Teoretická mechanika | prednáška 6 | Lorentzova sila, Interakcia stupňov voľnosti, Ansatz

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Teoretickej mechaniky najprv zhŕňa zákony zachovania v Lagrangeovskom formalizme (zovšeobecnená hybnosť pri chýbajúcej súradnici a zachovanie energie E=T+U pri Lagrangiáne nezávislom od času) a následne zavádza pojem zovšeobecnenej potenciálnej energie. Na príklade Lorentzovej sily pôsobiacej na náboj v elektromagnetickom poli ukazuje, že táto sila nie je gradientom obyčajnej potenciálnej energie, keďže závisí od rýchlosti, no dá sa odvodiť zo zovšeobecneného potenciálu závislého aj od rýchlosti, vďaka čomu zostáva použiteľný Lagrangeov formalizmus.

• Ak Lagrangián neobsahuje súradnicu Q_A, zachováva sa zovšeobecnená (kanonická) hybnosť P_A = ∂L/∂Q̇_A
• Ak Lagrangián neobsahuje explicitne čas, zachováva sa celková energia E = Q̇_A·∂L/∂Q̇_A − L = T + U
• Oba zákony zachovania predstavujú diferenciálne rovnice prvého rádu, jednoduchšie ako pohybové rovnice druhého rádu
• Lorentzova sila F = e(E + v×B) závisí od rýchlosti, preto nemôže byť gradientom klasickej potenciálnej energie
• Bez potenciálovej sily by sa pohyb náboja nedal počítať Lagrangeovým formalizmom, čo by znemožnilo výhodu ľubovoľných súradníc
• Riešením je zavedenie zovšeobecnenej potenciálnej energie U(q, q̇), ktorá po dosadení do D/Dt(∂U/∂q̇) − ∂U/∂q dáva správnu silu
• Takto rozšírený Lagrangián L = T − U(q,q̇) zachováva všetky výhody formalizmu (rovnaké zákony zachovania, ľubovoľné súradnice) aj pre nepotenciálové sily ako je Lorentzova

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.