský

- 7 -

2.2.4. Lineárne zobrazenia.

Definícia.

Funkciu f : V

→V´ nazveme lineárne zobrazenie z vektorového priestoru V do

vektorového priestoru V´, ak

• ∀x,y∈V : f(x+y) = f(x) + f(y)

• ∀x∈V ∀α∈F : f(αx) = α.f(x).

Veta 2.2.4.1.

f

MHOLQHiUQH]REUD]HQLHSUiYHYWHG\NH F(0) = 0 a ∀x,y∈V ∀α,β∈F : f(αx + βy) = α.f(x) + β.f(y).

Dôkaz.

Triviálne.

Definícia.

Lineárne zobrazenie f nazývame izomorfizmus, ak f je bijekcia.

Veta 2.2.4.2.

∀V : V a Fdim(V) sú izomorfné.

Dôkaz.

Pre daný V dimenzie n skonštruujeme izomorfizmus f : V

→Fn. Pre x = x1..xn

SRORĺtPHf(x) = y = f(x1) + ..

+ f(xn

7RMH]REUD]HQLH SUHWRĺH Y\MDGUHQLH YăHWNęFK f(xiMHSRG D YHW\MHGLQp 1DY\ăHf-1(y) = Σf-

1(f(xi)) = Σxi = xWDNĺHf je izomorfizmus.

Veta 2.2.4.3 (Základná veta o lineárnych zobrazeniach).

Nech x1..xn je báza vo V a y1..yn je báza vo W. Potom existuje jediné lineárne zobrazenie f : V→W t

DNpĺH

i=1..n : f(xi) = yi.

Dôkaz.

1DMSUYGRNiĺHPHĺHWDNp]REUD]HQLHH[LVWXMHQHMYLDFMHGQR1HFKf a gV~]REUD]HQLDVSRĺDGRYDQęPL

YODVWQRV DPL 3RWRP ∀x = α1x1..αnxn : f(x) = f(α1x1..αnxn) = Σf(αixi) = Σαi.f(xi) = Σαi.g(xi) = Σg(αixi) =

f(

α1x1..αnxn) = f(x) ⇒ f = g.

([LVWHQFLDOLQHiUQHKR]REUD]HQLDVSRĺDGRYDQęPLYODVWQRV DPLY\SOęYD]WRKRĺHIXQNFLDf, kde ∀x =

α1x1..αnxn : f(x) = α1y1..αnyn je lineárne zobrazenie.

Definícia.

Nech f : V

→W je lineárne zobrazenie. Potom funkciu Ker(f) = {x∈V; f(x) =0} nazývame

jadro (Kernel) zobrazenia f.

Veta 2.2.4.4.

-DGURNDĺGpKROLQHiUQHKR]REUD]HQLDf : V→W je podpriestor V. Navyše fMHLQMHNFLDSUiYHYWHG\NH

Kef(f) =

∅.

Dôkaz.

∀x,y∈V : f(x - y) = f(x) - f(y) = 0 - 0 = 0. Rovnako ∀x∈V ∀α∈F : f(αx) = α.f(x) = α

ýDV QDY\ăHMH

triviálna.

Definícia.

Nech f : V

→W je lineárne zobrazenie. Potom funkciu Im(f) = {f(x)∈W; x∈V} nazývame

obraz (Image) zobrazenia f.

Veta 2.2.4.5.

2EUD]NDĺGpKROLQHiUQHKR]REUD]HQLDf : V→W je podpriestor W.

Dôkaz.

∀f(x), f(y)∈W : x,y∈V. Ale ∀α,β∈F : α.f(x) + β.f(y) = f(αx + βy

SULţRPαx + βy∈V.

2.3. Matice.
2.3.1. Pojem matice.

Definícia.

Zobrazenie {1..n}

×{1..m}→F nazývame matica dimenzie n×m

QDGSR RPF.

Materiál na štátnicu

Algebra

- 8 -

2.3.2. Vyjadrenie lineárnych zobrazení pomocou matíc.

Definícia.

Nech x1..xn je báza vo V, y1..ym báza vo W a f : V→W je lineárne zobrazenie. Nech

∀i∈1..n : f(xi) =

α

0121

1

3

\

=

∑ 4

. Potom maticu Mf =

α

α

α

α

α

565

5

5

/

0

0

/

7

89

:

7;:





















nazývame maticou zobrazenia f.

Veta 2.3.2.1.

Nech f a g sú lineárne zobrazenia. Potom aj f+g je lineárne zobrazenie a Mf+g = Mf + Mg.

Dôkaz.

Triviálne.

Veta 2.3.2.2.

Nech f je lineárne zobrazenia. Potom

∀α∈F aj α.f je lineárne zobrazenie a Mαf = α.Mf .

Dôkaz.

Triviálne.

Veta 2.3.2.3.

Nech f : V

→V´a g : V´→W sú lineárne zobrazenia. Potom aj g°f je lineárne zobrazenie a Mg°f = Mf × Mg.

Dôkaz.

∀α,β∈F : g°f(αx + βy) = g(f(αx + βy)) = g(α.f(x) + β.f(y)) = α.g°f(x) + β.g°f(y). Pritom ak Mf (i,j)

R]QDţtPHαi,j a Mg (i,j) = βi,j, tak ∀i∈1..n ∀j∈1..m : Mg°f (i,j) = α1iβj1 + .. + αniβjm = g°f(xi).

Veta 2.3.2.4.

Ak f : V

→W je bijektívne lineárne zobrazenie, tak aj f-1 : W→V je lineárne zobrazenie.

Dôkaz.

∀u,v∈W ∀α,β∈F : f -1(αu + βv) = f -1(α.id(u) + β.id(v)) = f -1(α.(f°f -1)(u) + β.(f°f -1)(v)) = f -1(f(α.f -1(u)) +

f(

β.f -1(v))) = f -1(f(α.f -1(u) + β.f -1(v))) = id(α.f -1(u) +β.f -1(v)) = α.f -1(u) +β.f -1(v).

2.3.3. Riadková ekvivalencia matíc.

Definícia.

Medzi elementárne operácie na maticiach patrí

•

9]iMRPQiYęPHQDGYRFKULDGNRYVW SFRY

•

9\QiVREHQLHULDGNXVW SFDVNDOiUQRXNRQăWDQWRX

•

3ULţtWDQLHQiVRENXMHGQpKRULDGNXNLQpPX

Definícia.

Matica M sa nazýva redukovaná, ak

•

9HG~FLSUYRNNDĺGpKRQHQXORYpKRULDGNXMH

•

9NDĺGRPULDGNXMHQDMYLDFMHGQDQHnulová hodnota.

Definícia.

Matice M1 a M2 sú riadkovo ekvivalentné

DN PRĺQR XSUDYL MHGQX QD GUXK~ SRPRFRX

elementárnych riadkových úprav.

Veta 2.3.3.1.

.DĺGiPDWLFDMHULDGNRYRHNYLYDOHQWQiVQHMDNRXUHGXNRYDQRXPDWLFRX]KRGQHMGLPHQ]LH

Dôkaz.

Klasický postup redukcie matice.

Definícia.

+RYRUtPH ĺH UHGXNRYDQi PDWLFD A je trojuholníková DN NDĺGę QHQXORYę ULDGRN MHQDG

NDĺGęPQXORYęPDSRVWXSQRV LQGH[RYYHG~FLFKSUYNRYQHQXORYęFKULDGNRYMHQHNOHVDM~FD

Veta 2.3.3.2.

.DĺGi PDWLFD MH ULDGNRYR HNYLYDOHQWQá s nejakou redukovanou trojuholníkovou maticou zhodnej

dimenzie.

Ondrej Vršanský

- 9 -

Dôkaz.

Triviálne.

Veta 2.3.3.3.

Nenulové riadky trojuholníkovej redukovanej matice sú lineárne nezávislé.

Dôkaz.

Triviálne.

Dôsledok 2.3.3.1.

Nenulové riadky trojuholníkovej redukovanej matice tvoria bázu jej riadkového priestoru.

Dôkaz.

7YUGHQLH Y\SOęYD ] YHW\ D IDNWX ĺH QHQXORYp ULDGN\ WURMXKROQtNRYHM UHGXNRYDQHM PDWLFH MHM

riadkový priestor generujú.

Definícia.

+RGQRV matice je dimenzia jej riadkového pristoru.

Dôsledok 2.3.3.2.

+RGQRV WURMXKROQtNRYHMUHGXNRYDQHMPDWLFHMHSRţHWMHMQHQXORYęFKULDGNRY

Dôkaz.

Tvrdenie vyplýva priamo z definície hodnosti a dôsledku 2.3.3.1.

Veta 2.3.3.4.

Štvorcová matica dimenzie n

×n

PiKRGQRV nSUiYHYWHG\NH MHULDGNRYRHNYLYDOHQWQiVMHGQRWNRYRX

maticou rádu n.

Dôkaz.

Jediná trojuholníková redukovaná matica dimenzie n

×n je jednotková matica rádu n

WDNĺH âWYRUFRYi

matica dimenzie n

×n

PiKRGQRV nSUiYHYWHG\NH MHULDGNRYRHNYLYDOHQWQiV RX

Veta 2.3.3.5.

.DĺGpPX SRGSULHVWRUX Fn prislúcha práve jedna trojuholníková redukovaná matica dimenzie n×n nad

SR RPF.

Dôkaz.

Nedokazujeme.

2.3.4. Regulárne matice.

Definícia.

Matica An×n je regulárna, ak existuje matica Bn×n

WDNiĺHA×B = B×A = In.

Veta 2.3.4.1.

Ak

Rn

MHPQRĺLQDUHJXOiUQ\FKPDWtFUiGXn, tak (Rn, ×) je grupa.

Dôkaz.

Rn je neprázdna

SUHWRĺH In UHJXOiUQD =iURYH MH In QHXWUiOQ\P SUYNRP D LQYHU]Qę SUYRN NX NDĺGHM

matici existuje z definície regulárnosti.

Veta 2.3.4.2.

$N SRVWXSQRV HOHPHQWiUQ\FK ULDGNRYęFK RSHUiFLt NWRUęPL UHJXOiUQX PDWLFX A upravíme na In,

uplatníme na In, výsledkom bude regulárna matica A´ inverzná k A.

Dôkaz.

Nech E1 .. Ek sú regulárne matice, reprezentujúce elementárne riadkové operácie. Ak Ek×..×E1×A = In,

potom Ek×..×E1 = A´.

Veta 2.3.4.3.

Matica An×n je regulárna, ak jej prislúchajúce zobrazenie je bijekcia. Naviac ak B

MHPQRĺLQDYăHWNęFK

lineárnych bijekcií f : V

→V, tak (B, °) je grupa.

Dôkaz.

Ak fA je bijekcia, tak k nemu existuje inverné zobrazenie fB a jeho matica B je inverzná k A (A×B = In

práve tak ako fA°fB = id). (B

ƒMHJUXSDSUHWRĺHRn, ×MHJUXSDSRG D vety 2.3.4.1).

Materiál na štátnicu

Algebra

- 10 -

Definícia.

Nech x1..xn je báza vo V a y1..yn vo V´. Nech f : V→V´

MHWDNp]REUD]HQLHĺHV~UDGQLFH

vektora f(xi) vo V´ sú αi1..αin. Maticu M, ktorej prvky M(i,j) = αij, nazývame matica

zobrazenia f. Ak V = V´, M je matica prechodu od bázy x1..xn k báze y1..yn.

Poznámka.

Matice dimenzie n

×m tvoria vektorový priestor dimenzie m.n, ktorého bázou sú elementárne matice Eij.

2.3.5. Ekvivalentné matice.

Definícia.

+RYRUtPHĺHPDWLFHA a B sú ekvivalentné, ak existujú také regulárne matice P a Qĺe

B = P

×A×Q-1.

Veta 2.3.5.1.

Ekvivalencia matíc je reláciou ekvivalencie.

Dôkaz.

• ∀Am×n : A = In×A×Im-1.

• B = P×A×Q-1 ⇒ A = P-1×B×Q = (P-1)×B×(Q-1)-1

• B = P×A×Q-1 ∧ C = R×B×T-1 ⇒ C = R×P×A×Q-1×T-1

Veta 2.3.5.2.

A a B

V~HNYLYDOHQWQpSUiYHYWHG\NH V~PDWLFDPLURYQDNpKROLQHiUQHKR]REUD]HQLDY]K DGRPQDU{]QH

dvojice báz.

Dôkaz.

nech A a B sú ekvivalentné. Potom existujú regulárne P a Q

DNpĺHB = P×A×Q-1$NVLXYHGRPtPHĺHP

a Q

PRĺQRFKiSD DNRPDWLFHSUHFKRGXEi]WYUGHQLHMH]UHMPp

Veta 2.3.5.3.

Matice A a B

V~HNYLYDOHQWQpSUiYHYWHG\NH MHGQXPRĺQRQDGUXK~XSUDYL HOHPHQWiUQ\PLULDGNRYęPL

DVW SFRYęPL~SUDYDPL

Dôkaz.

Spätná implikácia je triviálna a ak B = P

×A×Q-1, tak P a Q

PRĺQRUR]REUD QDV~ţLQHOHPHQWiUQ\FKPDWtF

2.3.6. Sústavy lineárnych rovníc.

Definícia.

Sústavu lineárnych rovníc

α

α

α

α

<6<=<

<

<

<=<

[

[ E

[

[ E

>2>

?

?>2> ?

+

+

=

+

=

/

0

2

0

/

(typ (1))

reprezentujeme maticou

α

α

α

α

@6@

@

@

@

/

0 2

0

0

/

A

B

BCA B

E

E





















, ktorú nazývame rozšírená matica sústavy.

Definícia.

Sústava lineárnych rovníc

α

α

α

α

D;D=D

D

D

D=D

[

[ E

[

[ E

E2E

F

FE2E F

+

+

=

+

=

/

0

2

0

/

sa nazýva homogénna, ak

∀i∈1..m :

bi=0. Pri reprezentácii homogénnej sústavy vynechávame z

MHM PDWLFH SRVOHGQę VW SHF

Homogénna sústava, ktorej matica sa s maticou sústavy A líši iba chýbajúcim posledným

VW SFRPVDQD]ęYDV~VWDYDadjungovaná k A.

Definícia.

x1..xn∈Fn sa nazýva

NRUH sústavy lineárnych rovníc typu (1), ak ∀j∈1..m :

α

GHIG H

G

J

[ E

=

=

∑ K

$NGYHV~VWDY\PDM~URYQDN~PQRĺLQXULHăHQtKRYRUtPHĺHV~ekvivalentné.

Ondrej Vršanský

- 11 -

Veta 2.3.6.1 (Frobien).

6~VWDYDW\SXPiULHăHQLHSUiYHYWHG\NH MHMPDWLFDDUR]ătUHQiPDWLFDPDM~URYQDN~KRGQRV

Dôkaz.

Zrejmé.

Dôsledok 2.3.6.1.

.DĺGiKRPRJpQQDV~VWDYDPiDVSR MHGHQNRUH

Dôkaz.

Triviálne.

Veta 2.3.6.2.

0QRĺLQDNRUH RYKRPRJpQQHMV~VWDY\MHSRGSULHVWRUFn.

Dôkaz.

Nech x1..xn a y1..yn sú korene a α,β∈Fn. ∀j∈1..m :

α α

β

LM L

L

L

N

[

\

+

=

∑ O

=

α α

α β

PQRP PQRP

P

S

[

\

+

=

∑ T

=

α

α

UVWU

U

X

[

=

∑ Y

+

β

α

UVZU

U

X

\

=

∑ Y

= 0 + 0 = 0.

Definícia.

%i ] X S U L H V W R U X N R U H R Y K R P R J p Q Q H M V ~ V W D Y \ E X G H P H Q D ] Ś Y D fundamentálny systém

tejto sústavy.

Veta 2.3.6.3.

$ N K R G Q R V I X Q G D P H Q W i O Q H M V ~ V W D Y \ M H r, tak dimenzia jej fundamentálneho systému je n-r a on samotný

je tvorený n-rozmernými vektormi zr+1..zn, ktorých jediná jednotka sa postupne nachádza na pozíciách r+1 .. n.

Dôkaz.

Zrejmé.

Definícia.

- H G H Q Ş S H F L i O Q H Y \ E U D Q Ś N R U H V ~ V W D Y \ W \ S X Q D ] Y H P H partikulárne riešenie.

Veta 2.3.6.4.

. D ĺ G Ś N R U H V ~ V W D Y \ P R ĺ Q R ] D S t V D D N R V ~ ţ H W S D U W L N X O i U Q H K R U L H Ş H Q L D D O L Q H i U Q H M N R P E L Q i F L H

fundamentálneho systému.

Dôkaz.

3 R V D Y H W \ M H S U L H V W R U N R U H R Y S R G S U L H V W R U R P Fn . D ĺ G Ś N R U H M H S U H W R L G H Q W L I L N R Y D W H Q Ś

S D U W L N X O i U Q \ P U L H Ş H Q t P Y H N W R U G R S R G S U L H V W R U X N R U H R Y D I X Q G D P H ntálnym systémom (pohyb v rámci

S U L H V W R U X N R U H R Y
2.4. Euklidovské a unitárne priestory.
2.4.1. Euklidovské priestory.

Definícia.

Zobrazenie

ψ : V×V→R nazvem

VNDOiUQ\V~ţLQ vo V, ak je symetrické, lineárne a ∀x∈V

:

ψ(x, x) ≥ 0 (ψ(x, x) = 0 ⇔ x = 0).

Ozna

ţHQLH

ψ(x, y

E X G H P H ] D S L V R Y D 〈x, y〉.

Definícia.

Ak V je vektorový priestor a

ψ

V N D O i U Q \ V ~ ţ L Q W D N X V S R U L D G D Q ~ G Y R M L F X V, ψ) nazvem

Euklidovský priestor.

Definícia.

ý t V O R

[ [

nazvem norma G ĺ N D Y H N W R U D x a zapisujem ||x||.

Veta 2.4.1.1 (Schwartz).

∀x,y∈V : |〈x, y〉| ≤ ||x||.||y|| .

Materiál na štátnicu

Algebra

- 12 -

Dôkaz.

Nech x,y

∈V a α∈F. 0 ≤ 〈x + αy, x + αy〉 = ||x||2 + α〈x, y〉 + α〈y, x〉 + α2||y||2 = ||x||2 + 2α〈x, y〉 + (α||y||)2 ⇒

D

≤ 0 ⇒ 4α2〈x, y〉2 - 4α||x||.||y|| ≤ 0 ⇒ |〈x, y〉| ≤ ||x||.||y||.

Dôsledok 2.4.1.1 (C

DXFK\KRQHURYQRV

∀x1..xn,y1..yn∈R :

[ \

[\[

[

]

=

∑ ^

≤

[

_

_

`bac

=

∑

.

\

d

d

egfh

=

∑

.

Dôkaz.

Tvrdenie vyplýva priamo z predchádzajúcej vety.

Lema 2.4.1.1.

• ∀x∈V : ||x|| ≥ 0

• ∀x∈V ∀α∈F : ||αx|| = |α|.||x||.

• ∀x,y∈V : ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y

__ W U R M X K R O Q t N R Y i Q H U R Y Q R V

Dôkaz.

• Zrejmé z definície ||x||.

•

= U H M P p ] G H I L Q t F L H V N D O i U Q H K R V ~ ţ L Q X

• ∀x,y∈V ∀i∈1..n : |xi + yi| ≤ |xi| + |yi| ⇒ ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.

Definícia.

+ R Y R U t P H ĺ H Y H N W R U \ x a y sú ortogonálne (kolmé), ak 〈x, y〉 = 0. ∀∅≠M⊆V nazývame

P Q R ĺ L Q X M⊥ = {x∈V; ∀y∈M : 〈x, y〉 = 0} ortogonálny doplnok P Q R ĺ L Q \ M vo V.

Veta 2.4.1.2.

∀∅≠M⊆V : M⊥ je podpriestor V.

Dôkaz.

Nech x

∈M, y,z∈M⊥, α,β∈F. 〈x, αy + βz〉 = α〈x, y〉 + β〈x, z〉 = 0 + 0 = 0.

Definícia.

Systém vektorov x1..xn je ortogonálny, ak ∀i≠j∈1..n : 〈xi, xj〉 = 0 a ortonormálny, ak

navyše

∀i∈1..n : ||xi|| = 1.

Veta 2.4.1.3.

. D ĺ G i Q H Q X O R Y i R U W R J R Q i O Q D V ~ V W D Y D M H O L Q H i U Q H Q H ] i Y L V O i

Dôkaz.

Nech

∃α1..αn :

α

i

i

j

i[

=

∑ k = 0. ∀k∈1..n : 0 =

k

x

,

0

=

k

n
i

i

i

x

x ,

1

∑

= α

=

∑

=

n

i

k

i

i

x

x

1

,

α

=

∑

=

n

i

k

i

i

x

x

1

,

α

=

αk

k

k x

x ,

. Ale

k

k x

x ,

≠

WDNĺHαk = 0.

Dôsledok 2.4.1.2.

.DĺGiRUWRQRUPiOQDV~VWDYDMHOLQHiUQHQH]iYLVOi

Dôkaz.

Zrejmé.

Veta 2.4.1.4 (Gramm-Schmidtov ortogonaliza

ţQęSURFHV

Nech V je Euklidovský priestor a x1..xn je lineárne nezávislá sústava vektorov V. Potom existuje

ortonormálna sústava sústava y1..yn

WDNiĺH∀i∈1..n : [x1..xi] = [y1..yi].

Dôkaz.

Indukciou na n.

1° n = 1, x1≠0, y1 = x1.||x1||-1.

2° x1..xn+1, y1..yn, ∀i∈1..n : [x1..xi] = [y1..yi]. xn+1 = u + v, kde u∈[y1..yn], v∉[y1..yn] ⇒ u⊥v. u∈[y1..yn] ⇒

∃α1..αn : u =

α

lml

l

n

[

=

∑ o

$NSRORĺtPHαi = 〈xn+1, yi〉, potom ∀i∈1..n : 〈v, yi〉 = 〈xn+1 -

α

p2p

p

q

[

=

∑ r

, yi〉 = 〈xn+1, yi〉 -

〈xn+1 -, yi〉 = 〈xn+1, yi〉 - 〈xn+1, yi〉 = 0 a pre yn+1 = v.||v||-1 platí [x1..xn+1] = [y1..yn+1].

Dôsledok 2.4.1.3.

9NDĺGRPNRQHţQRUR]PHUQRPHXNOLGRYVNRPSULHVWRUHH[LVWXMHRUWRQRUPiOQDEi]D

Ondrej Vršanský

- 13 -

Dôkaz.

Triviálne.

Veta 2.4.1.5.

Nech V je euklidovský priestor, x1..xn jeho ortonormálna báza a x =

α

sms

s

t

[

=

∑ u

,y =

β

vwv

v

x

[

=

∑ y

∈V. Potom

〈x,y〉 =

α β

z{z

z

|

=

∑ }

.

Dôkaz.

〈x, y〉 = 〈

α

~m~

~



[

=

∑ €

,

β

w



‚

[

=

∑ ƒ

〉 =

α β

„†…‡„ˆ…

„‰…

Š

[ \

‹= =

∑ ŒŒ

=

α β

Ž{Ž

Ž



=

∑ 

.

Veta 2.4.1.6.

Ka

ĺGpGYDHXNOLGRYVNpSULHVWRU\URYQDNHMGLPHQ]LHV~L]RPRUIQp

Dôkaz.

Nech V a V´ sú euklidovské priestory dimenzie n, x1..xn je ortonormálna báza vo V a y1..yn ortonormálna

báza vo V´

3RG D]iNODGQHMYHW\ROLQHiUQ\FK]REUD]HQLDFKYHWDH[LVWXMHjediné lineárne zobrazenie f

WDNpĺH∀i∈1..n : f(xi) = yi. Pritom ∀x =

α

‘m‘

‘

’

[

=

∑ “

,y =

β

”w”

”

•

[

=

∑ –

∈V : 〈f(x), f(y)〉 =

∑

∑

=

=

n
i

i

i

n
i

i

i

x

f

x

f

1

1

)

(

,)

(

β

α

=

α

β

—w—

—

˜

—w—

—

˜

\

\

=

=

∑

∑

™

™

=

α β

š{š

š

›

=

∑ œ

SRG DYHW\ 〈x, y〉.

2.4.2. Ortogonálne matice.

Definícia.

Zobrazenie f : V

→V´ je ortogonálne, ak ∀x,y∈V : 〈x, y〉 = 〈f(x), f(y)〉.

Veta 2.4.2.1.

.DĺGpRUWRJRQiOQH]REUD]HQLHMHLQMHNWtYQH

Dôkaz.

〈x, y〉 = 〈f(x), f(y)〉 ⇒ f(x) = 0 ⇔ x = 0 ⇒ Ker(f) = {0}.

Veta 2.4.2.2.

Ak f je ortogonáln

HWDNNDĺG~RUWRQRUPiOQXV~VWDYX]REUD]tQDRUWRQRUPiOQX

Dôkaz.

Zrejmé z definície.

Definícia.

Štvorcová matica A sa nazýva ortogonálna

DN MHM ULDGN\ VW SFH WYRULD RUWRJRQiOQX

sústavu v Rn. Matica A⊥ transponovaná k A

Y]QLNQH]iPHQRXULDGN\]VW SFHa naopak).

Veta 2.4.2.3.

A⊥ je transponovaná k A

SUiYHYWHG\NH A×A⊥ = In.

Dôkaz.

Ak ri

R]QDţtPHr-ty riadok A, tak (A×A⊥)(i,j) = 〈ri, rj〉 =

← ≠

← =





L M

L M .

Veta 2.4.2.4.

2U W R J R Q i O Q H P D W L F H V W X S D n tvoria spolu s operáciou násobenia matíc grupu.

Dôkaz.

(A

×B)×(A×B)⊥ = A×B×B⊥×A⊥ = In.

Definícia.

*U X S X R U W R J R Q i O Q \ F K P D W t F V W X S

D n nazývame ortogonálna grupa V W X S D n a

zapisujeme On.
2.4.3. Unitárne priestory.

2]QDţHQLH

Nech x

∈C, x= a + bi ýt V O R a - bi E X G H P H ] D S L V R Y D

[ .

Materiál na štátnicu

Algebra

- 14 -

Definícia.

Nech V je vektorový priestor na C.

6NDOiUQ\V~ţLQ vo V M H N D ĺ G p ] R E U D ] H Q L H ϕ : V×V→C

W D N p ĺ H

• ∀x,x´,y∈V ∀α,β∈C : ϕ(αx + βx´, y) = α.ϕ(x, y) + β.ϕ(x´, y)
• ∀x,y∈V : ϕ(x, y) =

ϕ

\ [

• ∀x∈V : ϕ(x, x) ≥ 0 (ϕ(x, x) = 0 ⇔ x = 0).

Veta 2.4.3.

6FKZDUW]RYDQHURYQRV

Ak V je unitárny priestor, tak

∀x,y∈V : |〈x, y〉| ≤ ||x||.||y||.

Dôkaz.

∀x,y∈V : 〈x, y〉 = |〈x, y〉|(cos ϕ + i.sin ϕ). nech t∈R a x´= t.x + (cos ϕ + i.sin ϕ).y.
0

≤ 〈x´, x´〉 = 〈t.x + (cos ϕ + i.sin ϕ).y, t.x + (cos ϕ + i.sin ϕ).y〉 = 〈tx, tx〉 + 〈tx, (cos ϕ + i.sin ϕ).y 〉 + 〈(cos

ϕ + i.sin ϕ).y, tx〉 + 〈(cos ϕ + i.sin ϕ).y, (cos ϕ + i.sin ϕ).y〉 = t2||x||2 + t(cos ϕ - i.sin ϕ)〈x, y〉 + t(cos ϕ + i.sin

ϕ)〈x, y〉 + (cos ϕ - i.sin ϕ)(cos ϕ + i.sin ϕ)||y||2 = t2||x||2 + t(cos ϕ - i.sin ϕ)|〈x, y〉|(cos ϕ + i.sin ϕ) + t(cos ϕ + i.sin

ϕ)|〈x, y〉|(cos ϕ - i.sin ϕ) + (cos ϕ - i.sin ϕ)(cos ϕ + i.sin ϕ)||y||2 = t2||x||2 + 2t|〈x, y〉| + ||x||2. 0 ≥ D = 4t2|〈x, y〉|2 -
4t2||x||.||y||

⇒ |〈x, y〉| ≤ ||x||.||y||.

Lema 2.4.2.1.

Nech V je unitárny priestor. Potom

• ∀x∈V : ||x|| ≥ 0 (||x|| = 0 ⇔ x = 0)

• ∀x∈V ∀α∈R : ||α.x|| = |α|.||x||

• ∀x,y∈V : ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.

Dôkaz.

• =U H M P p ] G H I L Q t F L H V N D O i U Q H K R V ~ ţ L Q X

• =U H M P p ] G H I L Q t F L H V N D O i U Q H K R V ~ ţ L Q X

• ||x + y||2 = 〈x+y, x+y〉 = ||x||2 + 〈x, y〉 + 〈y, x〉 + ||y||2 = (

Uţ(x) - U H i O Q D ţ D V x) = ||x||2 + 2.Uţ(〈x, y〉) + ||y||2 ≤

||x||2 + 2

〈x, y〉 + ||y||2 = (||x|| + ||y||)2.

Veta 2.4.3.2.

Nech V je unitárny priestor a x1..xn je lineárne nezávislá sústava vektorov V. Potom existuje ortonormálna

sústava sústava y1..yn W D N i ĺ H ∀i∈1..n : [x1..xi] = [y1..yi].

Dôkaz.

Dôkaz rovnaký ako pre euklidovské priestory (veta 2.4.1.4).

Dôsledok 2.4.3.1.

9 N D ĺ G R P N R Q H ţ Q R U R ] P H U Q R P X Q L W i U Q R P S U L H V W R U H V existuje ortonormálna báza.

Dôkaz.

Zrejmé.

Veta 2.4.3.3.

Nech V je unitárny priestor, x1..xn jeho ortonormálna báza a x =

α

m



ž

[

=

∑ Ÿ

,y =

β

w

ˇ

[

=

∑ ˘

∈V. Potom 〈x, y〉

=

α β

ŁWŁ

Ł

¤

=

∑ Ą

.

Dôkaz.

〈x, y〉 = 〈

α

¦m¦

¦

§

[

=

∑ ¨

,

β

©w©

©

Ş

[

=

∑ «

〉 =

α β

¬®­Ż¬°­

¬‰­

±

[ \

˛= =

∑ łł

=

α β

´I´

´

µ

=

∑ ¶

.

Veta 2.4.3.4.

Nech V je unitárny alebo euklidovský prietor a x1..xn jeho ortonormálna báza. Potom
• ∀x =

α

·m·

·

¸

[

=

∑ ą

∈V ∀i∈1..n : αi = 〈x, xi〉

• ∀x,y∈V : ||x+y||2 + ||x-y||2 = 2(||x||2 + ||y||2)
•

[

ş

ş

»

=

∑ Ľ =

[

˝

˝

ľ

=

∑ ż .

Ondrej Vršanský

- 15 -

Dôkaz.

• 〈x, xi〉 = 〈

α

Ŕ2Ŕ

Ŕ

Á

[

=

∑ Â

, xi〉 =

α

Ă2ÇÄ

Ă

Ĺ

[ [

=

∑ Ć

=

α

ÇČLJÉ

Ç

Ę

[ [

=

∑ Ë

=

αi.

• ||x+y||2 + ||x-y||2 = 〈x+y, x+y〉 + 〈x-y, x-y〉 = 〈x, x〉 + 〈x, y〉 + 〈y, x〉 〈y, y〉 + 〈x, x〉 - 〈x, y〉 - 〈y, x〉 + 〈y, y〉 =

2(

〈x, x〉 + 〈y, y〉) = 2(||x||2 + ||y||2).

•

2

1

∑

=

n

i

i

x

=

∑

∑

=

=

n
k

k

n
i

i

x

x

1

1

,

=

∑ ∑

=

=

n

i

n

k

k

i x

x

1

1

,

=

∑

=

n

k

k

k x

x

1

,

=

∑

=

n

k

k

x

1

.

Veta 2.4.3.5.

Nech V je unitárny alebo euklidovský priestor, x1..xn ortogonálna sústava vektorov z V a x∈V. Ak ∀i∈1..n

:

αi = 〈x, xi〉, potom

•

α

Ě

Ě

Í

Î

Ď

=

∑

≤ ||x||2

(

%HVVHORYDQHURYQRV )

• Ak x1..xn je báza vo V, tak

α

Ě

Ě

Í

Î

Ď

=

∑

= ||x||2

(

3DUVHYDORYDURYQRV ).

Dôkaz.

Doplníme x1..xn na bázu x1..xm

3RG DYHW\__x||2 =

α

Ě

Ě

Đ

Î

Ď

=

∑

≥

α

Ń

Ń

Ň

Ó

Ô

=

∑

.

2.5. Grupy.
2.5.1. Pologrupy.

Lema 2.5.1.1.

Nech G je grupa a nech ax = ay (xa = ya). Potom x = y.

Dôkaz.

ax = ay

⇒ a-1ax = a-1ay ⇒ x = y.

Definícia.

Usporiadanú dvojicu (G,

•) nazývame pologrupa, ak G

MH QHSUi]GQD PQRĺLQD D • je

binárna asociatívna operácia na G.

Lema 2.5.1.2.

Nech (G,

•)

MHSRORJUXSDVYODVWQRV DPL

1.

∃e∈G ∀x∈G : e•x = x

2.

∀x∈G ∃y∈G : y•x = e. Potom G je grupa.

Dôkaz.

Nech y

•x = e a z•y = e. Potom x•y = e•x•y = () = z•y•x•y =z•(y•x)•y = z•e•y = z•y = e a x•e = x•y•x =

e

•x = x.

Lema 2.5.1.3.

Pologrupa (G,

•

MHJUXSDSUiYHYWHG\NH ∀a,b∈G ∃x,y∈G : x•a = b ∧ a•y = b.

Dôkaz.

Dopredná implikácia je triviálna. Obrátene nech

∀a,b∈G ∃x,y∈G : x•a = b ∧ a•y = b

2]QDţPHeNRUH

rovnice x

•a = a. Potom ∀b∈G : e•b = e•(a•y) = (e•a)•y = a•y = b ⇒ e

MH DYiMednotka GDSUHWRSRG DOHP\

2.5.1.2 je G grupa.

Veta 2.5.1.1.

$NYNRQHţQHMSRORJUXSHG platia pravidlá o krátení, tak G je grupa.

Dôkaz.

3RORĺPH∀a∈G : ϕa : G→GWDNpĺH∀a∈G : ϕa(x) = a•x a ψa : G→GWDNpĺH∀x∈G : ψa(x) = x•a. Obe

tieto zobrazenia sú injektívne (

ϕa(x) = ϕa(y) ⇒ a•x = a•y ⇒ x = y a rovnako ψa(x) = ψa(y) ⇒ x•a = y•a ⇒ x =

y

DNH ĺHGMHNRQHţQiV~MDVXUMHNWtYQHDWHGDELMHNWtYQH$OHSRWRP∀a,b∈G ∃x,y∈G : ϕa(x) = a•x = b ∧

ψa(y) = y•a = b

DWHGDSRG DOHP\MHG grupa.

Materiál na štátnicu

Algebra

- 16 -

2.5.2. Izomorfizmus na grupách.

Veta 2.5.2.1.

Nech A

MHPQRĺLQD3RWRPXVSRULDGDQiGYRMLFDP(A), ° ) je grupa.

Dôkaz.

Triviálne.

Definícia.

(

P(A), ° ) je

SHUPXWDţQi JUXSD na A (alebo grupa permutácií). Pre A = {1..n} ju

nazývame symetrická grupa rádu n

DR]QDţXMHPe Sn.

Definícia.

Nech (G,

∗) a (H, •) sú grupy. Bijekciu f : G→H s predpisom ∀x,y∈G : f(x∗y) =

f(x)

•f(y) nazývame izomorfizmus

9WDNRPSUtSDGHKRYRUtPHĺHA a B sú izomorfné.

Veta 2.5.2.2.

Nech f : A

→B je bijekcia. Potom (P(A), ° ) a (P(B), ° ) sú izomorfné.

Dôkaz.

Nech

ϕ,ψ∈P(A

3RORĺPHΦ : P(A)→ P(BWDNpĺHΦ(ϕ) = f°ϕ°f-1. Potom f(ϕ°ψ) = f°ϕ°ψ°f-1 = f°ϕ°f-1°

f°

ψ°f-1 = (f°ϕ°f-1)° (f°ψ°f-1) = Φ(ϕ)°Φ(ψ) a Φ je izomorfizmus.

Veta 2.5.2.3.

Nech f : (G,

∗)→(H, •) je izomorfizmus. Potom aj f-1 je izomorfizmus.

Dôkaz.

∀u,v∈H : f-1(u•v) = f-1((f°f-1)(u)• (f°f-1)(v)) = f-1(f(f-1(u))•f(f-1(v))) = f-1(f( f-1(u) ∗ f-1(v) )) = f-1(u) ∗ f-1(v).

2.5.3. Podgrupy.

Definícia.

Nech (G,

∗) a (H, •

V~ JUXS\ +RYRUtPH ĺH H je podgrupa G a píšeme H⊆G, ak H je

SRGPQRĺLQDG a ∀x,y∈H : x∗y = x•y.

Veta 2.5.3.1.

1HSUi]GQDSRGPQRĺLQDH grupy (G, •MHMHMSRGJUXSDSUiYHYWHG\NH

• e∈H

• ∀x∈H : x-1∈H

• ∀x,y∈H : x•y∈H.

Dôkaz.

Dopredná implikácia je triviálna. Obrátene nech platia uvedené podmienky. Potom (H,

•

VS D

podmienky grupy a

NH ĺHH⊆G, H je podgrupa G.

Veta 2.5.3.2.

1HSUi]GQDSRGPQRĺLQDH grupy (G, •MHMHMSRGJUXSDSUiYHYWHG\NH ∀x,y∈H : x•y-1∈H.

Dôkaz.

Dopredná implikácia je triviálna. Obrátene nech

∀x,y∈H : x•y-1∈H. Potom ∀x∈H : x•x-1= e∈H

=iURYH

∀x∈H : e•x-1 = x-1∈H,

WDNĺHHMHSRG DYHW\SRGJUXSDG.

Veta 2.5.3.3.

Nech {Hi}i∈1..n je systém podgrúp G. Potom aj

+

Ő

Ő

Ö

=

×

,

je podgrupa G.

Dôkaz.

Triviálne.

Veta 2.5.3.4.

Nech M

MHQHSUi]GQDSRGPQRĺLQDJUXS\G. Potom existuje jediná jej podgrupa [M] takáĺH

1.

[M]

⊇M

2.

∀H<G : H⊇M ⇒ H⊇[M].

Ondrej Vršanský

- 17 -

Dôkaz.

Nech {Hi}i∈1..n je systém podgrúp G

WDNęFKĺH∀i∈1..n : Hi⊇M. Potom aj [M] =

+

Ő

Ő

Ö

=

×

,

je podgrupa G a

[M]

⊇

03ULWRP]YODVWQRVWLY\SOęYDĺHNDĺGpGYHWDNpWRSRGJUXS\V~]KRGQpWDNĺH>M] je jediná.

Definícia.

[M] nazývame minimálna podgrupa G, obsahujúca M.

Veta 2.5.3.5.

[M] =

{ }

{

}

[ [

L

Q [ 0 H

Ř ŮŘ

Ú

Ú

Ű

ÜŢÝ

∀ ∈

∈ ∧ ∈ −

.

Dôkaz.

M

∉∅ ⇒ ∃x∈M ⇒ x•x-1=e∈[M]

=iURYH ∀x= [ [

ß ŕß á

âäă

, y=

\ \

ĺ ćĺ6ç

čęé

∈M : x•y =

[ [ \ \

ë ěëîí ďí

đ

ń

ň

ň

ó

ó

∈[M] a x-1 =

[

[

ô őô ö

÷ř− −

∈[M]

W D N ĺH>M] je podgrupa G=iURYH >M] ⊇ minimálnej podgrupy G, obashujúcej MD N H ĺHD M

RE UiW HQH N D ĺGp x =

{ }

[ [

L

Q [ 0 H

ů úů

ű

ű

ü

ýäţ

∀ ∈

∈ ∧ ∈ −

∈ do minimálnej podgrupy, [M] je minimálna

podgrupa.

Definícia.

Nech (G,

•) je grupa, a∈G. n-tou mocninou a rozumieme an =

( )

D

D Q

D Q

H Q

D

Q

˙

˙

−

− −

• ← >

← =

← =

← <













∈G.

Lema 2.5.3.1.

Nech (G,

•) je pologrupa, a, b1..bn∈G

S ULţRP ∀i∈1..n : a•bi = bi•a. Potom a•(b1•..•bn) = (b1•..•bn)•a.

Dôkaz.

Triviálne.

Veta 2.5.3.6.

Nech a,b

∈G. Potom ∀m,n∈Z :

1.

am

•an = am+n

2.

(am)n = am.n

3.

a

•b = b•a ⇒ (a•b)n = an•bn.

Dôkaz.

1.

Indukciou na n. am

•a1 = am+1 z definície. am•an+1 = am•an•a = am+n•a = am+n+1

2.

Indukciou na n. (am)1 = am. (am)n+1 = (am)n

•am = am.n•am = am.(n+1).

3.

Indukciou na n. (a

•b)1 = a•b = a1•b1. (a•b)n+1 = (a•b)n•a•b = an•bn•a•b = an+1•bn+1.

(Dôkaz bol vykonaný pre n > 1; pre záporné n je dôkaz symetrický).

2.5.4. Cyklické grupy.

Definícia.

Grupa G sa nazýva cyklická, ak

∃a∈G : G = [a]. Prvok a nazývame generátor grupy G.

Ak

∀m,n∈N : am≠an, tak G

MHQHN RQHţQiLQD N ∃n∈N : an = a) je G cyklická grupa rádu n.

Veta 2.5.4.1.

.D ĺGiS RGJ UX S D F \ N OLF N HMJ UX S \ MHF \ N OLF N i

Dôkaz.

Nech H je netriviálna podgrupa G = [a] a nech p

= min{n∈N; an∈H}

-H]UHMP p ĺH[ap]⊆H. Ale ∀s∈N

∃q,r∈N : as = (ap)q•ar = ap.q+r, kde r≤p. Ale as∈H ⇒ ar∈H (lebo apq∈H) ⇒ r≥p ∨ r = 0 ⇒ r = 0 ⇒ as∈[ap] ⇒
[ap]

⊇H ⇒ H = [ap] ⇒ H je cyklická.

Veta 2.5.4.2.

.D ĺGp GYHF \ N OLF N p J UX S \ URYQD N p K RUiGX V~ L]RP RUIQp

Dôkaz.

Nech [a] a [b]

V~URYQDNpKRUiGX3RWRPK DGDQęPL]RPRUIL]PRPMH]REUazenie an→bn.

Materiál na štátnicu

Algebra

- 18 -

2.5.5. Homomorfizmy grúp.

Definícia.

Nech (G,

∗) a (H, •) sú grupy. Zobrazenie f : G→H nazývame izomorfizmus, ak ∀x,y∈G

: f(x

∗y) = f(x)•f(y).

Veta 2.5.5.1.

Nech f : (G,

•)→(H, ∗) a g : (H, ∗)→(K, ⊕) sú homomorfizmy. Potom aj g°f je homomorfizmus.

Dôkaz.

∀x,y∈G : g°f(x+y) = g(f(x+y)) = g(f(x) ∗ f(y)) = g(f(x))⊕g(f(y)) = g°f(x) ⊕ g°f(y).

Veta 2.5.5.2.

Nech f : (G,

•)→(H, ∗) je homomorfizmus. Potom

1.

Ak eG je jednotka v G a eH v H, tak f(eG) = eH

2.

∀x∈G : f(x-1) = (f(x))-1

3.

∀x∈G ∀n∈Z : f(xn) = (f(x))n.

Dôkaz.

1.

eH ∗ f(eG) = f(eG) = f(eG•eG) = f(eG) ∗ f(eG) ⇒ f(eG) = eH.

2.

∀x∈G : eH = f(eG) = f(x•x-1) = f(x) ∗ f(x-1) ⇒ f(x-1) = (f(x))-1.

3.

∀x∈G ∀n∈N : f(x1) = f(x)1 a f(xn+1) = f(xn•x) = f(xn) ∗ f(x) = f(x)n ∗ f(x) = f(x)n+1. Ak n < 0, f(xn) = f((x-

1)-n) = f(x-1)-n = (f(x)-1)-n = (f(x))n.

Veta 2.5.5.3.

Nech f : (G,

•)→(H, ∗) je homomorfizmus. Potom Ker(f)⊆G a Im(f)⊆H.

Dôkaz.

Ker(f

MHQHS Ui]GQHOHE RS RG D YHW \ RGVHN eG∈Ker(f =iURYH ∀x,y∈Ker(f) : f(x•y) = f(x) ∗ f(y)

= eH ∗ eH = eH

D S RG D YHW \ RGVHN f(x-1) = f(x)-1 = eH-1 = eHţLĺHKer(f) je podgrupa G. podobne je

neprázdne aj Im(f) (z rovnakého dôvodu ako Ker(f)),

∀x,y∈Im(f) ∃u,v∈G : f(u) = x a f(v) = y. Potom x∗y-1 =

f(u)

∗f(v)-1 = f(u)∗f(v-1) = f(u•v-1)∈Im(f

ţLĺHIm(f) je podgrupa H.

Veta 2.5.5.4.

Nech f : [a]

→(G, •) je surjektívny homomorfizmus. Potom G je cyklická grupa.

Dôkaz.

f je surjektívne

⇒ ∀x∈G ∃ n∈N : f(an) = x ⇒ f(a)n = x ⇒ G = [f(a)].

Veta 2.5.5.5.

Nech f : (G,

•)→(H, ∗) je homomorfizmus. Potom f

MHLQMHN F LD VX UMHN F LD S UiYHYW HG\ N H Ker(f) = {e}

(Im(f) = H).

Dôkaz.

Dopredné implikácie sú triviálne. Obrátene nech Ker(f) = {e}. Potom

∀x,y∈G : f(x) = f(y) ⇒ eH = f(x) ∗

f(y)-1

= f(x) ∗ f(y-1) = f(x•y-1) ⇒ x•y-1 = eG ⇒ x = y. Obrátená implikácia pre Im(f) je triviálna.

3HUPXWDţQpJUXS\

Definícia.

Nech (G,

•) je grupa. ∀a∈G nazývame zobrazenie fa : G→G, kde ∀x∈G : fa(x) = a•x

(x

•a

D Yá (pravá) translácia a.

Lema 2.5.6.1.

Nech (G,

•) je grupa. Potom ∀a∈G

MH D YiLS UD YiW UD QVOiF LD a bijektívna.

Dôkaz.

'{N D ]Y\ N RQiP HS UH D Y~ W UD QVOiF LX '{N D ]S UHS UD Y~ W UD QVOiF LX MHV\ P HW ULF N Ś ∀x,y∈G : fa(x) = fa(y) ⇔

a

•x = a•y ⇔ x = y ⇒ fa je injekcia

=iURYH ∀x∈G : fa(a-1•x) = a•a-1•x = x ⇒ fa je surjekcia ⇒ fa je bijekcia.

Dôsledok 2.5.6.1.

Nech (G,

•) je grupa a fa

MH D Yi S UD Yi W UD QVOiF LD S UYN X a∈G. Potom fa∈P(G).

Ondrej Vršanský

- 19 -

Dôkaz.

Tvrdenie vyplýva priamo z lemy 2.5.6.1 a definície

P(G).

Veta 2.5.6.1 (Cayley).

.X N D ĺGHMJ UX S H G, • H[LVW X MHL]RP RUIQiS RGJ UX S D S HUP X W D ţQHMJ UX S \ P(G).

Dôkaz.

6W D ţt X N i]D ĺHS UHH = {fa; a∈G, faMH D Yi S UD Yi W UD QVOiF LD a} je (H, °) podgrupa G. Ale ∀a,b,x∈G :

fa°fb(x) = fa(fb(x)) = fa(b•x) = a•b•x = fa•b(x

W D N ĺHW YUGHQLH platí.

Definícia.

Permutácia

ϕ∈Sn sa nazýva cyklus, ak ∃i1<..<im∈1..n ∀k∈1..m : ϕ(ik) = ik+1 ∧ ϕ(im) =

i1

ýt VORm nazývame G ĺND cyklu ϕ&\ N OX VG ĺN \ VD QD ]Ś YD transpozícia.

Definícia.

ýt VORr = min{n∈N; ϕn = id} sa nazýva rád cyklu ϕ.

Veta 2.5.6.2.

R

iGN D ĺGp K RF \ N OX MHURYQŚ MHK RG ĺN H

Dôkaz.

Triviálne.

Veta 2.5.6.3.

Nech

ϕ,ψ∈Sn sú disjunktné. Potom ϕ°ψ = ψ°ϕ.

Dôkaz.

Triviálne.

Dôsledok 2.5.6.2.

Ak

ϕ,ψ∈Sn sú disjunktné, tak ∀n∈N : (ϕ°ψ)n = ϕn ° ψn.

Dôkaz.

Tvrdenie vyplýva priamo z predchádzajúcej vety.

Veta 2.5.6.4.

.D ĺGi S HUP X W iF LD ϕ≠id VD Gi D ĺ QD S RUD GLH ]iW YRULHN MHGLQŚ P VS {VRE RP ]D S t VD Y W YD UH V~ ţLQX

GLVMX QN W QŚ F K F \ N ORYG ĺN \ D VS R

Dôkaz.

Triviálne.

Veta 2.5.6.5.

.D ĺGiϕ∈SnVD GiQD S t VD D N RV~ ţLQW UD QVS R]t F Lt

Dôkaz.

3 RG D YHW \ VD N D ĺGiϕ≠idGiQDStVD DNRV~ţLQGLVMXQNWQęFKF\NORY=iURYH F\NOXVi1, .. , in),

kde n

! VD GiUR]ORĺL QD W UD QVS R]t F LH i1, i2)° .. °(in-1, in). id vyjadrím ako (i1, i2)°(i1, i2).

Veta 2.5.6.6.

Všetky vyjadrenia

ϕ

D N RV~ ţLQW UD QVS R]t F Lt P D M~ URYQD N ~ S D ritu.

Dôkaz.

Triviálne.

Definícia.

ϕ∈Sn je párna

D N MH Y\ MD GULW H Qi D N R V~ ţLQ S iUQHK R S RţW X W UD QVS R]t F Lt ϕ je nepárna,

ak nie je párna.

Dôsledok 2.5.6.3.

1.

6~ ţLQGYRF K S HUP X W t F Lt URYQD N HMS D ULW \ MHS iUQ\

2.

Inverzná permutácia k párnej (nepárnej) je párna (napárna).

3.

Párne permutácie tvoria spolu s operáciou skladania zobrazení podgrupu Sn.

Dôkaz.

1.

Vyplýva priamo z predchádzajúcej vety.

2.

Vyplýva priamo z predchádzajúcej vety.

Materiál na štátnicu

Algebra

- 20 -

3.

Vyplýva z 1. a 2.

Definícia.

Grupu párnych permutácií z Sn nazývame alternujúca podgrupa Sn.

2.5.7. Rozklady na grupách.

Definícia.

Systém {Ai}i∈1..n

S RGP Rĺt QA je rozklad A, ak ∀i≠j∈1..n : Ai∩Aj=∅.

Definícia.

Nech (H,

∗) je podgrupa (G, ∗). ∀g∈G

GHILQX MHP H P QRĺLQX Hg = {g∗h; h∈H) a Hg =

{h

∗g; h∈H}

D OHMR]QD ţP HG|H = {Hg; g∈G} a G|H = {Hg; g∈G}.

Veta 2.5.7.1.

Nech (H,

∗) je podgrupa (G, ∗). Potom G|H a G|H sú rozklady grupy G.

Dôkaz.

7YUGHQLHGRN iĺHP HS UHG|H. Dôkaz pre G|H je symetrický. Nech ∃g,g´∈G : Hg∩Hg´≠∅. Potom ∃x∈G :

x

∈Hg ∧ x∈Hg´ ⇒ ∃h,h´∈H : x = g∗h = g´∗h´ ⇒ g = g´∗h´∗h∈Hg´ ∧ g´ = g∗h∗h´∈Hg ⇒ Hg = Hg´.

Veta 2.5.7.2.

Nech (H,

∗) je podgrupa (G, ∗). Potom ∀g∈G : Hg = H.

Dôkaz.

f : H

→Hg s predpisom f(x) = g∗x je zjavne bijekcia.

Veta 2.5.7.3 (Lagrange).

Nech (H,

∗) rádu p

MHS RGJ UX S D N RQHţQHM G, ∗) rádu n. Potom nMHGHOLW H Qp p.

Dôkaz.

3 RG D YHW \ ∀ g∈G : Hg = H ⇒ |Hg| = |H| = p$ N H ĺHG|H je rozklad GVN RQHţQŚ P S RţW RP

komponentov (lebo g

MHN RQHţQi _ G| = nMHGHOLW H Qp _ H| = p.

Dôsledok 2.5.7.1.

Nech G

MHN RQHţQiJ UX S D UiGX n. Potom ∀g∈G : rád g delí n.

Dôkaz.

Rád g je rádom [g]

W D N ĺHW YUGHQLHY\ S OŚ YD S ULD P R]/D J UD QJ HRYHMYHW \

Dôsledok 2.5.7.2.

.D ĺGiJ UX S D S UYRţt VHOQp K RUiGX MHF \ N OLF N i

Dôkaz.

Nech G je rádu n a n

MHS UYRţt VOR3 RW RP ∀g∈G : g≠e ⇒ [g] je rádu n, lebo nQHP iLQŚ F K GHOLW H RY

2.5.8. Invariantné podgrupy.

Definícia.

Podgrupa H grupy G sa nazýva invariantná alebo normálna, ak

∀g∈G : Hg = Hg.

Zapisujeme H

<G.

Lema 2.5.8.1.

Podgrupa H grupy G

MHLQYD ULD QW QiS UiYHYW HG\ N H ∀g∈G : Hgg´ = {g∗h∗g-1; h∈H} ≈ H.

Dôkaz.

H

<G ⇒ ∀g∈G : Hg = Hg ⇒ ∀g∈G ∃h∈Hg ∃h´∈Hg : h∗g = g∗h´ ⇒ g = h∗g∗h

D N H ĺHS RG D YHW \

2.5.7.2 Hg = Hg = H, Hgg´ = {g∗h∗g-1; h∈H} = H. Obrátene ∀g∈G ∀v∈Hg ∃h∈H : x∗h = x∗h∗x-1∗x = (h∗x-1∗x =

h´)

= h´∗x∈Hg ⇒ Hg⊆Hg

2 S D ţQiLQN O~ ]LD S RGRE QH

Dôsledok 2.5.8.1.

Podgrupa H grupy G

MHLQYD ULD QW QiS UiYHYW HG\ N H ∀g∈G : ∀h∈H : g∗h∗g-1 ∈ H.

Dôkaz.

Tvrdenie vyplýva priamo z predchádzajúcej vety.

Ondrej Vršanský

- 21 -

Veta 2.5.8.2.

Ak f : G

→H je homomorfizmus, tak Ker(f)<G.

Dôkaz.

∀g∈G, x∈Ker(f) : f(g∗x∗g-1) = f(g) ∗ f(x) ∗ f(g-1) = f(g) ∗ f(g-1) = f(g∗g-1) = f(e) = e ⇒ g

∗x∗g-1∈Ker(f).

Definícia.

Nech G

MHJ UX S D 0 QRĺLQX Z(G)={g∈G; ∀x∈G : x∗g = g∗x} nazývame centrum grupy G.

Veta 2.5.8.3.

&HQW UX P N D ĺGHMJ UX S \ MHMHMLQYD ULD QW QRX S RGJ UX S RX

Dôkaz.

∀g∈G, x∈Z(G) ∀h∈G : g∗x∗g-1∗h = x∗g∗g-1∗h = x∗e∗h = x∗h = h∗x = h∗x∗g∗g-1 = h∗g∗x∗g-1 ⇒ Z(G)<G.

Definícia.

Nech G

MH J UX S D 0 QRĺLQX K(G) = {g∗h∗g-1∗h-1; g,h∈G} nazývame komutant grupy G.

Prvok g

∗h∗g-1∗h-1

R]QD ţX MHP H[g, h].

Veta 2.5.8.4.

.RP X W D QW N D ĺGHMJ UX S \ MHMHMLQYD ULD QW QiS RGJ UX S D

Dôkaz.

∀g∈G, k=a∗b∗a-1∗b-1∈K(G) : g∗k∗g-1 = g∗a∗b∗a-1∗b-1∗g-1 = g∗a∗g-1∗g∗b∗g-1∗g∗ a-1∗g-1∗g∗b-1∗g-1 =

[g

∗a∗g-1, g∗b∗g-1]∈K(G).

Definícia.

Nech G je grupa. Homomorfizmus f : G

→G nazývame automorfizmus

0 QRĺLQX

všetkých automorfizmov na G

R]QD ţt P HA(G).

Veta 2.5.8.5.

Nech G je grupa. Potom (A(G), °) je grupa.

Dôkaz.

id je jednotka v A(G),

∀f∈A(G) : f-1∈A(G

OHE R N D ĺGŚ automorfizmus je bijekcia, a ∀f,g∈A(G) :

f°g

∈A(G), lebo automorfizmus je aj homomorfizmus.
Definícia.

Nech G je grupa. Grupa (A(G), °) sa nazýva alternujúca grupa na G.

Veta 2.5.8.6.

Nech G je grupa. Potom

∀g∈G je zobrazenie ϕg : G→G s predpisom ϕg(x) = g∗x∗g-1 automorfizmus.

Dôkaz.

Triviálne.

Definícia.

Nech G je grupa. Potom

∀g∈G automorfizmus ϕg : G→G s predpisom ϕg(x) = g∗x∗g-1

nazývame vnútorný

D X W RP RUIL]P X V X UţHQŚ S UYN RP g 0 QRĺLQX YQ~ W RUQŚ F K D X W RP RUIL]P RY

X UţHQŚ F K S UYN D P LGR]QD ţX MHP HI(G).

Veta 2.5.8.7.

Nech G je grupa. Potom (I(G), °) je grupa.

Dôkaz.

ϕg°ϕh(x) = ϕg(ϕh(x)) = ϕg(h∗x∗h-1) = g∗h∗x∗h-1∗g-1 = ϕg°h(x

2 VW D W Qp YOD VW QRVW L]D UX ţX Me veta 2.5.8.5.

Veta 2.5.8.8.

Nech G je grupa. Potom I(G)

<A(G).

Dôkaz.

∀f∈A(G) ∀ϕg∈I(G) ∀x∈G : ϕf(g)(x) = f(g) ∗ x ∗ f(g)-1 = f(g) ∗ f( f -1(x) ) ∗ f(g)-1 = f(g ∗ f-1(x) ∗ g-1) = f(

ϕg(f-1(x))) = f °ϕg°f-1(x)∈I(G).

Materiál na štátnicu

Algebra

- 22 -

2.5.9. Faktorové grupy.

Veta 2.5.9.1.

Nech (H,

•)<(G, •). Potom existuje jediná binárna operácia ∗

W D N iĺH G|H, ∗) je grupa a zobrazenie f :

G

→G|H s predpisom f(g) = Hg homomorfizmus.

Dôkaz.

Definujme operáciu

∗ predpisom Hg∗Hh = Hg•h. Táto operácia je korektná iba ak je nezávislá od výberu

reprezentantov tried Hg a Hh. nech teda Hg = Hg´ a Hh = Hh´. Potom ale Hg•h = Hg´•h´

ţLĺH QH]iYLVORV MH

]D UX ţHQi$ VRF LD W t YQRV ∗W LHĺOHE R∀x,y,z∈G : (Hx ∗ Hy) ∗ Hz = Hx•y ∗ Hz = H(x•y)•z = Hx•(y•z) = Hx ∗ Hy•z = Hx ∗

(Hy ∗ Hz). Inverzný prvok je zrejmý a takisto f je homomorfizmus, lebo ∀g,h∈G : f(x•y) = Hx•y = Hx ∗ Hy = f(x)

∗ f(y).

Definícia.

Nech H

<G, ∗

WDNi ELQiUQD RSHUiFLD ĺH G|H, ∗) je grupa a zobrazenie f : G→G|H s

predpisom f(g) = Hg homomorfizmus. Potom (G|H, ∗) je faktorová grupa G

S RG D H.

Veta 2.5.9.2.

Nech f : G

→H je surjektívny homomorfizmus. Potom Ker(f)<G a G|Ker(f) ≈ H.

Dôkaz.

Homomorfizmus f vyplýva priamo z vety 2.5.8.2. Definujme g : G|Ker(f)→H predpisom ∀x∈G : g(Ker(f)x)

= f(x). ∀x,y∈G : Ker(f)x = Ker(f)y ⇒ x•y-1∈ Ker(f) ⇒ f(x•y) = eH ⇒ f(x) = f(y) ⇒ g je injektívne lineárne

zobrazenie. Naviac g

MH K RP RP RUIL]P X V S UHW RĺH f MH K RP RP RUIL]P X V $ N H ĺH f je surjekcia, g je

izomorfizmus.

Dôkaz.
Dôsledok 2.5.9.1.

Nech G je grupa. Potom G|Z(G) ≈ I(G).

Dôkaz.

Nedokazujeme.

2.6. Determinanty.
2.6.1. Determinant matice.

Definícia.

Nech A je štvorcová matic

D VW X S D nýt VOR _ A| =

(

)

VJQ

τ

τ

τ

D

=

∈

∏

∑

, kde sgn

τ = 1, ak τ

je párna a -1, ak

τ je nepárna, nazývame determinant matice A.

2.6.2. Vlastnosti determinantov.

Veta 2.6.2.1.

Nech A

MHăW YRUF RYiP D W LF D VW X S D n. Potom |A| = |A⊥|.

Dôkaz.

|A⊥|

=

(

)

VJQ

τ

τ

τ

D

⊥

=

∈

∏

∑

=

(

)

VJQ

τ

τ

τ

D

!

=

∈

∏

∑

"

=

(

)

VJQ

#$%

τ

τ

τ

D

&&

&

'

()

=

∈

∏

∑

*

, lebo inverzná permutácia má

rovnakú paritu.

Veta 2.6.2.2.

Nech A

MHăWYRUFRYiPDWLFDVWXS Dn. Nech c∈F a nech A´ vznikne z A vynásobením niektorého riadku c.

Potom |A´|

= c.|A| .

Dôkaz.

Triviálne.

Veta 2.6.2.3.

Nech A

MHăWYRUFRYiPDWLFDVWXS Dn a nech A´ vznikne z A výmenou dvoch riadkov. Potom |A´| = -|A|.

Ondrej Vršanský

- 23 -

Dôkaz.

9ęPHQRXGYRFKULDGNRYSRUXătPHSDULWXNDĺGHMSHUPXWiFLH

Dôsledok 2.6.2.1.

Nech A

MHăWYRUFRYiPDWLFDVWXS Dn. Ak A má dva rovnaké riadky, tak |A| = 0.

Dôkaz.

Zrejmé z predchádzajúceho tvrdenia.

Definícia.

$NYRY]RUFLSUHYęSRţHWGHWHUPLQDQWXY\EHULHPSUHG]iWYRUNXai,j]RYăHWNęFKţOHQRY

YNWRUęFKVDQDFKiG]DSRWRPţtVORY]iWYRUNHQD]ęYDPHalgebraický doplnok k ai,j.

Lema 2.6.2.1(Laplace).

Nech A

MHăWYRUFRYiPDWLFDVWXS Dn. Potom ∀i∈1..n : |A| =

D $

+-,.+-,

,/ 010

=

∑

2

.

Dôkaz.

Triviálne.

Lema 2.6.2.2.

Nech A

MHăWYRUFRYiPDWLFDVWXS Dn. Potom ∀i,k∈1..n :

∑

=

n

j

j

k

j

i A

a

1

,

,

= 0.

Dôkaz.

Pre* i

≠k

D $

3547684

49 :;:

=

∑

<

= 0, lebo do i-teho riadku sme dali k-

W\ţLPY]QLNOLGYDURYQDNpULDGN\

2]QDţHQLH

Nech A

MHăWYRUFRYiPDWLFDVWXS Dn, nech i,j∈1..n. Determinant matice, ktorá v znikne

z A odobratím i-teho riadku a j-

WHKRVW SFDR]QDţtPHMi,j.

Lema 2.6.2.3.

Nech A je štvor

FRYiPDWLFDVWXS Dn, nech i,j∈1..n. Potom Ai,j = (-1)i+jMi,j.

Dôkaz.

Zrejme A1,1 = M1,1 = (-1)2M1,1. Ale ai,j presunieme i-1+j-

YęPHQDPLULDGNRYDVW SFRYQDSR]tFLXD

NH ĺHNDĺGiVWęFKWRRSHUiFLtREUDFLD]QDPLHQNRGHWHUPLQDQWXD-1)i-1+j-1 = (-1)i+j, platí Ai,j = (-1)i+jMi,j.

Veta 2.6.2.5.

Nech A

MHăWYRUFRYiPDWLFDVWXS Dn. Nech c∈F a nech A´ vznikne z ASULSRţtWDQtPc-násobku nejakého

riadku A k inému riadku A. Potom |A´|

= |A|.

Dôkaz.

Nech A

 Y]QLNQH SULSRţtWDQtP c-násobku i-teho riadku ku k-temu. Potom |A´| =

∑

=

′

′

n

j

j

k

j

k A

a

1

,

,

=

∑

=

n

j

j

k

j

k A

a

1

,

,

+

∑

=

n

j

j

i

j

k A

a

c

1

,

,

.

=

∑

=

n

j

j

k

j

k A

a

1

,

,

+

∑

=

n

j

j

i

j

k A

a

c

1

,

,

.

=

∑

=

n

j

j

k

j

k A

a

1

,

,

+ c.0

=

∑

=

n

j

j

k

j

k A

a

1

,

,

= |A|.

Definícia.

Nech A

MH ăWYRUFRYi PDWLFD VWXS D n. Maticu Aa =

$

$

$

$

=

=

==

>?>

>

>

@

@

@

@

/

0 2

0

/





















Y NWRUHM VW SFRFK V~

algebraické doplnky riadkov matice A, nazývame matica adjungovaná k A.

Veta 2.6.2.6

Nech A

MHăWYRUFRYiPDWLFDVWXS Dn a Aa je jej adjungovaná matica. Potom A×Aa =

$

$

$





















.

Dôkaz.

Tvrdenie vyplýva priamo z Laplaceovej vety (veta 2.6.2.4) a jej dôkazu.

Materiál na štátnicu

Algebra

- 24 -

Dôsledok 2.6.2.2.

Nech A

MHăWYRUFRYiPDWLFDVWXS Dn. Ak |A|≠0, tak A je regulárna a A-1= Aa×|A|-1.

Dôkaz.

Tvrdenie vyplýva priamo z predchádzajúcej vety.

2.6.3. Matice elementárnych úprav.

Oz

QDţHQLH

Nech c

∈F. Maticu , ktorá vznikne z jednotkovej vynásobením i-teho riadku c

R]QDţtP

Ei(c). Maticu , ktorá vznikne z jednotkovej výmeno i-teho a j-

WHKR ULDGNX R]QDţtP Ei,j.

0DWLFX NWRUi Y]QLNQH ] MHGQRWNRYHM SULSRţtWDQtP c-násobku i-teho riadku k j-temu,

R]QDţtPEi,j(c).

Lema 2.6.3.1.

|Ei(c)| = c, |Ei,j| = -1 a |Ei,j(c)| = 1.

Dôkaz.

9ăHWN\WULWYUGHQLHY\SOęYDM~]GHILQtFLHGHWHUPLQDQWXDPRĺQRVLLFK DKNRRYHUL

Veta 2.6.3.1.

Determinant regulárnej matice je nenulový.

Dôkaz.

Ak A je regulárna,

WDNSRG DYHW\MXPRĺQRY\MDGUL YSRGREHV~ţLQXHOHPHQWiUQ\FKPDWtF DKNR

VDPRĺQRSUHVYHGţL ĺHGHWHUPLQDQWV~ţLQXHOHPHQWiUQ\FKPDWtFMHURYQęV~ţLQXLFKGHWHUPLQDQWRYDNH ĺH

determinanty elementárnych matíc sú nenulové, je nenulový aj |A|.

Veta 2.6.3.2.

Nech A a B

V~ăWYRUFRYpPDWLFHVWXS Dn. Potom |A×B| = |A|.|B| .

Dôkaz.

Ak A aj B

V~UHJXOiUQHWDNSRG DYHW\LFKPRĺQRY\MDGUL YSRGREHV~ţLQXHOHPHQWiUQ\FKPDWtF

'HWHUPLQDQWV~ţLQXWęFKWRSRVWXSQRVWtMHSRG DYHW\URYQęV~ţLQXGHWHUPLQDQWRYWęFKWRSRVWXSQRVWt

ţLĺH_A×B| = |A|.|B_$NDVSR MHGQD]PDWtFA, B nie je regulárna, tak |A×B| = |A| = 0.

Veta 2.6.3.3.

Nech A

MHăWYRUFRYiPDWLFDVWXS Dn. Nech c∈F a nech A´ vznikne z A vynásobením niektorého riadku c.

Potom |A´|

= |Ei(c)×A| = |Ei(c)|.|A| = c.|A| .

Dôkaz.

3RG DYHW\_A´| = c.|A_3RVOHGQiURYQRV SODWtSRG DOHP\3URVWUHGQiURYQRV Y\SOęYD]

vety 2.6.3.2.

Dôsledok 2.6.3.1.

Ei(c) je elementárna matica, reprezentujúca vynásobenie i-teho riadku matice skalárom c.

Dôkaz.

Tvrdenie vyplýva z prvej rovnosti predchádzajúcej vety.

Veta 2.6.3.4.

Nech A

MHăWYRUFRYiPDWLFDVWXS Dn a nech A´ vznikne z A výmenou i-teho riadku za j-ty. Potom |A´| =

|Ei,j×A| = |Ei,j|.|A| = -|A|.

Dôkaz.

3RG DYHW\_A´| = -|A_3RVOHGQiURYQRV SODWtSRG DOHP\ 3URVWUHGQiURYQRV Y\SOęYD]

vety 2.6.3.2.

Dôsledok 2.6.3.2.

Ei,j je elementárna matica, reprezentujúca výmenu riadkov i a j.

Dôkaz.

Tvrdenie vyplýva z prvej rovnosti predchádzajúcej vety.

Ondrej Vršanský

- 25 -

Veta 2.6.3.5.

Nech A

MHăWYRUFRYiPDWLFDVWXS Dn. Nech c∈F a nech A´ vznikne z ASULSRţtWDQtPc-násobku i-teho

riadku k j-temu. Potom |A´| = |Ei,j(c)×A| = |Ei,j(c)|.|A| = |A|.

Dôkaz.

3RG DYHW\_A´| = |A_3RVOHGQiURYQRV SODWtSRG DOHP\3URVWUHGQiURYQRV Y\SOęYD]

vety 2.6.3.2.

Dôsledok 2.6.3.3.

Ei,j

MHHOHPHQWiUQDPDWLFDUHSUH]HQWXM~FDSULSRţtWDQLHc-násobku i-teho riadku k j-temu.

Dôkaz.

Tvrdenie vyplýva z prvej rovnosti predchádzajúcej vety.

2.6.4. Grupa regulárnych matíc.

Veta 2.6.4.1.

Zobrazenie Det :

Rn→R s predpisom Det(A) = |A| je homomorfizmus.

Dôkaz.

Det(A

×B) = |A×B| =

SRG DYHW\= |A|.|B| = Det(A).Det(B).

Dôsledok 2.6.4.1.

Rn|Ker(Det) ≈ R.

Dôkaz.

Tvrdenie vyplýva z vety 2.5.9.2.

2.6.5. Cramerovo pravidlo.

Veta 2.6.5.1 (Cramerovo pravidlo).

Nech A je regulárna matica, adjungovaná k sústave S

=

D [

D [

E

D [

D [

E

ABA

A

A8ACA

A

D?DED

D

D

DFD

G

G

G

G

/

0

2

0

0

/

=

=

. Potom S

PiMHGLQęNRUH

(y1, .. , yn), kde ∀i∈1..n : yi = |Di|.|A|-1

SULţRPDi vznikne z A nahradením i-WHKRVW SFDSUDYRXVWUDQRXV~VWDY\

Dôkaz.

∀i∈1..n

:

D '

$

H-IJI

IK L

=

∑

M

=

D

E $

$

NPO

QQO

QR

OR S

S

=

=

∑

∑

T

T

=

U

U

$

D

E $

VPW

XYXW

XZ

WZ [

[

=

=

∑

∑

=

\

\

$

E D $

]_^5`7]`

]a

`a

bcb

=

=

∑

∑

=

d

d

$

E D $

egfPheh

hi

ei

jcj

=

=

∑

∑

=

k

k

$

E

D $

l

m5n7ln

no

lo

pcp

=

=

∑

∑

=

q

$

E $

r

rs

=

∑

= bi.

2.7. Okruhy.
2.7.1. Základné vlastnosti.

Veta 2.7.1.1.

Nech (A,

⊕, ⊗) je okruh. Potom

• ∀x∈A : x⊗0 = 0⊗x = 0

• ∀x,y∈A : x⊗(-y) = (-x)⊗y = -(x⊗y).

Dôkaz.

• ∀x∈A : x⊗0 = x⊗(0⊕0) = x⊗0 ⊕ x⊗0 ⇒ 0 = x⊗0. 0⊕x podobne.

• ∀x,y∈A : 0 = x⊗0 = x⊗(y-y) = x⊗y ⊕ x⊗(-y) ⇒ x⊗(-y) = -(x⊗y). (-x)⊗y podobne.

Veta 2.7.1.2.

Nech (A,

⊕, ⊗) je okruh a a1..an, a∈A. Potom a⊗(a1⊕ .. ⊕an) = a⊗a1 ⊕ .. ⊕ a⊗an.

Dôkaz.

Triviálne.

Materiál na štátnicu

Algebra

- 26 -

2]QDţHQLH

Nech (A,

⊕, ⊗) je okruh, a∈A a n∈N. Výraz

D

D

t⊕ ⊕

EXGHPH]DSLVRYD VNUiWHQHn.a.

Veta 2.7.1.3.

Nech (A,

⊕, ⊗) je okruh, x,y∈A a n∈N. Potom x⊗(n.y) = n.(x⊗y).

Dôkaz.

Tvrdenie je priamym dôsledkom vety 2.7.1.2.

2.7.2. Obory integrity.

Definícia.

Nech (A,

⊕, ⊗) je okruh. Prvok a∈A

QD]ęYDPH DYęS UDYęGHOLWH QXO\, ak ∃b∈A : b≠0

∧ a⊗b = 0 (b⊗a = 0). Ak a≠0, a je netriviálny

GHOLWH QXO\

Poznámka.

2ERULQWHJULW\MHRNUXKVDVSR GYRPDSUYNami, neobsahujúci netriviálne delitele nuly.

Veta 2.7.2.1.

Nech (A,

⊕, ⊗) je obor integrity. Potom v A platia obmedzené pravidlá o krátení (∀a,x,y∈A : a⊗x = a⊗y

⇒ x = y a x⊗a = y⊗a ⇒ x = y).

Dôkaz.

∀a,x,y∈A : a⊗x = a⊗y ⇒ a⊗x ⊕ -(a⊗y) = 0 ⇒ a⊗x ⊕ a⊗(-y) = 0 ⇒ a⊗(x ⊕ (-y)) = 0 ⇒ x ⊕ (-y) = 0 ⇒

x

= y. Obrátené pravidlo podobne.

Veta 2.7.2.2.

Nech (A,

⊕, ⊗

MHRNUXKVDVSR GYRPDSUYNDPLYNWRURPSODWLDREPHG]HQpSUDYLGOiRNUiWHQt3RWRPA

je obor integrity.

Dôkaz.

∀x,y∈A : x⊗y = 0 ⇒ x⊗y = x⊗0 ⇒ y = 0.

Veta 2.7.2.3.

.DĺGpWHOHVRMHRERULQWHJULW\

Dôkaz.

∀x,y∈A ∃x´∈A : x⊗y = 0 ⇒ x´⊗x⊗y = x´⊗0 ⇒ y = 0.

2.7.3. Podokruhy.

Definícia.

Okruh (B,

⊕, ⊗) je podokruh okruhu (A, +, ∗), ak (B, ⊕) je podgrupa (A, +) a ∀x,y∈B :

x

⊗y = x∗y.

Veta 2.7.3.1.

Okruh (B,

⊕, ⊗) je podokruh okruhu (A, +, ∗

SUiYHYWHG\NH ∀x,y∈B : x⊕(-y)∈B ∧ x⊗y∈B.

Dôkaz.

Obdobne ako pre podgrupy.

Veta 2.7.3.2.

Nech {Bi}i∈1..n je systém podokruhov A. Potom aj

%

u

u

v

=

w

,

je podokruh A.

Dôkaz.

Triviálne.

Veta 2.7.3.3.

Nech A je okruh a M

⊆A. Potom existuje jediný podokruh [[M]] okruhu A

WDNęĺHM⊆[[M]] a ∀B⊆A : B

je podokruh A

⇒ B⊆[[M]].

Dôkaz.

[[M]] je prienik všetkých podokruhov A, obsahujúcich M. Z vlastnosti

∀B⊆A : B je podokruh A ⇒

B

⊆[[M]]

Y\SOęYDĺH[[M]] je jediný.

Ondrej Vršanský

- 27 -

Definícia.

Nech A je okruh a M

⊆A. Okruh [[M]]

NWRUpKR H[LVWHQFLX ]DEH]SHţXMH YHWD

nazývame podokruh generovaný

PQRĺLQRXM. Prvky M sú generátory okruhu [[M]].

Veta 2.7.3.4.

Nech A je okruh a nech M

⊆A obsahuje jednotku. Ak ∃a∈A ∀x∈A : a⊗x = x⊗a, tak okruh [[M∪{a}]],

NWRUpKR H[LVWHQFLX ]DEH]SHţXMH YHWD PiWYDU {x0⊗a0⊕ .. ⊕xn⊗an; ∀i∈1..n: xi∈A} D R]QDţXjeme ho

M[a].

Dôkaz.

M[a]

⊇M, lebo ∀x∈M : x = x⊗a0 = x⊗e. ∀x=x0⊗a0⊕ .. ⊕xn⊗an, y= y0⊗a0⊕ .. ⊕yn⊗an ∈M[a] : (x - y) =

(x0 - yn)⊗a0⊕ .. ⊕(xn - yn) ⊗ an∈M[a].

3RGREQHPRĺQRRGYRGL ĺHx⊗y)∈M[a], WDNĺHM[a] je podokruh A. A

napokon aj M[a]

⊆[[M]], lebo minimálny podokruh musí všetky prvky tvaru prvkov z M[a]

REVDKRYD

Definícia.

Nech A je okruh a nech M

⊆A. Okruh M[a]

NWRUpKRH[LVWHQFLX]DEH]SHţXMHYHWD

nazývame okruh polynómov v premennej a pod M.
2.7.4. Homomorfizmy a ideály okruhov.

Definícia.

Nech (A,

⊕, ⊗) je okruh. Zobrazenie f : A→A nazveme homomorfizmus okruhov

NUiWHQHKRPRPRUIL]PXVDNMHKRPRPRUIL]PRPY]K DGRPQDREHRSHUiFLH⊕ a ⊗.

Veta 2.7.4.1.

Nech A,B a C sú okruhy a zobrazenia f : A

→B a g : B→C homomorfizmy. Potom aj g°f : A→C je

homomorfizmus.

Dôkaz.

7YUGHQLHY\SOęYDSULDPR]YHW\R]ORĺHQRPKRPRPRUIL]PHJU~S

Definícia.

Nech (A,

⊕, ⊗) je okruh. ∅≠I⊆A je ideál, ak

1.

∀x,y∈I : (x - y)∈I

2.

∀x∈I ∀r∈A : x⊗r∈I ∧ r⊗x∈I.

Veta 2.7.4.2.

Nech A a B sú okruhy a zobrazenie f : A

→B homomorfizmus. Potom Ker(f) je ideál A.

Dôkaz.

∀x,y∈Ker(f) : f(x - y) = f(x) - f(y) = 0 + 0 = 0∈Ker(f

=iURYH ∀r∈A : f(x⊗r) = f(x)∗f(r) = 0∗f(r) = 0.

Obdobne f(r

⊗x).

Veta 2.7.4.3.

Nech A´ je podokruh A a B´ podokruh B. Ak f : A

→B je homomorfizmus, tak f(A´) = {f(x)∈B; x∈A´} je

podokruh B a f-1(B´)

= {x∈A; f(x)∈B´} je podokruh A.

Dôkaz.

∀f(x),f(y)∈f(A´) : f(x) ∗ f(y) = f(x⊗y)∈f(A´), lebo A´ je okruh. Podobne ∀x,y∈f-1(B´) : f(x⊗y) = f(x) ∗

f(y)

∈B´, lebo B´ je okruh.

Veta 2.7.4.4.

Nech A,B sú okruhy a I je ideál B. Ak f : A

→B je homomorfizmus, tak f-1(I) = {x∈A; f(x)∈I} je ideál A.

Dôkaz.

3RG DYHW\MHf-1(I) podokruh A. Navyše ∀x∈f-1(I) ∀r∈A : f(r⊗x) = f(r) ∗ f(x)∈I, lebo I je ideál.

Veta 2.7.4.5.

Nech {Ii}i∈1..n je systém ideálov A. Potom aj

,

x

x

y

=

z

,

je ideál A.

Dôkaz.

Triviálne.

Materiál na štátnicu

Algebra

- 28 -

Veta 2.7.4.6.

Nech A je okruh a I

⊆A. Potom existuje jediný ideál (I) okruhu A

WDNęĺHI⊆(I) a ∀J⊆A : J je ideál A ⇒

J

⊆(I).

Dôkaz.

Obdobne ako pre okruhy.

Definícia.

Nech A je okruh a I

⊆A. Okruh (I)

NWRUpKR H[LVWHQFLX ]DEH]SHţXMH YHWD

nazývame ideál generovaný

PQRĺLQRXI. Prvky I sú generátory okruhu (I).

Veta 2.7.4.7.

Nech A je komutatívny okruh, a

∈A. Potom (a) = {r⊗a ⊕ n.a; r∈A, n∈Z}. Ak 1∈A, tak (a) ={r⊗a; r∈A}.

Dôkaz.

∀x=p⊗a ⊕ m.a, y=r⊗a ⊕ n.a ∈(a) : x-y = (p-r)⊗a ⊕ (m-n).a a ∀s∈A : r⊗x = r⊗( p⊗a ⊕ m.a) = (p⊗s)⊗a

⊕ (n.s).a ∈(a), tak

ĺHa) je ideál A. Navyše a∈(aDNDĺGęLGHiOA, obsahujúci aPXVtREVDKRYD YăHWN\SUYN\A

tvaru prvkov (a

WDNĺHa) je minimálny.

2.7.5. Faktorové okruhy.

Veta 2.7.5.1.

Nech I je ideál A. Potom existujú jediné operácie

⊕, ⊗

WDNpĺHA|I, ⊕, ⊗) je okruh a zobrazenie f : A→A|I

s predpisom f(a)

= a+I komutatívny homomorfizmus.

Dôkaz.

Definujme operáciu

⊕ predpisom ∀x,y∈A : (x+I)⊕(y+I) = (x⊕y)+I a operáciu ⊗ predpisom ∀x,y∈A :

(x+I)

⊗(y+I) = (x⊗y)+I (kde +, ∗ sú operácie okruhu A). (A, +) je komutatívna grupa, I je jej invariantná

podgrupa a teda aj (A|I, ⊕) je komutatívna grupa a f homomorfizmus. Navyše ∀x,y,z∈A : (x+I)⊗((y+I)⊗(z+I)) =

(x+I)

⊗(y⊗z+I) = (x⊗y⊗z+I) = (x⊗y+I)⊗ (z+I) = ((x+I)⊗(y+I))⊗(z+I) a (x+I)⊗((y+I)⊕(z+I)) =

(x+I)

⊗((y⊕z)+I) = (x⊗(y⊕z)+I) = ((x⊗y)⊕(x⊗z)+I) = ((x⊗y)+I) ⊕ ((x⊗z)+I

WDNĺHA|I, ⊕, ⊗) je okruh.

Veta 2.7.5.2.

nech f : A

→B je surjektívny homomorfizmus. Potom existuje jediný izomorfizmus g : A|Ker(f)→B

WDNęĺHf

= g°p, kde p

MHSURMHNFLD]DUXţHQiYHWRX

Dôkaz.

Dôkaz podobný ako pre vetu 2.5.9.2.

2.8. Polia.
2.8.1. Podpole.

Veta 2.8.1.1.

Nech F je pole. Potom

∅≠F´⊆F je podpole F

SUiYHYWHG\NH

1.

1

∈F´

2.

∀x,y∈F´: (x-y)∈F´

3.

∀x,y∈F´: x∗y-1∈F´.

Dôkaz.

'RSUHGQi LPSOLNiFLD MH WULYLiOQD = YODVWQRVWL Y\SOęYD ĺH F´, +) je podgrupa (F, +). Podobne z

YODVWQRVWtDY\SOęYDĺHF´, ∗) je pologrupa. Spolu teda (F´, +, ∗MHRNUXKD]YODVWQRVWLY\SOęYDĺHMH

to aj pole.

Definícia.

Ideál I okruhu A sa nazýva maximálny, ak I

⊂A a ∀ideál J : J⊃I ⇒ J=A.

Veta 2.8.1.2.

Nech A je komutatívny okruh s jednotkou, I je ideál A. Potom A|I

MHSROHSUiYHYWHG\NH I je maximálny.

Ondrej Vršanský

- 29 -

Dôkaz.

Nech A|I

MHSROH3RWRPPiDVSR SUYN\I je nula v A|I a 1+I jednotka. 1 = 1 - 0 ∉I ⇒ I≠A. Nech teraz

∃ideál J⊃I, J≠A. Potom ∃x∈J : x∉I

3RORĺPHK = {i + r.x; i∈I, r∈A} DKNRPRĺQRRGYRGL ĺHK je ideál v A.

$OHNDĺGęSUYRNWDYUXSUYNRYKPXVtE\ YPLQLPiOQRPLGHiOLJHQHURYDQRPI∪{x}WDNĺHK = (I∪{x}) a

J

⊇K. Ale 1 = 1 + 0. x ∈K

WDNĺHK = A a teda aj J = AţR]QDPHQiĺHI bol maximálny.

Obrátene nech I je maximálny. Potom A|I

PiDVSR SUYN\∀x∉I : (I∪{x}) = A ⇒ 1∈(I∪{x}.H ĺH

VPHXNi]DOLĺHI∪{x}) = {i + r.x; i∈I, r∈A}, ∃i∈I ∃r∈A : 1 = i + r. x. Potom ale trieda 1+I = (i + r. x)+I = (i+I)

+ (r. x)+I

= (∀i∈I : (i+I) = I) = (r+I) ∗ (x+I) ⇒ ∗ má inv

HU]QęSUYRN2VWDWQpYODVWQRVWLSR DV~]DUXţHQp]R

]DGDQLDţLĺHA|I je pole.
2.8.2. Podielové pole.

Veta 2.8.2.1.

Nech A je komutatívny obor integrity. Potom existuje pole Q(A) a injektívny homomorfizmus j : A

→Q(A)

WDNĺH

1.

∀x∈Q(A) ∃a,b∈A : b≠0 ∧ x = j(a) ∗ j(b)-1

2.

∀injektívny homomorfizmus f : A→F, kde F je pole, existuje jediný homomorfizmus g : Q(A)→F tak,

ĺHf = g°j.

Dôkaz.

3RORĺPHB = A×A*, kde A* = A -{0}. Na B definujme reláciu ∼ predpisom (a, b) ∼ (c, d) ⇔ a∗d = b∗c,

kde

∗ je násobenie v okruhu A. ∼ je zjavne symetrická a reflexívna. Navyše (a, b) ∼ (c, d) ∧ (c, d) ∼ (x, y) ⇔

a

∗d = b∗c ∧ c∗y = d∗x ⇔ a∗d∗y = b∗c∗y ∧ b∗c∗y = b∗d∗x ⇔ a∗d∗y = b∗d∗x ⇔ a∗y = b∗x ⇔ (a, b) ∼ (x, y),

WDNĺH∼ je aj tranzitívna a teda je to relácia ekvivalencie. Definujme Q(A) = B|∼. Triedu ekvivalencie, do ktorej
patrí (a, b

R]QDţtP D

E

DOHM GHILQXMPH RSHUiFLH ⊕ a ⊗ predpismi D

E

⊕ F

G

= D G E F

E G

∗ + ∗

∗

a D

E

⊗ F

G

= D F

E G

∗

∗

.

8NiĺHPHĺHQ(A), ⊕, ⊗) je pole.

I.

1H]iYLVORV R]QDţHQLDWULHGHNYLYDOHQFLHRGYęEHUXUHSUH]HQWDQWRY D

E

∼ ′

′

D

E

a F

G

∼ ′

′

F

G

⇔ a∗b´ = a´∗b ∧

c

∗d´ = c´∗d ⇔ a∗b´∗d∗d´ = a´∗b∗d∗d´ ∧ c∗d´∗b∗b´ = c´∗d∗b∗b´ ⇔ a∗b´∗d∗d´ + c∗d´∗b∗b´ =

a´

∗b∗d∗d´ + c´∗d∗b∗b´ ⇔ a∗d∗b´∗d´ + b∗c∗b´∗d´ = a´∗d´∗b∗d + b´∗c´∗b∗d ⇔ (a∗d + b∗c)∗b´∗d´ =

(a´

∗d´ + b´∗c´)∗b∗d ⇔ D G E F

E G

∗ + ∗

∗

= ′∗ ′ + ′∗ ′

′∗ ′

D G E F

E G

⇔ D

E

⊕ F

G

= ′

′

D

E

⊕ ′

′

F

G

. Podobne D

E

∼ ′

′

D

E

a F

G

∼ ′

′

F

G

⇔

a

∗b´ = a´∗b ∧ c∗d´ = c´∗d ⇔ a∗b´∗c∗d´ = a´∗b∗c´∗d ⇔ a∗c∗b´∗d´ = a´∗c´∗b∗d ⇔ D F

E G

∗

∗

= ′∗ ′

′∗ ′

D F

E G

⇔

D

E

⊗ F

G

= ′

′

D

E

⊗ ′

′

F

G

.

II.

.RPXWDWtYQRV ⊕. D

E

⊕ F

G

= D G E F

E G

∗ + ∗

∗

= F E G D

G E

∗ + ∗

∗

= F

G

⊕ D

E

.

III.

Neutrálny prvok

⊕ (nula). Nulou v Q(A) je trieda

[

, x

≠0. D

E

⊕

[

= ∗ + ∗

∗

E [ D

[ E

= D

E

.

IV.

Inverzný prvok

⊕

3RORĺPH − 







D

E

= − D

E

. Potom D

E

⊕ − D

E

= D E E D

E E

∗ − ∗

∗

=

E E

∗

.

V.

.RPXWDWtYQRV ⊗. D

E

⊗ F

G

= D F

E G

∗

∗

= F D

G E

∗

∗

= F

G

⊗ D

E

.

VI.

Neutrálny prvok

⊗ (jednotka). Jednotkou v Q(A) je trieda [

[

, x

≠0. D

E

⊗ [

[

= D [

E [

∗

∗

= D

E

.

VII.

Inverzný prvok

⊗

3RORĺPH D

E









−

{

= E

D

. Potom D

E

⊗ D

E









−

|

= D

E

⊗ E

D

= D E

E D

∗

∗

= (a∗b = x) = [

[

.