Algebra

Algebraické štruktúry 1 Strana

ALGEBRAICKÉ ŠTRUKTÚRY

V tejto kapitole sa zoznámime so základnými prvkami mnohých algebraických štruktúr, ktoré
budeme neskôr podrobnejšie študovať v rôznych kapitolách tejto knihy. Pre ich hlbšie chápanie je
potrebné nielen samotné štúdium, ale aj riešenie úloh.

1.1

Úvod

Ak možno vôbec vymedziť presne čím sa algebra zaoberá, tak je to štúdium algebraických štruktúr.
Pod algebraickou štruktúrou rozumieme množinu, na ktorej sú definované nejaké operácie. Pod
operáciou na množine M rozumieme ľubovolné zobrazenie

M

M

M





,

t.j. pravidlo, podľa ktorého sa ľubovoľným dvom prvkom množiny M priradí niektorý prvok z tej istej
množiny. Prvkami množiny M môžu byť tak čísla, ako aj objekty iného druhu, napríklad funkcii.

Dobu známymi a pritom dôležitými príkladmi algebraických štruktúr sú nasledujúce číselné

množiny s operáciami sčítania a násobenia:

Musíme podčiarknuť, že operácie sčítania a násobenia nie sú definované na ľubovoľnej

číselnej množine. Napríklad na množine záporných čísel nie je definovaná operácia násobenia,
pretože súčin dvoch záporných čísel je vždy kladné číslo. Na množine iracionálnych čísel nie je
definované ani sčítanie ani násobenie, pretože súčet ani súčin dvoch iracionálnych čísel môže byť
racionálne číslo.

Uvedieme príklady algebraických štruktúr, ktoré nie sú číselnými množinami :

Príklad 1. Nech M, N, P sú nejaké množiny a

sú nejaké zobrazenia. Súčinom alebo skladaním zobrazení f a g sa nazýva zobrazenie

určené v ľubovoľnom bode a vzťahom

t.j. ako výsledok postupného vykonania najprv zobrazenia g a potom f. V špeciálnom prípade, ak
M=N=P, dostaneme takýmto spôsobom operáciu na množine všetkých zobrazení množiny M do

Algebraické štruktúry 2 Strana

seba. Táto operácia poskytuje veľa dôležitých príkladov algebraických štruktúr, ktoré nazývame
grupami. Tak napríklad v súlade s axiomatikou geometrie súčinom dvoch izometrických zobrazení
dvojrozmernej roviny je opäť izometrické zobrazenie. Keď skúmame na množine všetkých
izometrických zobrazení operáciu ich súčinu dostávame algebraickú štruktúru, ktorú nazývame
grupou izometrických zobrazení roviny.

Príklad 2. Množina vektorov trojrozmerného priestoru s operáciami sčítania vektorov a

vektorového súčinu je príkladom algebraickej štruktúry s dvomi operáciami. Pripomeňme, že
skalárny súčin vektorov nie je operáciou vo vyššie uvedenom zmysle, pretože jeho výsledkom nie
je prvok tejto množiny. Podobné, všeobecnejšie operácie sú tak isto predmetom štúdia algebry, no
zatiaľ o nich nebudeme uvažovať.

Všetky vyššie uvedené príklady sú prirodzené v tom zmysle, že boli objavené v priebehu

skúmania skutočného , reálneho sveta ako výsledok vnútorného rozvoja matematiky. V podstate
môžeme skúmať ľubovoľné operácie na ľubovoľných množinách. Napríklad mohli by sme skúmať
operáciu na množine Z+, ktorá by dvom číslam priradila počet rovnakých číslic v ich desatinnom
rozvoji. Ale len niekoľko algebraických štruktúr predstavujú reálny záujem výskumu.

Treba upresniť, že z hľadiska algebry sú zaujímavé len tie vlastnosti algebraických štruktúr a

prvkov z ktorých sú zostavené, ktoré možno vyjadriť pomocou zadaných operácii. Takýto prístup je
vyjadrený termínom izomorfizmu.

Definícia: Nech je daná operácia na množine M a je operácia na množine N.

Hovoríme, že algebraické štruktúry

sú izomorfné, ak existuje také bijektívne

zobrazenie:

že platí

pre ľubovoľné

. Samotné zobrazenie sa nazýva izomorfizmom algebraických štruktúr

.

Podobným spôsobom definujeme aj izomorfizmus algebraických štruktúr s dvomi alebo

viacerými operáciami.

Príklad 3. Zobrazenie, dané vzťahom

je izomorfizmom množiny množiny všetkých reálnych čísel s operáciou sčítania a množiny
kladných reálnych čísel s operáciou násobenia, pretože

Namiesto základu 2 by sme mohli vziať ľubovoľný kladný základ, rôzny od 1. Z toho príkladu

vidno, že medzi izomorfnými algebraickými štruktúrami môže existovať mnoho rôznych
izomorfizmov.

Algebraické štruktúry 3 Strana

Príklad 4. Nech M je množina paralelných posunutí dvojrozmernej roviny na vektory, ktoré

sú rovnobežné s niektorou rovne danou priamkou. Pre ľubovoľné reálne číslo a označíme
pomocou ta taký prvok množiny M, ktorý je posunutím pozdĺž vektora dĺžky v jednom z dvoch
možných smerov, ktorý je určený znamienkom čísla a. (Ak a=0, potom ta je identickým zobrazením.
Je zrejmé, že

kde operácia ° označuje súčin (kompozíciu) paralelných posunutí. Z toho vyplýva, že zobrazenie

je izomorfizmus algebraických štruktúr

Je zrejmé, že ak sú dve algebraické štruktúry izomorfné, potom ľubovoľné tvrdenie, ktoré je

sformulované len pomocou za daných operácií, bude platiť v jednej z týchto štruktúr vtedy a len
vtedy, keď platí aj v tejto druhej.

Napríklad, operácia ° na množine M sa nazýva komutatívnou ak

pre ľubovoľné

Ak je štruktúra (M,°) izomorfná štruktúra (N,*) a operácia ° je na množine M

komutatívna, potom je aj operácia * komutatívna na množine N.

Z toho vyplýva, že je v podstate jedno, ktorú z izomorfných štruktúr budeme študovať.

Všetky izomorfné štruktúry sú len rozličnými modelmi jedného a toho istého objektu. Avšak mi je
jedno, aký model si vyberieme pri riešení niektorej konkrétnej úlohy. Istý konkrétny model sa môže
ukázať pri riešení úlohy najvhodnejší. Napríklad, ak má niektorý model geometrický charakter,
potom dovoľuje používať geometrické metódy.

1.2. Abelovské grupy

Sčítanie reálnych čísel má nasledujúce vlastnosti

(C1) a + b = b + a (komutatívnosť);
(C2) (a + b) + c = a + (b + c) (asociatívnosť);
(C3) a + 0 = a ;
(C4) a + (-a) = 0 ;

Z týchto vlastností môžeme dedukciou odvodiť vlastnosti. Napríklad, existencia operácii

odčítania, ktorá je opačnou k operácii sčítania znamená, že pre ľubovoľné a,b má rovnica

x + a = b

práve jedno riešenie. Dokážeme to. Ak je prvok c riešením danej rovnice, t.j.

c + a = b, potom (c + a) + (-a) = b+ (-a)

Ak použijeme vlastnosti (C2)-(C4) dostaneme:

(c + a) + (-a) = c + (a + (-a)) = c + 0 = c,

teda

c = b + (-a).

Algebraické štruktúry 4 Strana

Z toho vidno, že ak riešenie existuje, potom je jediné a je rovné b+(-a). Na druhej strane,
dosadenie x=b+(-a) do rovnice ukazuje, že b+(-a) je skutočne riešením , pretože

(b + (-a)) + a = b + ((-a) + a = b + (a + (-a) ) = b + 0 = b

Násobenie reálnych čísel má podobné vlastnosti:

(U1) ab=ba (komutatívnosť)
(U2) (ab)c = a(bc) (asociatívnosť)
(U3) a.1 = a
(U4)

Vlastnosti (U1) - (U4) sa líšia od vlastnosti (C1)-(C4) len formou zápisu a tým, že v (U4)

predpokladáme, že

, pričom v (C4) nemáme žiadne obmedzenia na prvok a. Z tohto dôvodu

ak odvodenie operácie odčítania z vlastností (C1)-(C4) prevedieme do jazyka násobenia,
dostávame (odvodíme) odvodenie z vlastností (U1)-(U4) operácie delenia a ktorá je opačná k
násobeniu. Presnejšie povedané, rovnako sa dokazuje, že rovnica xa=b má pre ľubovoľné

i

ľubovoľné b jediné riešenie, ktoré sa rovná ba-1 .

Všetky tieto úvahy sme tu uviedli nie preto, aby sa čitateľ dozvedel niečo nové o reálnych

číslach, ale aby sme ho priviedli k z hľadiska algebry dôležitej myšlienke. Touto myšlienkou je
axiomatická metóda v algebre, Spočíva v súčasnom študovaní celých tried algebraických štruktúr,
ktoré sa vyznačujú tými alebo inými axiómami, predstavujúcimi niektoré konkrétne vlastnosti
operácii na týchto štruktúrach.

Pri tomto vôbec nie je dôležité, ako sa v každom konkrétnom prípade dané operácie

definujú. Ak sú už splnené axiómy, je platné aj ľubovoľné tvrdenie, ktoré logicky odvodíme z týchto
axióm.

Samozrejme, je len málo axiomatických systémov, ktoré sú skutočne zaujímavé. Nie je

možné len tak "v hlave" vymyslieť taký systém axióm, ktorý by viedol k obsahovo zaujímavej teórii.
Všetky systémy axióm, ktoré skúma moderná algebra, majú dlhotrvajúcu históriu a sú výsledkom
analýzy tých algebraických štruktúr, ktoré vznikali prirodzenou cestou. Takýmito systémami sú
axiómy grupy, druhu, poľa, vektorového priestoru a iné, s ktorými sa čitateľ oboznámi v tejto knihe.

Vlastnosti (C1)-(C4) a tiež (U1)-(U4) sú v podstate systém axióm abelovskej grupy. Predtým

ako uvedieme presné formulácie týchto axióm, povieme si niekoľko slov o terminológii.
Pomenovania a označenia operácií v algebraických štruktúrach nemajú zásadný význam, no
najčastejšie na nazývajú sčítaním alebo násobením a podobne sa aj označujú. Toto umožňuje
využívať rozpracovanú terminológiu a spôsob označovania podobne ako je to pri reálnych číslach,
čo taktiež vyvoláva aj užitočné asociácie.

Uvedieme na začiatku definíciu abelovskej grupy, ktorá využíva jazyk sčítania.
Definícia 1. (Aditívnou) abelovskou grupou nazývame množinu A spolu s operáciu sčítania,

ktorá má nasledujúce vlastnosti:

Algebraické štruktúry 5 Strana

Odvodíme z týchto axióm niektoré jednoduchšie vlastnosti.
1.) Nula je daná jednoznačne. Skutočne, nech 01 a 02 sú dve nuly. Potom :

01 = 01 + 02 = 02

2.) Opačný prvok je daný jednoznačne. Naozaj, nech

sú dva opačné prvky k prvku a.

Potom

3.) Pre ľubovolné a,b má rovnica x + a = b jediné riešenie, rovné b+(-a). Dôkaz je uvedený vyššie.
Toto riešenie nazývame rozdielom prvkov b i a a označujeme b-a.

Príklad 1. Číselné množiny Z, Q, R sú abelovskými grupami vzhľadom na operáciu

obyčajného sčítania.

Príklad 2. Množina vektorov (roviny alebo priestoru) je abelovskou grupou vzhľadom na

obyčajné sčítanie vektorov.

Príklad 3. Postupnosť pozostávajúcu z n čísel nazveme riadkom dĺžky n. Množinu všetkých

takýchto riadkov dĺžky n označíme Rn . Definujeme sčítanie riadkov podľa pravidla

Je zrejmé, že množina Rn je vzhľadom na takto definovanú operáciu abelovskou grupou. Nulou v
tomto prípade je nulový riadok

0 = (0,0,......,0) .

Príklad 4. Množina všetkých funkcií, definovaných na danej podmnožine číselnej priamky je

abelovskou grupou vzhľadom na operáciu obyčajného skladania funkcií.

Uvedieme teraz definíciu abelovskej grupy, pričom použijeme jazyk násobenia.
Definícia 1) . (Multiplikatívnou) abelovskou grupou nazývame množinu A s operáciou

násobenia, ktorá má nasledujúce vlastností

Jednotku multiplikatívnej abelovskej grupy niekedy označujeme aj symbolom 1.

Najjednoduchšie dôsledky axióm abelovskej grupy, ktoré sme dostali na aditívnom jazyku, v

reči multiplikatívnej grupy vyzerajú nasledovne:

1.) jednotka je jediná,
2.) inverzný prvok existuje jednoznačne,
3.) pre ľubovoľné a, b má rovnica ax=b práve jedno riešenie, ktoré sa rovná b.a-1 . Nazýva

Algebraické štruktúry 6 Strana

sa podielom prvku b na prvok a a označuje sa

Príklad 5. Číselné množiny

sú abelovskými grupami vzhľadom na

obyčajnú operáciu násobenia.

V blízkej budúcnosti sa zoznámime so všeobecným pojmom grupy (nie nutne abelovskej),

ktorý nezahŕňa požiadavku komutatívnosti operácie.

1.3 Okruhy a polia

Na rozdiel od grúp sú okruhy a polia algebraické štruktúry s dvomi operáciami, ktoré

obyčajne nazývame sčítaním a násobením. Ich axiómy, podobne ako axiómy abelovskej grupy, sú
odvodené z vlastností operácií na množine reálnych čísel. Pritom axiómy druhu zahŕňajú rozumné
minimum požiadaviek na vlastnosti operácií, ktoré umožňuje zahrnúť aj iné dôležité príklady
algebraických štruktúr, z ktorých nateraz môžeme uviesť len už spomínanú množine vektorov
trojrozmerného priestoru s operáciami sčítania vektorov a vektorového súčinu.

Definícia 1. Okruhom nazývame množinu K, na ktorej sú definované operácie sčítania a

násobenia s nasledujúcimi vlastnosťami :

Odvodíme niektoré dôsledky axióm okruhu, ktoré nie sú dôsledkami axióm aditívnej

abelovskej grupy, o ktorých sme hovorili v §1.2.

Okruh K sa nazýva komutatívny ak je v ňom násobenie komutatívne, t.j.

a asociatívny, ak je v ňom násobenie asociatívne, t.j.

Prvok 1 okruhu (ak taký existuje), sa nazýva jednotkou okruhu ak pre

platí

Algebraické štruktúry 7 Strana

a.1 = 1.a = a

Úplne rovnako, ako v prípade multiplikatívnej abelovskej grupy, sa dokazuje, že v okruhu

nemôžu byť dve rôzne jednotky.

Poznámka 1. Ak 1=0, potom pre ľubovoľné a platí a=a.1=a.0=0,

t.j., okruh obsahuje len nulu. Z toho vyplýva, že ak okruh pozostáva z viacerých prvkov, potom

Poznámka 2. Ak je operácia násobenia komutatívna, potom z dvoch rovností

distributívnosti, ktoré sú v definícii okruhu, môžeme jedno vynechať. Analogická poznámka sa
vzťahuje aj k definícii jednotky.

Príklad 1. Číselné množiny Z, Q, R sú komutatívnymi asociatívnymi okruhmi s jednotkou

vzhľadom na obyčajné operácie sčítania a násobenia.

Príklad 2. Množina 2.Z všetkých párnych čísel je komutatívnym asociatívnym okruhom bez

jednotky.

Príklad 3. Množina všetkých funkcií, definovaných na danej podmnožine číselnej priamky je

komutatívnym asociatívnym okruhom s jednotkou vzhľadom k obyčajným operáciám skladania
funkcií a násobenia funkcií.

Príklad 4. Množina vektorov trojrozmerného priestoru s operáciami sčítania a vektorového

súčinu je nekomutatívnym a neasocionatívnym okruhom. Aj napriek tomu v ňom platia nasledujúce
rovnosti, ktoré v istom zmysle zamieňajú komutatívnosť a asociatívnosť:

Antikomutatívnosť je zrejmá z definície vektorového súčinu.

Úloha 1. Nech M je ľubovolná množina a 2M je množina všetkých podmnožín množiny M.

Ukážte, že 2M je okruhom vzhľadom na operáciu symetrického rozdielu

a vzhľadom na operáciu prieniku množín, ktoré považujeme za sčítanie i za násobenie. Dokážte,
že tento okruh je komutatívny i asociatívny.

Prvok a-1 okruhu s jednotkou (ak taký existuje) sa nazýva inverzným prvkom k prvku a, ak

platí

a.a-1 = a-1.a = 1

(V komutatívnom okruhu stačí požadovať len vyplnenie rovnosti a.a-1=1). Podobne ako aj v prípade
multiplikovanej abelovskej grupy sa dokazuje, že v asociatívnom okruhu s jednotkou nemôže mať
žiadny prvok dva rozličné inverzné prvky. Prvok, ku ktorému existuje inverzný sa nazýva
inverzovateľný.

Definícia 2. Poľom nazývame komutatívny asociatívny okruh s jednotkou, v ktorom ku

každému nemulovému prvku existuje inverzný.

Poznámka 3. Okruh, ktorý pozostáva len zo samotnej nuly nepovažujeme za pole.

Príkladmi polí sú napríklad racionálne čísla Q a pole reálnych čísiel R. Okruh Z nie je poľom : z

Algebraické štruktúry 8 Strana

nich sú inverzovateľné len +-1.

Úloha 2. Dokázať, že existuje pole, ktoré pozostáva z dvoch prvkov. (Je zrejmé, že jeden z

týchto prvkov musí byť nulou poľa a druhý jeho jednotkou.)

V ľubovoľnom poli je splnená nasledujúca dôležitá vlastnosť:

Ak

potom ak vynásobíme obe časti rovnosti ab=0 prvkom a-1 dostaneme b=0.

Existujú aj iné okruhy, v ktorých je splnená táto vlastnosť, napríklad okruh Z. Nazývame ich

okruhmi bez deliteľov nuly. V okruhu bez deliteľov nuly je možné krátiť rovnosť

Skutočne, rovnosť ac=bc môžeme prepísať do tvaru (a - b) . c = 0 , odkiaľ pri

.dostávame a -

b = 0 t.j. a = b.

Uvedieme príklad komutatívneho asociatívneho okruhu s deliteľmi nuly.
Príklad 5. V okruhu funkcií definovaných na podmnožine X číselnej priamky existujú delitele

nuly ak množina X obsahuje viac ako jeden bod. Ak rozdelíme X na dve neprázdne množiny X1
a X2 a položíme

Potom

Neprítomnosť deliteľov nuly v poli znamená, že súčin ľubovoľných dvoch nenulových prvkov

bude tiež nenulovým prvkom. Nenulové prvky poľa K vytvárajú abelovskú grupu vzhľadom na
násobenie. Nazývame ju multiplikatívnou grupou poľa K a označujeme ju K* .

Podgrupy, pod kruhy a podpolia

Nech M je množina s operáciou ° a N je nejaká jeho podmnožina. Hovoríme, že množina N

je uzavretá vzhľadom na operáciu ° ak pre ľubovoľné

V tomto prípade je operácia ° definovaná na množine N, ktorá sa tak stáva nejakou algebrickou
štruktúrou. Ak operácia ° na množine M spĺňa isté vlastnosti, ktoré sa dajú vyjadriť v tvare rovností
(napríklad je komutatívna alebo asociatívna), potom spĺňa tieto vlastnosti určite aj na množine N.
Ale môžu existovať vlastnosti operácie ° , ktoré sa neprenášajú na množinu N.

Tak napríklad, podmnožina aditívnej abelovskej grupy, uzavretá vzhľadom na sčítanie,

nemusí nutne byť abelovskou grupou, pretože nemusí obsahovať nulu alebo prvok, ktorý je opačný
k niektorému jej prvku. Napríklad podmnožina Z+ je uzavretá vzhľadom na sčítanie v abelovskej
grupe Z, no nie je abelovskou grupou, pretože neobsahuje opačné prvky ku všetkým svojim
prvkom okrem nuly.

Definícia 1. Podmnožina B aditívnej abelovskej grupy A sa nazýva podgrupou, ak

Algebraické štruktúry 9 Strana

Poznámka. Je zrejmé, že ak je B neprázdna podmnožina, potom z prvých dvoch

podmienok vyplýva tretia. Preto tretia podmienka môže byť zamenená podmienkou neprázdnosti
podmnožiny.

Ďalej je zrejmé, že každá podgrupa aditívnej abelovskej grupy je sama abelovskou grupou

vzhľadom na tú istú operáciu.

Príklad 1. V aditívnej grupe R existuje nasledujúci reťazec podgrúp:

Príklad 2. V aditívnej grupe vektorov trojrozmerného priestoru je množina vektorov,

rovnobežných danej rovine alebo priamke takisto podgrupou.

V ľubovoľnej aditívnej abelovskej grupe sú dve "triviálne" podgrupy : celá grupa a podgrupa,

ktorá pozostáva len z nuly.

Úloha 1. Dokážte, že každá podgrupa grupy Z má tvar nZ, kde

(riešenie tejto úlohy

možno nájsť v §4.3)

Uvedieme teraz multiplikatívnu variantu predchádzajúcej definície.
Definícia 1). Podmnožina B multiplikatívnej abelovskej grupy A sa nazýva podgrupou ak

Príklad 3. V grupe R* existuje nasledujúci reťazec podgrúp:

Úvahy, ktorými sa začína tento paragraf môžeme rozšíriť aj na algebrické štruktúry s

viacerými operáciami. Takýmto spôsobom prichádzame k nasledujúcim pojmom podokruhu a poľa.

Definícia 2. Podmnožina L okruhu K sa nazýva podokruhom, ak

1.) L je podgrupou aditívnej grupy okruhu K
2.) L je uzavretá vzhľadom na násobenie.

Je zrejmé, že každý podokruh je sám okruhom vzhľadom k tým istým operáciám. To

znamená, že dedí také vlastnosti ako komutatívnosť a asociatívnosť.

Príklad 4. Reťazec podgrúp aditívnej grupy R, uvedený v príklade 1, je súčasne aj reťazcom

podokruhov.

Príklad 5. Pre ľubovoľné

je množina nZ podokruhom okruhu Z. (Porovnaj úlohu 1.)

Úloha 2. Dokážte, že všetky konečné podmnožiny množiny M tvoria podokruh okruhu 2M z

úlohy 3.1.

Algebraické štruktúry 10 Strana

Definícia 3. Podmnožina L poľa K sa nazýva podpoľom, ak

Je zrejmé, že každé podpole je vzhľadom na tie isté operácie poľom.

Príklad 6. Pole Q je podpoľom poľa R.
Úloha 3. Dokážte, že podmnožina L poľa K je podpoľom práve vtedy keď

Úloha 4. Dokážte, že pole Q nemá netriviálne podpolia (t.j. rôzne od neho samého)

1.5. Pole komplexných čísel

Podobne, ako neexistencia delenia v okruhu celých čísel privádza k nutnosti jeho rozšírenia

do poľa racionálnych čísel, aj nemožnosť vypočítať druhé odmocniny zo záporných čísel v poli
reálnych čísel privádza k nutnosti jeho rozšírenia do väčšieho poľa, ktoré nazývame pole
komplexných čísel.

Aby sme lepšie pochopili čo je vlastne pole komplexných čísel, musíme predovšetkým

porozmýšľať o tom čo je pole reálnych čísel. Presná konštrukcia poľa reálnych čísel sa obyčajne
uvádza v matematickej analýze. Nebudeme sa preto zaoberať podrobnosťami. Poznamenajme
však, že existuje niekoľko definícií reálnych čísel: ako nekonečných desatinných zlomkov, ako
Dedekindových rezov množiny racionálnych čísel atď. Formálne povedané, dostávame pritom
rôzne polia. Ktoré z nich je tým "pravým" poľom reálnych čísel? Odpoveď na túto otázku spočíva v
tom, že všetky sú izomorfné a treba ich chápať jednoducho ako rozličné modely jedného a toho
istého objektu, ktorý nazývame pole reálnych čísel.

Najuspokojívnejším v podobných prípadoch sa vždy javí takzvaný axiomatický prístup, v

ktorom sa na začiatku formalizujú v podobe axióm tie vlastnosti, ktoré musí spĺňať skúmaný objekt
a potom sa dokazuje, že je týmito vlastnosťami určený jednoznačne až na izomorfizme a pomocou
nejakej konštrukcie sa dokáže jeho existencia. V prípade poľa reálnych čísel takými axiómami
(okrem axióm poľa) môžu byť axiómy usporiadania, Archimedova axióma a axióma spojitosti.

Poznámka 1. Nie je ťažké dokázať, že ľubovoľné dva modely poľa reálnych čísel nielenže

sú izomorfné, ale medzi nimi existuje len jediný izomorfizmus. (Dôkaz tohto faktu sa redukuje na
dôkaz toho, že každý izomorfizmus poľa R na seba je identický a založený je na úvahe, že sa
nezáporné čísla pri ľubovoľnom izomorfizme musia zobraziť na nezáporné, pretože len tieto čísla
môžu byť druhými mocninami v poli R.) Toto znamená, že každý prvok poľa R má svoju
individualitu, t.j. v ľubovoľnom modeli môžeme identifikovať čísla

atď.

Uvedieme teraz axiomatickú definíciu poľa komplexných čísel.

Algebraické štruktúry 11 Strana

Definícia 1. Poľom komplexných čísel nazývame ľubovoľné pole C, ktoré spĺňa nasledujúce

vlastnosti:

1.) obsahuje ako podpole pole R reálnych čísel
2.) obsahuje taký prvok i, pre ktorý platí
3.) je minimálne spomedzi polí s týmito vlastnosťami, t.j. ak

akékoľvek podpole, ktoré

obsahuje R a i, potom K=C.

Poznámka 2. Z rovnosti x2+1=(x-i)(x+i) vyplýva, že rovnica x2=-1 má v C práve dve riešenia

: i a -i . Ak nejaké podpole obsahuje jedno z týchto riešení, potom musí obsahovať aj druhé.

Veta 1. Pole komplexných čísel existuje a je jediným poľom až na izomorfizmus, ktorý

zobrazuje všetky reálne čísla na seba. Každé komplexné číslo môžeme jednoznačne vyjadriť v
tvare a+ib, kde

a i je (pevný) prvok, ktorého druhá mocnina sa rovná -1.

Dôkaz. 1.) Nech C je niektoré pole komplexných čísel (ak existuje). Skúmajme jeho

podmnožinu

Z vlastností operácií v poli a zo vzťahu i2 = -1 vyplýva, že

(1)

(2)

Riešením zodpovedajúcich rovností tiež dostávame, že

(3)

(4)

Vzťahy (1)-(4) ukazujú, že K je podpole. Pretože, zrejme K obsahuje R aj i, potom K=C.

Z toho vyplýva, že každý prvok poľa C môžeme napísať v tvare a+bi, kde

.

Ukážeme, že takýto tvar je jediný. Nech

potom

.

Ak túto rovnosť umocníme, dostaneme

odkiaľ

Algebraické štruktúry 12 Strana

čo bolo treba dokázať.

Ak teraz C) je iné pole komplexných čísel a

je taký prvok, že

, potom

pretože vzťahy (1) a (2) zostanú v platnosti pri zámene i na i´ , zobrazenie

je izomorfizmus poľa C na pole C´.

2.) Predchádzajúce úvahy nám napovedajú ako dokázať existenciu poľa komplexných čísel.

Skúmajme množinu C dvojíc (a,b), kde

. Definujeme na nej sčítanie a násobenie vzťahmi

ktoré sú podobné ako vzťahy (1) a (2). Je zrejmé, že C je abelovská grupa vzťahom na sčítanie
(porovnaj príklad 2.3) a že násobenie je distributívne vzťahom ku sčítaniu a komutatívne.
Asociatívnosť operácie násobenia môžeme ukázať priamo výpočtom. Z toho vyplýva, že C je
komutatívny a asociatívny okruh.

Pretože

(a, b)(1, 0) = (a, b)

potom prvok (1, 0) je jednotkou okruhu c. Vzťah (4) nám napovedá, ako má vyzerať prvok inverzný
k prvku (a, b) pre

. A naozaj bezprostredný výpočet ukazuje, že

z toho vyplýva, že C je pole.
ďalej platí

t.j. operácie nad dvojicami tvaru (a, 0) sa redukujú k zodpovedajúcim operáciám nad ich prvými
súradnicami. Dohodneme sa stotožňovať dvojicu (a,0) s reálnym číslom a. Potom môžeme
povedať, že takto zostrojené pole C obsahuje pole R ako svoje podpole.

Ak položíme i=(0,1) potom platí

pre

Teda každý prvok poľa C sa (jednoznačne) dá napísať v tvare a+bi, kde

. Preto teda, ak

ktorékoľvek podpole

obsahuje R aj i, potom K=C. z toho vyplýva, že C je pole komplexných

čísel.

Vyjadrenie komplexného čísla

v tvare a+bi

nazývame jeho algebrický tvar,

číslo a pritom nazývame jeho reálnou časťou a označujeme Rec a číslo b nazývame imaginárnou
časťou čísla c a označujeme Imc. Komplexné čísla, ktoré nie sú reálnymi číslami nazývame

Algebraické štruktúry 13 Strana

imaginárnymi, čísla tvaru bi, kde

nazývame rýdzoimaginárne.

Ak v prvej časti dôkazu vety vezmeme ako C) pole C a za i) dosadíme –i, potom dostaneme

zobrazenie

ktoré je izomorfizmus poľa C na seba. Nazývame ho komplexným združením. Vo všeobecnosti
izomorfizmus nejakej algebrickej štruktúry na seba nazývame jej automorfizmom. Z toho vyplýva,
že komplexné združenie

je automorfizmom poľa komplexných čísel. Je zrejmé, že

.

Reálne čísla môžeme charakterizovať aj tým, že sa rovnajú svojim komplexne združeným.

Z toho vyplýva, že pre ľubovoľné

sú čísla

reálne. Skutočne

obr. 1

obr.2

Ľahko sa ukáže, že ak

potom

(5)

Komplexné čísla môžeme zobrazovať pomocou bodov alebo vektorov v rovine. Číslo c = a +

bi zobrazujeme bodom alebo vektorom s pravouhlými súradnicami (a, b) (obr.1) . Niekedy je
vhodnejšie zobrazovať komplexné čísla bodmi, inokedy zase vektormi. Pri zobrazovaní pomocou
vektorov súčtu komplexných čísel zodpovedá obyčajný súčet vektorov podľa rovnobežníkového
pravidla (alebo ekvivalentnému pravidlu trojuholníka).

Poznamenajme, že rozdiel komplexných čísel c2 a c1 je vektor, ktorý spája body zobrazujúce

c1 a c2 (obr. 2).

Namiesto pravouhlých descartových súradníc v rovine je vhodnejšie niekedy používať

Algebraické štruktúry 14 Strana

polárne súradnice. Pomocou nich dostávame nasledujúce pojmy.

Modulom komplexného čísla c = a + bi nazývame dĺžku vektora, ktorý zobrazuje toto číslo.

Modul čísla c označujeme ako . Je zrejmé, že

Obr. 3

Argumentom komplexného čísla nazývame uhol, ktorý zviera zodpovedajúci vektor

s kladnou polo osou x-ovou. Argument je definovaný s presnosťou pripočítania celočíselného
násobku čísla

,pričom argument čísla 0 nie je definovaný. Argument čísla c označujeme ako

argc.

Nech

sú modulom a argumentom čísla c (obr. 3)

Je zrejmé, že

,

odkiaľ dostávame, že

Takýto tvar komplexného čísla nazývame jeho trigonometrický tvar. Pretože trigonometrický

tvar komplexného čísla je určený jednoznačne s presnosťou pripočítania

celočíselného

násobku čísla

potom pre r1, r2 > 0 dostávame

Trigonometrický tvar komplexného čísla je výhodné používať pri takých operáciách ako sú

násobenie, delenie, mocnina a nájdenie odmocniny.

Zo vzťahov pre kosínus a sínus súčtu dvoch uhlov vyplýva, že

to znamená, že pri násobení komplexných čísel vynásobíme ich moduly a argumenty sčítame.

Z tohto dostávame nasledujúce vzťahy pre delenie a mocninu:

Algebraické štruktúry 15 Strana

(Moirov vzorec)

U-tá odmocnina komplexného čísla

je vlastne riešenie rovnice zn=c.

Nech

Z toho vyplýva, že

čiže v konečnom dôsledku dostávame

.

Rovnakú hodnotu z dostávame na základe tohto vzorca práve vtedy, ak za k berieme také

čísla, ktorých rozdiel je deliteľný číslom n. Z toho vyplýva, že pre

má rovnica zn=c práve n

koreňov, ktoré dostaneme, napríklad pre k=0,1,....,n-1 . Pri geometrickom zobrazení sa tieto čísla
nachádzajú vo vrcholoch pravidelného u-uholníka so stredom v počiatku súradnicovej sústavy
( pozri obr.4, na ktorom je zobrazený prípad n=6).

1.6. Okruh zvyškových tried

Rozšírenie okruhu celých čísel nás privádzajú k reťazcu okruhov

do ktorého , ako uvidíme neskôr, môžeme začleniť aj iné ohnivká (môžeme ho predĺžiť aj napravo).

Okruhy zvyškových tried síce deifinujeme na základe celých čísel, ale zmyslom ich určenia

je niečo úplne iné. Konštruujeme ich na základe často v matematike používaného princípu tzv.
„zlepovania“, t.j. vytváraním faktorovej množiny na základe relácie ekvivalentnosti.

Nech je M ľubovoľná množina. Každú podmnožinu

nazývame reláciou na

množine M. Ak

, potom hovoríme, že prvok a je v relácii R s prvkom b a zapisujeme aRb.

Príklady relácií:

Algebraické štruktúry 16 Strana

1.) M – množina ľudí; aRb, ak a pozná b.
2.) M – to isté; aRb, ak a aj b sú navzájom známe
3.) M – to isté; aRb, ak a aj b bývajú v jednom dome
4.) M=R; aRb ak
5.) M je množina kružníc v rovine; aRb, ak sa kružnice a aj b rovnajú, t.j. jednu môžeme

previesť na druhú pomocou tzv. izometrie.

Reláciu R nazývame reláciou ekvivalentnosti, ak sú splnené nasledujúce vlastnosti:

Z vyššie uvedených príkladov relácií len tretia a piata je reláciou ekvivalencie: prvá a štvrtá

nie je symetrická a druhá je síce symetrická ale nie je tranzitívna.

Reláciu ekvivalencie obyčajne zapisujeme ako
Nech je R relácia ekvivalencie na množine M. Pre každé

vytvoríme množinu

Z vlastností relácie ekvivalentnosti ľahko odvodíme, že ak

a zároveň

Takýmto spôsobom podmnožiny R(a) vytvárajú rozklad množiny M, t.j. sú navzájom

disjunktné a taktiež ju pokrývajú. Nazývame ich triedy ekvivalencie R. Čiže dva prvky množiny M
sú ekvivalentné práve vtedy ak patria do tej istej triedy.

Množinu, ktorej prvkami sú triedy ekvivalencie R, nazývame faktorová množina množiny M

podľa relácie ekvivalentnosti R a označujeme ju ako M/R.

Zobrazenie

nazývame zobrazením faktorizácie.

Tak, v treťom z vyššie uvedených príkladov sú triedy ekvivalencie množiny obyvateľov

jedného domu. Faktorová množina je totožná s množinou domov a zobrazenie faktorizácie je
zobrazením, ktoré každému človeku priradí dom, v ktorom býva. V piatom príklade sú triedy
ekvivalencie množiny kružníc rovnakého polomeru a faktorovú množinu môžeme stotožniť
s množinou kladných čísel. Zobrazenie faktorizácie je v tomto prípade zobrazenie, ktoré každý
kružnici priradí jej polomer.

Nech je na množine M daná nejaká operácia

. Hovoríme, že je relácia

ekvivalencie R na množine M v súlade s operáciou *, ak

V tomto prípade môžeme na faktorovej množine M/R definovať operáciu * podľa pravidla

Algebraické štruktúry 17 Strana

R(a) * R(b) = R(a*b)

Slovne môžeme tneot vzťah interpretovať takto: aby sme mohli uskutočniť operácie

s ľubovoľnými dvomi triedami ekvivalencie, treba z nich vybrať ľubovoľných zástupcov, vykonať
operáciu s nimi a zobrať tú triedu, v ktorej bude ležať takto získaný prvok. To, že táto trieda nebude
závisieť od výberu ukázaných reprezentantov je zabezpečené práve tým, že relácia ekvivalencie je
v súlade s danou operáciou.

Je zrejmé, že všetky vlastnosti operácie na M, ktoré majú charakter rovnosti, napríklad

komutatívnosť a asociatívnosť, sa prenášajú na takým spôsobom definovanú operáciu na M/R. To
isté môžeme povedať aj o existencii nuly (jednotky) a opačného (inverzného) prvku. Podrobnejšie
to znamená, že ak sa operácia na M nazýva sčítaním a v M existuje nulový prvok 0 vzhľadom
k tejto operácii, potom R(0) je nulovým prvkom v M/R, ak je –a opačný prvok k prvku a v M, potom
R(-a) je prvok, ktorý je opačný k prvku R(a) v M/R.

Teraz sa budeme venovať konštrukcii okruhov zvyškových tried. Nech n je pevne dané

prirodzené číslo. Na množine Z celých čísel budeme skúmať tzv. relácie kongruencie podľa modulu
n: hovoríme, že a je kongruentné s b podľa modulu n (označujeme

), práve vtedy, ak

a-b je deliteľné číslom n, alebo čo je ekvivalentné, ak a aj b dávajú ten istý zvyšok pri delením
číslom n.

Je zrejmé, že táto relácia kongruencie je reláciou ekvivalentnosti. Triedy tejto relácie

môžeme označiť číslami 0,1,...,n-1 tak, že (neviem prečitať!! bud r-1 či r-a ) trieda pozostáva
zo všetkých celých čísel, ktoré dávajú pri delení číslom n zvyšok r.

Trieda ekvivalencie, ktorá obsahuje číslo a sa nazýva zvyšková trieda čísla a modulu n

a označuje sa ako [a]n , alebo jednoducho len ako [a], ak je jasné, aké n máme na mysli.

faktorovú množinu množiny Z podľa relácie kongruencie modulu n označujeme Zn . Môžeme

napísať, že

ale treba mať na pamäti, že každý prvok množiny Zn môžeme byť označený rôzne. Tak, napríklad
prvok [1]n môže byť rovnako úspešne označený ako [2n+1]n , [-(n-1)]n atď….

Teraz dokážeme, že relácia kongruencie modulu n je v súlade s operáciami sčítania

i násobenia na Z. Nech

potom

a podobne

Takto môžeme definovať na množine Zn operácie sčítania a násobenia nasledovne

ktoré platia pre ľubovoľné

. Takýmto spôsobom sa množina Zn stáva komutatívnym,

asociatívnym okruhom s jednotkou. Nazývame ho okruhom zvyškových tried modulu n.

Príklad 6. Dolu sú uvedené tabuľky sčítania a násobenia v okruhu Z5 . V tomto prípade,

Algebraické štruktúry 18 Strana

kvôli jednoduchosti, sú štvorcové zátvorky na označovanie prvkov tohto okruhu vynechané.

Vidíme, napríklad, že prvky 2 a 3 sú navzájom inverzné a prvok 4 je inverzný sám k sebe.

Príklad 7. Vypočítajme [2]100 v okruhu Z125 :

výsledok, ktorý sme dostali, zanemená, že

z toho ľahko odvodíme, že

t.j. číslo 2100 , zapísané v desiatkovej sústave, sa končí číslom 375.

Okruh Zn má všetky vlastnosti poľa, okrem a to nie vždy, existencie inverzných prvkov

k nenulovým prvkom. Je zrejmé, že Z2 je poľom pozostávajúcim z dvoch prvkov, o ktorom sa
hovorilo v úlohe 3.2. Keď si dobre všimneme hore uvedenú tabuľku násobenia v okruhu Z5 ,
uvidíme, že Z5 je taktiež poľom. Na druhej strane Z4 nie je poľom, pretože prvok [2] nemá v tomto
poli inverzný.

Veta 1. Okruh Zn je poľom práve vtedy, keď je n prvočíslo.
Dôkaz.

1.) nech je n zložené číslo, t.j. n=k.e, kde 1<k, e<n . Potom

ale

Z toho vyplýva, že v okruhu Zn existujú delitele nuly, čo znamená, že nie je poľom.

2.) Nech naopak, n je prvočíslo a prvok

t.j. číslo a nie je deliteľné číslom n. Budeme

hľadať prvok inverzný k [a]n výberom z čísel, ktoré získame násobením [a]n všetkými

Algebraické štruktúry 19 Strana

prvkami poľa. Takto dostaneme prvky

(7)

Ukážeme, že všetky tieto prvky sú rôzne. Naozaj, ak

potom

t.j. číslo (l-k)a je deliteľné číslom n, čo nie je možné , pretože ani l-k ani a nie sú

deliteľné číslom n. (Využili sme tú skutočnosť, že n je prvočíslo.) Z toho vyplýva, že v množine (7)
sú zastúpené všetky prvky okruhu Zn , čiže aj [1]n a to znamená, že prvok [a]n má inverzný.

V poliach zvyškových tried sa stretávame s ničím, čo nenachádzame v číselných poliach.

V poli Zn , ak je n prvočíslo, je splnená rovnosť

(8)

(Samozrejme toto je Pravda aj v okruhu Zn pre ľubovoľné n.) Toto sa prejaví na istých
zvláštnostiach algebrických zobrazení v tomto poli, a ktorých budeme hovoriť nižšie.

Nech je vo všeobecnosti K ľubovoľné pole. Najmenšie prirodzené číslo n, pre ktoré je

v K splnená rovnosť (8), nazývame charakteristikou tohto poľa. Ak také n neexistuje, potom
hovoríme, že K je pole s charakteristikou nula. Teda Zn (n je prvočíslo) je pole charakteristiky n
a číselné polia majú nulovú charakteristiku. Charakteristiku poľa K označujeme ako char K.

Ak char K=n , potom pre ľubovoľné

platí

Charakteristika poľa, ak je kladné číslo, je vždy prvočíslom. Skutočne, ak char K=n=kl (1<k,

l<n). Potom

z čoho vyplýva, že buď

alebo

čo je v rozpore s definíciou

charakteristiky.

Väčšina vzorcov elementárnej algebry platí v ľubovoľnom poli, pretože pri ich odvodení sa

používajú len tie vlastnosti operácií sčítania a násobenia, ktoré patria medzi axiómy poľa, alebo sú
ich dôsledkom. Zvláštnosť polí s kladnou charakteristikou sa prejavuje iba v tých vzorcoch, ktoré
obsahujú násobenie alebo delenie prirodzeným číslom.

Všimnite si , napríklad vzorec

(a+b)2=a2+2ab+b2

Tento vzorec je platný v ľubovoľnom poli, ak chápeme 2ab ako ab+ab.

Avšak v poli s charakteristikou 2 nadobúda jednoduchšiu podobu

Algebraické štruktúry 20 Strana

(a+b)2=a2+b2 .

Všeobecnejšie, v poli s charakteristikou n platí rovnosť

(a+b)n=an+bn

Skutočne, podľa Newtonovho binomiálneho vzorca platí

Avšak pre 0<k<n, číslo

(Číslo

predstavuje počet variácií k-tej triedy z n prvkov). Ako je vidieť, je deliteľné číslom n.

Z toho vyplýva, že všetky sčítance v tomto vzorci, okrem prvého a posledného, sú v danom
prípade rovné nule.

Úloha. Z tohto odvodiť, že v poli Zn (n je prvočíslo) pre ľubovoľné a platí an=a. (Iný dôkaz

tejto skutočnosti, ktorú nazývame malou Fermatovou vetou, bude daný v paragrafe 4.4.)

Horšie je to v prípade, ak musíme deliť prirodzeným číslom, napríklad, keď chceme nájsť

výraz pre súčin ab z vyššie uvedeného vzorca pre druhú odmocninu súčtu. Aby sme dali zmysel
tomuto deleniu v ľubovoľnom poli, môžeme chápať násobenie prirodzeným číslom k ako násobenie

na prvok

daného poľa, potom delenie číslom k môžeme chápať ako delenie na tento

prvok. Avšak ak je k deliteľné charakteristikou poľa, potom je tento prvok rovný nule a v tomto
prípade deliť nemôžeme.

Čiže vzorec na výpočet riešenia kondratickej rovnice, ktorý obsahuje delenie číslom 2

možno použiť vo vyššie uvedenom zmysle v ľubovoľnom poli charakteristiky

, len v poli

s charakteristikou 2 tento vzorec neplatí.

Príklad 8. Budeme riešiť kondratickú rovnicu

x2+x-1=0

v poli Z11. Podľa vzorca dostávame:

Pretože [5]=[16]=[4]2 môžeme vyjadriť

(to je jedna hodnota druhej mocniny). Z toho

vyplýva, že

Algebraické štruktúry 21 Strana

1.7. Vektorové priestory

Vektory, ktoré sa preberajú v elementárnej geometrii môžeme nielen sčítavať, ale aj

vynásobiť číslom. Analýza vlastností týchto dvoch operácií nás privádza k pojmu vektorového
priestoru.

Prv ako napíšeme definíciu vektorového priestoru musíme poznamenať, že tu vychádzame

za rámec tak chápanej operácii na množine ako tomu bolo doteraz. Násobenie vektora a čísla nie
je lineárna operácia s dvomi prvkami jednej a tej istej množiny. Je to operácia, ktorá každej dvojici
(číslo, vektor) priradí vektor. Vo všeobecnej definícii vektorového priestoru je to podobné až na to,
že reálne čísla zamieňame prvkami ľubovoľného (no pevného) poľa.

Definícia 1. Vektorovým priestorom nad poľom K nazývame množinu V spolu s operáciami

sčítania a násobenia prvkami z poľa K, ktoré majú nasledujúce vlastnosti:

1.) (V,+) je abelovská grupa

Prvky vektorového priestoru nazývame vektory. Prvky poľa K, na rozdiel od vektorov,

budeme nazývať číslami (skalármi) aj v tom prípade, ak K nie je číselné pole (tj. podpole poľa
komplexných čísel).

Vektory v zmysle elementárnej geometrie budeme odteraz nazývať geometrické vektory.

Operácie s nimi vyhovujú všetkým axiómam vektorového priestoru, čo sa vlastne stalo základom
pre vyššie uvedenú definíciu. Priestor geometrických vektorov euklidovskej roviny (taktiež
trojrozmerného euklidovského priestoru) budeme označovať ako E2 (ako E3). Podčiarknime, že
tento vektorový priestor je nad poľom R. Uvedieme iné dôležité príklady vektorových priestorov.

Príklad 1. množina Kn riadkov dĺžky n s prvkami z poľa K je vektorovým priestorom nad

K vzhľadom k operáciam , ktoré sú definované vzťahmi

Príklad 2. Množina F(X,K) všetkých funkcií definovaných na množine X s hodnotami v poli

K je vektorým priestorom s obyčajnými operáciami s funkciami

Príklad 3. Nech K je podpoľom poľa L. Potom L môžeme považovať za vektorový priestor

nad K, keď definujeme násobenie prvkov z L na prvky z K jednoducho ako násobenie v L.
Napríklad, pole C je v tomto zmysle vektorovým priestorom nad R.

Ukážeme niektoré dôsledky axióm vektorového priestoru, ktoré nie sú dôsledkami iba axióm

abelovskej grupy. Všetky sa dokazujú analogicky ako podobné im dôsledky axióm okruhu (kapitola
1.3) Symbolom 0 označujeme jednak nulu v poli K a tiež aj nulový vektor, tj. nula aditívnej grupy V;
čitateľ uvidí, že takéto označenia neprivedú k mýlke.

Algebraické štruktúry 22 Strana

add1 – tu je 0-nulový vektor
add4 – ľavá nula je číslo , pravá nula je vektor

Definícia 2. Podmnožina U vektorového priestoru V nazývame podpriestorom, ak
1.) U je podgrupou aditívnej grupy V
2.)
Poznámka. V definícii podgrupy sa vyžaduje, že ak

Z podmienky 2) vyplýva, že táto vlastnost je splnená automaticky, pretože –a=(-1)a.
Podpriestor vektorového priestoru je sám vektorovým priestorom s tými istými operáciami.

Príklad 4. V priestore E3 je množina vektorov, rovnobežných zadanej rovine, alebo priamke

podpriestorom.

Príklad 5. V priestore F(X,R) všetkých funkcií definovaných na danom intervale X reálnej

priamky je množina spojitých funkcií podpriestorom.

V každom vektorovom priestore V sú dva „triviálne“ podpriestory :

samotný priestor V a nulový podpriestor (ktorý obsahuje len nulový vektor). Tento podpriestor
budeme tiež označovať symbolom 0.

Definícia 3. Vektorové priestory V a U nad tým istým poľom K sa nazývajú izomorfné, ak

existuje také bijektívne zobrazenie

že,

Samotné zobrazenie f nazývame izomorfizmus priestorov V a U. Ako uvidíme v kapitole 2.2,

opis vektorových priestorov bude pomerne celkom jednoduchý. Totiž všetky takzvané
konečnorozmerné vektorové priestory, s ktorými sa v podstate budeme zaoberať, sú izomorfné
s priestorom Kn . Kľúčovým pojmom tejto teórie je pojem bázy.

Každý výraz tvaru

sa nazýva lineárnou kombináciou vektorov

. Hovoríme, že vektor b môžeme lineárne

vyjadriť pomocou vektorov

ak sa rovná nejakej ich lineárnej kombinácii.

Definícia 4. Usporiadanú množinu vektorov

nazývame bázou vektorového

priestoru V, ak každý vektor

môžeme jednoznačne vyjadriť lineárne pomocou vektorov

Koeficienty v tomto vyjadrení nazývame súradnicami vektora a v báze

Príklad 6. Z geometrie vieme, že ľubovoľné dva nerovnobežné vektory l1, l2 tvoria bázu

priestoru E2 (obr. 5). analogicky , ľubovoľné tri vektory, ktoré neležia v jednej rovine sú bázou
priestoru E3.

Príklad 7. Jednotkové vektory

tvoria bázu priestoru Kn. Súradnicami riadku

sú v tejto báze čísla

Samozrejme, že v priestore Kn existujú aj iné bázy.

Príklad 8. Príkladom bázy poľa C ako vektorového priestoru nad R (porovnaj príklad 3) je

množina {1,i} Súradnicami konplexného čísla v tejto báze budú jeho reálna a imaginárna časť.

Algebraické štruktúry 23 Strana

Tvrdenie 1. Každý vektorový priestor V nad poľom K, ktorý má bázu pozostávajúcu z n

vektorov, je izomorfný s priestorom Kn.

Dôkaz. Nech

je bázou priestoru V. Skúmajme zobrazenie

ktoré každému vektoru priradí riadok pozostávajúci z jeho súradníc v báze

Je zrejmé,

že toto zobrazenie je bijektívne. Ďalej, ak

potom

Odtiaľto dostávame, že f je izomorfizmus.

Príklad 9. Priestor E2 (alebo E3) je izomorfný priestoru R2 (alebo R3)

obr. 5

1.8. Algebry

Z dôvodu krajnej jednoduchosti svojho zloženia nie sú vektorové priestory zaujímavé len

samy o sebe, ale tvoria nevyhnutné pozadie pre ďalšie algebraické (a nielen algebraické) teórie.
Tak napríklad kombináciou pojmu vektorového priestoru a okruhu prichádzame k dôležitému pojmu
algebry.

Definícia. Algebrou nad poľom K nazývame množinu A s operáciami sčítania a násobenia

i násobenia prvkami z poľa K, ktoré majú nasledujúce vlastnoti:

1.) s operáciami sčítania a násobenia prvkami poľa je A vektorový priestor
2.) s operáciami sčítania a násobenia je A okruhom
3.)

Poznámka. Termín „algebra“, ktorý sme doteraz používali len ako názov jedného zo smerov

matematiky, má v tejto definícii, prirodzene, iný zmysel.

Príklad 1. Každé pole L, ktoré obsahuje K ako podpole, môžeme považovať za algebru nad

K. Napríklad pole C je algebra nad R.

Príklad 2. Priestor E3 je algebrou s operáciou vektorového súčinu.
Príklad 3. Množina funkcií F(X,K) definovaných na množine X s hodnotami v poli K (porov.

príklad 7.2) je algebrou nad K s operáciami obyčajného súčtu a súčinu funkcií a násobenia funkcie
číslom. Táto algebra je komutatívna, asociatívna, obsahuje jednotku (je funkcia identicky rovná
jednotke).

Úloha. Dokázať, že okruh 2M z úlohy 3.1 je algebrou nad poľom Z2, ak na ňom definujeme

násobenie prvkami tohto poľa podľa pravidiel.

Predpokladajme, že algebra A obsahuje bázu

, ako vektorový priestor nad K,

a nech

Algebraické štruktúry 24 Strana

sú dva rôzne prvky tejto algebry. Potom z distributívnosti násobenia vzhľadom k sčítaniu
a vlastnosti 3) z definície algebry vyplýva, že

čo ukazuje, že násobenie v algebre A je úplne určené súčinom bázových vektorov.

Ak je súčin bázových vektorov komutatívne, tj

potom je aj násobenie v algebre A komutatívne. Skutočne, pre ľubovoľné

potom podľa

vyššie uvedených označení dostávame

Analogicky sa dokazuje, že ak je násobenie bázových vektorov asociatívne, tj.

potom je násobenie v celej algebre A asociatívne.

Na druhej strane, ak je v nejaký vektorový priestor s bázou

a

- sú ľubovoľné vektory tohto priestoru, potom môžeme definovať operáciu násobenia vo V podľa
pravidla

a tak zmeniť priestor V na algebru.

Príklad 4. Pole C ako algebra nad R je daná nasledujúcou tabuľkou násobenia bázových

vektorov

Overovanie komutatívnosti i asociatívnosti násobenia v C sa redukuje k triviálnemu overeniu

komutatívnosti i asociatívnosti násobenia prvkov 1 a i .

Príklad 5. V ortonormálnej (tj. pozostávajúcej z ortogenálnych jednotkových vektorov) báze

priestoru E3 vyzerá tabuľka vektorového súčinu nasledovne :

Tento súčin je antikomutatívny a spĺňa Jacobiho rovnosť (pozri príklad 3.4). Túto rovnosť

stačí overiť pre bázové vektory, čo nie je až také ťažké (urobte to!)
Príklad 6. Algebra kvaterniónov H je daná bázou {1,I,j,k} a tabuľkou ich súčinov :

Táto algebra je asociatívna (overte to!), no nie je komutatívna. Obsahuje ako podalgebru

(pozri definíciu nižšie), algebru komplexných čísel. Neskôr uvidíme, že v algebre H, chápanej ako

Algebraické štruktúry 25 Strana

pole, má každý nenulový prvok inverzný prvok. Z toho vyplýva, že je „nekomutatívnym poľom“.

Podmnožinu algebry nazývame podalgebrou ak je súčasne podpriestorom i podokruhom.

Zobrazenie algebier nazývame izomorfizmom, ak je súčasne izomorfizmom vektorových priestorov
i izomorfizmom okruhov.

1.9. Algebra matíc

Maticou typu m x n nad poľom K nazývame pravouhlú tabuľku prvkov poľa K, ktorá má m

riadkov a n stĺpcov. Prvky matice sa obyčajne označujú tým istým písmenom s dvomi indexami,
prvý označuje číslo riadku a druhý číslo stĺpca:

Inokedy, kvôli krátkosti, budeme písať jednoducho

Súčtom matíc

a

toho

istého typu nazývame maticu

Súčinom matice

na prvok

nazývame maticu

Vzhľadom k týmto operáciám tvoria všetky matice typu m x n vektorový priestor, ktoré budeme
označovať Km x n . V podstate sa neodlišuje od priestoru riadkov Km x n. Špecika matíc sa prejavuje
pri definícii ich násobenia.

Súčinom matice

typu m x n a matice

typu m x p sa nazýva matica

typu m x p , ktorej prvky dostávame podľa vzorcov

(Zmysel tejto definície objasníme v kapitole 2.3)

Pripomeňme, že súčin dvoch matíc je definovaný len vtedy, keď sú ich typy v zhode, čo

znamená, že počet stĺpcov prvej matice sa rovná počtu riadkov druhej.

Príklad 1

Príklad 2

Násobenie matíc je asociatívne v tom zmysle, že

ak sú však rozmery matíc A, B, C, v zhode tak, že všetky súčiny majú zmysel.

Algebraické štruktúry 26 Strana

Skutočne, nech

potom dostávame :

čiže platí

Maticu typu n x n nazývame štvorcovou maticou rádu n. Štvorcová matica má dve

diagonály. Jedna z nich, ktorá ide z ľavého horného uhlu do pravého dolného, sa nazýva hlavná
diagonála alebo jednoducho diagonála a druhá bočná (vedľajšia) diagonála. Štvorcovú maticu
nazývame diagonálnou , ak sú všetky jej prvky, ktoré sa nachádzajú mimo hlavnej diagonály, rovné
nule. Násobenie s diagonálnou maticou vyzerá veľmi jednoducho :

(každý riadok druhej matice vynásobíme zodpovedajúcim diagonálnym prvkom prvej matice)
a podobne,

(každý stĺpec prvej matice vynásobíme príslušným diagonálnym prvkom z pravej matice).

Diagonálnu maticu tvaru

nazývame jednotkovou maticou. Z predchádzajúcich vzťahov vyplýva, že pre ľubovoľnú maticu
A typu m x n platí

kde E v prvom prípade označuje jednotkovú maticu rádu n a v druhom jednotkovú maticu rádu m.

Nasledujúce jednoduché vlastnosti spájajú operáciu násobenia matíc s druhými operáciami :

(Podobne ako tomu bolo pri asociatívnosti násobenia matíc, aj tu predpokladáme, že rozmery
matíc sú(sa) v zhode takým spôsobom, že všetky operácie majú zmysel).

Súčet a súčin štvorcových matíc toho istého rádu u majú zmysel a rovnajú sa štvorcovým

maticiam toho istého rádu u. Vlastnosti (9)-(12) ukazujú, že všetky štvorcové matice rádu u tvoria
asociatívnu algebru s jednotkou. Budeme ju označovať Ln(K).

Všimnime si niektoré „záporné“ vlastnosti algebry Ln(K), pre

. (Algebra L1(K) je pole K)

1) Algebra Ln(K) nie je komutatívna. Pre n=2 toto možno demonštrovať nasledujúcim

príkladom:

Podobné príklady môžeme uviesť i pre n>2 .

2) Algebra Ln(K) obsahuje delitele nuly. Túto vlastnosť ukazuje, napríklad druhá z nižšie

Algebraické štruktúry 27 Strana

uvedený ch rovností. Naviac existujú také nenulové matice, druhá mocnina ktorých je
rovná nulovej matici, napríklad

3) nie každý nenulový prvok algebry Ln(K) má inverzný prvok. Vyplýva to z existencie

deliteľov nuly a tej skutočnosti, že deliteľ nuly možno invertovať (porov. dôkaz

neexistencii deliteľov nuly v poli, daný v 1.3) Tak , napríklad, k maticiam

i

neexistujú inverzné v L2(K)

Úloha 1. Maticu Eij , ktorá má na mieste (i, j) jednotku a všade inde nuly sa nazýva

maticovou jednotkou (nemýliť s jednotkovou maticku E!). Maticové jednotky Eij (i, j=1,...,n) tvoria
bázu vektorového priestoru Ln(K). Napíšte tabuľku násobenia algebry Ln(K) v tejto báze.

Úloha 2. Matice tvaru

nazývame skalármi. Je zrejmé, že ľubovoľná skalárna

matica komutuje so všetkými štvorcovými maticami toho istého rádu. Dokážte opačné tvrdenie:
každá štvorcová matica, ktorá komutuje so všetkými štvorcovými maticami toho istého rádu, je
skalárna.

Úloha 3. Dokážte, že v algebre L2(R) matice tvaru

tvoria podalgebru, ktorá je izomorfná s algebrou komplexných čísel.

Úloha 4. Dokážte, že v algebre L2(C), ktorú budeme skúmať ako algebru nad poľom R,

matice tvaru

tvoria podalgebru, ktorá je izomorfná algebrou kvaterniónov (porov. príklad 8.6).

Ku každej matici

priradíme tzv. transparentnú maticu

riadkami ktorej sú stĺpce matice A, a stĺpcami zase riadky matice A. Ak označíme (i, j) – tj. prvok
transponoaný matice ako

potom

Je zrejmé, že

a tiež , že platí

Dokážeme, že

Skutočne, nech

potom

z čoho vyplýva, že

Algebraické štruktúry 28 Strana

Poznámka. Čitateľ si môže dokázať, že všetky konštrukcie v posledných troch paragrafoch

sa nemenia, ak za K vezmeme ľubovoľný komutatívny asociatívny okruh s jednotkou, napríklad,
okruh celých čísel alebo okruh zvyškových tried. Jediná odlišnosť je v terminológii: namiesto termín
„vektorový priestor“ v tejto všeobecnejšej situácii používame termín „modul“ .

KAPITOLA 2

Úvod do lineárnej algebry

2.1. Systémy lineárnych rovníc

Nech K je ľubovoľné (no pevne dané) pole. Keď pripustíme istú nepresnosť vo vyjadrovaní,

budeme obyčajne nazývať jeho prvky číslami. Ak si čitateľ nedokáže predstaviť ľubovoľné pole,
môže predpokladať, že K=R, hoci objektívne tento prípad nie je vôbec jednoduchší od
všeobecného.

Lineárnou rovnicou s neznámymi

nad poľom K nazývame rovnicu tvaru

kde koeficienty

i pravá strana b sú prvkami poľa K. Lieneárnu rovnicu nazývame

homogénnou ak b=0.

Systém m lineárnych rovníc s n neznámymi zapisujeme vo všeobecnom tvare nasledujúcim

spôsobom:

maticu

nazývame matica koeficientov a maticu

nazývame rozšírená matica systému (13).
Systém rovníc nazývame riešiteľný, ak má aspoň jedno riešenie a neriešiteľný v opačnom prípade.
Riešiteľný systém môže mať jedno alebo viac riešení. Vyriešiť systém rovníc znamená nájsť všetky
jeho riešenia.

Všimnime si, že jedno riešenie systému rovníc s n neznámymi je usporiadaná n-tica čísel, tj.

prvok priestoru Kn.

Existuje jednoduchá všeobecne platná metóda riešenia systému lineárnych rovníc, ktorú

nazývame Gaussova metóda. Podstata tejto metódy spočíva v tom,že ľubovoľný systém lineárnych
rovníc privedieme pomocou špeciálnych transformácií, ktoré nazývame elementárne operácie,
k ekvivalentnému systému jednoduchého tvaru, ktorého riešenia dokážeme ľahko nájsť.
Pripomeňme, že dva systémy lineárnych rovníc nazývame ekvivalentné, ak sa množiny ich riešení
rovajú, ktj. ak je každé irešenia prvého systému súčasne riešením druhého a naopak.

Definícia 1. Elementárne operácie systému lineárnych rovníc sú operácie nasledujúcich

troch typov:

Algebraické štruktúry 29 Strana

1) pripočítanie násobku niektorej rovnice k inej rovnici
2) výmena dvoch rovníc
3) vynásobenie rovnice číslom rôznym od nuly.
Všimnime si, že pri elementárnej operácii prvého typu sa zmení len tá rovnica, ku ktorej

pripočítavame inú rovnicu vynásobenú nejakým číslom.

Je zrejmé, že každé riešenie pôvodného systému rovníc je aj riešením nového systému,

ktorý dostaneme pomocou elementárnych operácií. Na druhej strane, pôvodný systém rovníc
môžeme dostať z nového systému vhodnými elementárnymi operáciami toho istého typu. To
znamená, že ak pripočítame k prvej rovnici druhú vynásobenú číslom c, potom aby sme sa vrátili
späť musíme pripočítať k prvej rovnici nového systému jeho druhú rovnicu (ktorá je taká istá ako
u pôvodného systému), ktorú vynásobíme číslom –c. Z tohto dôvodu dostávame pomocou
ľubovoľnej elementárnej operácie systému rovníc, ktorý je ekvivalentný pôvodnému systému.

Pretože je pohodlnejšie pracovať nie so samotnými systémami lineárnych rovníc, ale s ich

rozšírenými maticami, uvedieme zodpovedajúcu definíciu pre matice.

Definícia 1´. Elementárnymi riadkovými operáciami matice A nazývame operácie

nasledujúcich troch typov:

1) pripočítanie násobku niektorého riadu k inému riadku
2) výmena dvoch riadkov
3) vynásobenie niektorého riadku číslom rôznym od nuly

Je zrejmé, že každá elementárna operácia systému lineárnych rovníc zodpovedá tej istej

elementárnej riadkovej operácii nad maticou koeficientov a rozšírenou maticou.

Teraz ukážeme, že pomocou elementárnych riadkových operácií môžeme ľubovoľnú maticu

priviesť k dostatočne jednoduchému tvaru.

Prvý nenulový prvok nenulového riadku

nazývame jej vedúcim prvkom.

Definícia 2. Maticu nazývame stupňovitou, ak :

1) indexy vedúcich prvkov tvoria ostro rastúcu postupnosť
2) nenulové riadky, ak existujú, tak sa nachádzajú v dolnej časti.

Stupňovitá matica je teda matica tvaru

v ktorej sú prvky

nachádzajúce sa v rohoch stupňovitej čiary, rôzne od nuly a všetky

prvky, ktoré sa nachádzajú vľavo od tejto čiary, sú rovné nule. Pritom platí

Veta 1. Každú maticu možno pomocou elementárnych riadkových operácií priviesť

k stupňovitému tvaru.

Dôkaz. ak je daná matica nulová, potom je už stupňovitá. Ak je nenulová, potom nech j1 je

číslo jeho prvého nenulového stĺpca. Ak je potrebné, výmenou riadkov dosiahneme to, že

Potom pripočítame ku každému riadku, počínajúc druhým, prvý riadok vynásobený takým číslom,
aby sa všetky prvky j1-ho stĺpca, okrem prvého, zmenili na nulu. Dostaneme maticu tvaru

Ak budeme upravovať takýmto spôsobom maticu A1 nakoniec dostaneme maticu tvaru (14).
Poznámka 1. V tomto dôkazu sme nepoužívali elementárne operácie tretieho typu. V praxi

však môžu byť užitočné.

Algebraické štruktúry 30 Strana

Príklad 1. Upravíme k stupňovitému tvaru maticu

Ak odpočítame od druhého, tretieho a štvrtého riadku riadok prvý postupne vynásobený číslami 1,2
a 2 dostaneme maticu

Ďalej pripočítame k tretiemu a štvrtému riadku riadok druhý postupne vynásobený číslami 3 a 4 ,
dostaneme maticu

V poslednom kroku vymeníme tretí a štvrtý ridok, čím dostaneme stupňovitú maticu

Poznámka 2. Predchádzajúci príklad bol špeciálne vybraný tak, aby čísla

neboli

jednoducho prvými r číslami v postupnosti prirodzených čísel. Takáto situácia je v určitom zmysle
výnimočná. Napríklad,

len za podmienky, že prvý stĺpec pôvodnej matice obsahuje samé

nuly. Obyčajne

V tomto prípade nazývame maticu (14)
Dokázanú vetu použijeme pri riešení systému lineárnych rovníc.

Definícia 3. Systém lineárnych rovníc nazývame stupňovitým, ak je jeho rozšírená matica

stupňovitá.
Z vety vyplýva, že každý systém lineárnych rovníc môžeme pomocou elementárnych operácií
priviesť k stupňovitému tvaru. Preto stačí ak sa naučíme riešiť stupňovitý systém.

Zavedieme nasledujúcu terminológiu. Štvorcovú maticu

nazývame trojuholníková,

ak

pre i>j , a ostro trojuholníkovou ak okrem toho aj

pre všetky i. Systém lineárnych

rovníc nazývame (ostro) trojuholníkový, ak je jeho matica koeficientov (ostro) trojuholníková.

Všimnime si teraz ľubovoľný stupňovitý systém lineárnych rovníc. Nech je počet nenulových

riadkov (počet stupňov) jeho matice koeficientov rovný r, a počet nenulových riadkov rozšírený
matice rovný

(r a vlnovka nad ním) . Je jasné, že buď

alebo

Možné sú nasledujúce tri principiálne rôzne prípady
1.-v prípad :

V tomto prípade systém obsahuje rovnicu tvaru

kde

a teda je neriešiteľný.

2.-hý prípad :

V tomto prípade po odstránení nulových rovníc dostaneme ostro

trojuholníkový systém. Z jeho poslednej rovnice jednoznačne určíme Xn , potom z predposlednej
rovnice premenenú Xn-1 atď. Z toho vyplýva, že systém má jediné riešenie.

3.-tý prípad :

Nech sú v tomto prípade

indexy vedúcich prvkov

nenulových rovníc systému. Premenené

nazývame hlavné alebo bázové, ostatné

premenné nazývame parametre. Po odstránení nulových rovníc a po premenení prvkov
s parametrami na prvú stranu dostaneme ostro trojuholníkový systém vzhľadom k bázovým
premenným. Ak vyriešime tento systém, ak v predchádzajúcom prípade, dostaneme bázové

Algebraické štruktúry 31 Strana

premenné vyjadrené pomocou parametrov. Takéto vyjadrenie nazývame všeobecným riešením
systému. Každé riešenie systému dostaneme zo všeobecného riešenia dosadením konkrétnych
čísel za parametre. Pretože tieto čísla môžeme voliť ľubovoľne, tak v každom prípade má systém
viac ako jedno riešenie, a ak je pole K nekonečné, potom má nekonečne veľa riešení.

Riešiteľný systém lineárnych rovníc nazývame určitý ak má jediné riešenie a neurčitý, ak má

viac ako jedno riešenie. V tomto druhom prípade, ako vyplýva z vyššie uvedenej analýzy, má
systém nekonečne veľa riešení, ak je pole K nekonečné, potom jeho všeobecné riešenie, až na
poradie premenný, má nasledujúci tvar

Príklad 2. Riešenie systému rovníc

ktorého rozšírená matica je matica z príkladu 1.Výpočty z príkladu 1 ukazujú, že tento systém je
ekvivalentný stupňovitému systému

Premenné

sú bázové premenné a premenná x3 je parameter. Preto prepíšeme tento

systém nasledovne

Ak vypočítame premenné

dostaneme všeobecné riešenie

Poznámka 3. Aby sme boli jednotní v terminológii, môžeme povedať, že v prípade určitého

systému sú všetky premenné bázové a parametrov viet. Všeobecným riešením je teda jediné
riešenie systému.

Poznámka 4. Ostro trojuholníkovú maticu môžeme prostredníctvom operácií s riadkami

priviesť k jednotkovej matici. Aby sme tak urobili je potrebné spočiatku ku každému riadku, okrem
posledného, pripočítať posledný riadok vynásobený takým číslom, aby sa prvky posledného stĺpca
obrátili na nulu, potom analogicky pripočítať predposledný riadok tak, aby sa zmenili prvky
predposledného stĺpca na nulu, okrem diagonálneho , atď... Výsledkom týchto operácií bude
diagonálna matica. Ak vynásobíme jej riadky vhodnými číslami, dostaneme jednotkovú maticu.
Takýmto spôsobom, v prípade, že sme už dosiahli stupňovitý tvar matice ,môžeme pri riešení
systému lineárnych rovníc pokračovať a pomocou elementárnych operácií zmeniť koeficienty
bázových premenných na jednotky. Všeobecné riešenie potom dostaneme jednoducho
prenesením parametrov na pravú stranu. Túto procedúru nazývame spätný chod Gaussovej
metódy.

Príklad 3. budeme pokračovať v transformácii matice z príkladu 1, pričom najprv odstránime

nulový riadok. Ak odpočítame od druhého riadku tretí, dostaneme maticu

Algebraické štruktúry 32 Strana

Ak odpočítame od prvého riadku druhý vynásobený číslom 2 a tretí riadok vynásobíme číslom -1,
dostaneme maticu

Teda systém lineárnych rovníc z príkladu 2 je ekvivalentný so systémom

Ak prenesieme prvky s premennou x3 na pravú stranu , dostaneme také isté všeobecné riešenie
ako sme dostali vyššie.

Homogénny systém lineárnych rovníc je vždy riešiteľný, pretože vždy má nulové riešenie.

Ak je tento systém určitý, potom má len nulové riešenie, ak je neurčitý, potom má aspoň jedno
nenulové riešenie (ba dokonca nekonečne veľa takýchto riešení ak je pole K nekonečné). Podľa
predchádzajúcich označení posledný prípad nastane, ak r<n. Ak využijeme skutočnosť, že vždy

, dostávame nasledujúcu vetu, ktorá je dôležitým teoretickým dôsledkom Gaussovej metódy.

Veta 2. Každý homogénny systém lineárnych rovníc, v ktorom je počet rovníc menší ako

počet premenných, má nenulové riešenie.

Neurčité systémy lineárnych rovníc môžu mať rozličný „stupeň neurčitosti“, za ktorý

prirodzene považujeme počet parametrov vo všeobecnom riešení. Tak napríklad, priamka
v priestore je zadaná systémom lineárnych rovníc s jedným parametrom a rovina systémom
(pozostávajúcim z jednej rovnice) s dvomi parametrami. Je jasné, že toto sú principiálne rôzne
prípady . Aj napriek tomu, ten istý systém lineárnych rovníc môže mať rôzne všeobecné riešenia,
v ktorých rôzne premenné hrajú úlohu parametrov. Je teda namieste otázka či bude tento počet
parametrov vždy ten istý. Kladnú odpoveď na túto otázku dostaneme pomocou pojmu dimenzie
vektorového priestoru, ktorý zavedieme v nasledujúcom paragrafe.

Vo zvyšnej časti tohto paragrafu interpretujeme Gaussovu metódu pomocou jazyka

násobenia matíc.

Predovšetkým, ak označíme písmenom X stĺpec premenných a pomocou B-stĺpec pravých

strán rovníc, potom môžeme systém (13) prepísať v nasledujúcom maticovom tvare:

Skutočne, matica AX je podľa pravidla násobenia matíc stĺpcom, ktorého výška je m a i-tý prvok
tohto stĺpca je rovný

Ak porovnáme tento prvok s i-tým prvkom stĺpca B, dostaneme i-tu rovnicu systému (13).

Nech je U ľubovoľná štvorcová matica rádu m. Ak vynásobíme obe časti rovnice (16) zľava

maticou U, dostaneme rovnicu

Je zrejmé, že každé riešenie rovnice (16) vyhovuje aj rovnici (17). ak k matici U existuje inverzná
matica, potom násobením zľava maticou U-1 prechádzame od rovnice (17) k rovnici (16), čo
znamená, že tieto dve rovnice sú ekvivalentné.

Rovnici (17) zodpovedá systém lineárnych rovníc s maticou koeficientov UA a stĺpcom

pravých stredu UB. Z toho vyplýva, že rozšírená matica tohto systému sa rovná UA) .

Ďalej, bezprostredne môžeme preveriť, že lementárne riadkové operácie nad ľubovoľnou

maticou A sú rovnocenné násobeniu zľava matice A takzvanou elementrárnou maticou,
nasledujúcich troch typov :

Algebraické štruktúry 33 Strana

(Všetky prvky týchto troch matíc, ktoré nie sú explicitne vyjadrené sú také isté ako u jednotkovej
matici.)

Tak napríklad, násobenie matice A zľava na maticu

je to isté, ako keď k i-

temu riadku pripočítame j-ty riadok vynásobený číslom c (pričom sa ostatné riadky nezmenia).

Všetky elementárne matice majú inverzné, pričom tieto inverzné matice sú opäť

elementárnymi maticami, ktoré zodpovedajú inverzným elementárnym operáciám :

Gaussova metóda v maticovej interpretácii teda spočíva v postupnom násobení rovnice (16)

zľava na elementárne matice, pričom cieľom týchto násobení je priviesť maticu A (a tiež rozšírenú
maticu A) ) k stupňovitému tvaru.

Ak namiesto elementárnych matíc použijeme niektoré iné matice, môžeme dostať iné

metódy riešenia systému lineárnych rovníc, ktoré, môže sa stať, nie sú také jednoduché
v teoretickom zmysle, ale môžu byť spoľahlivejšie pri približných výpočtoch (v prípade K=R).
Takým je , napríklad, metóda otáčaní, pri ktorej sa používajú matice U tvaru

2.2. Báza a dimenzia vektorového priestoru

Predstava o dimenzii priestoru je jednou zo základných ideí matematiky. V rozličných

odvetviach matematiky nadobúda táto predstava (ako i predstava o samotnom priestore) rôzne
formy. V tomto paragrafe privedieme definíciu dimenzie vektorového priestoru a budeme sa
zaoberať otázkami súvisiacimi s týmto pojmom.

V paragrafe 1.7 sme zaviedli pojem bázy vektorového priestoru a dokázali sme, že

vektorový priestor nad poľom K, ktorý má bázu zloženú z n vektorov, je izomorfný priestoru n-tíc
Kn.

Algebraické štruktúry 34 Strana

Dimenzii vektorového priestoru definujeme ako počet vektorov v jeho báze. Avšak predtým, ako
dáme takúto definíciu, je potrebné odpovedať na dve otázky: ktoré vektorové priestory majú bázu
a či nemôžu existovať vo vektorovom priestore dve bázy, ktoré by mali rôzny počet vektorov.

Aby sme odpovedali na tieto otázky, musíme zaviesť niektoré pojmy a dokázať niektoré

tvrdenia, ktoré sú dôležité i samy o sebe.

Nech V je vektorový priestor nad poľom K.
Lineárnu kombináciu

vektorov

nazývame triviálna, ak

a netriviálne v opačnom

prípade.

Definícia 1. Vektory

nazývame lineárne závislé ak existuje ich netriviálna

lineárna kombinácia, ktorá je rovná nule a lineárne nezávislá v opačnom prípade.

Podčiarknime, že pojem lineárnej závislosti (alebo nezávislosti) sa vzťahuje nie

k jednotlivým vektorom, ale k celej množine vektorov, alebo ako sa hovorí, k systému vektorov.

Poznámka 1. Pojem systému vektorov sa odlišuje od pojmu množina vektorov tým, že po

prvé predpokladáme, že vektory sú zoradené do postupnosti a po druhé, medzi nimi môžu byť
vektory, ktoré sa rovnajú. To znamená, že systém n vektorov je v podstate zobrazením množiny

do priestoru V. Avšak musíme dodať, že vlastnosť systému vektorov byť lineárne

závislým alebo nezávislým, nezávisí od očíslovania vektorov v ňom.

Poznámka 2. Termín „lineárna kombinácia“ používame v skutočnosti v dvoch významoch,

ako ukázanie operácií, ktoré musíme vykonať s danými vektormi, čo je ekvivalentné so zadaním
koeficientov

i ako výsledok týchto operácií. Vo výraze „netriviálna lineárna kombinácia

daných vektorov je rovná nule“ sa netriviálnosť chápe v prvom význame a rovnosť nule zase
v druhom.

Lineárna nezávislosť vektorov

inými slovami znamená, že rovnosť

platí len v prípade, že

Príklad 1. Systém vektorov, ktorý obsahuje len jeden vektor, je lineárne závislý práve vtedy

ak je tento vektor nulový.

Príklad 2. Systém pozostávajúci z dvoch vektorov je lineárne závislý vtedy a len vtedy ak je

jeden vektor násobkom druhého (čiže vektory sú proporcionálne).

Príklad 3. Tri geometrické vektory sú lineárne závislé práve vtedy, keď všetky ležia v jednej

rovine.

Je zrejmé, že ak systém vektorov obsahuje lineárne závislý podsystém, potom je samotný

systém lineárne závislý. Tak, napríklad, každý systém vektorov, ktorý obsahuje proporcionálne
vektory je lineárne závislý.

Lemma 1. Vektory

sú lineárne závislé vtedy a len vtedy ak aspoň jeden

z nich môžeme lineárne vyjadriť pomocou ostatných.

Dôkaz.

1) Nech, napríklad,

potom

čo poukazuje na lineárnu závislosť vektorov

2) Naopak, nech

v ktorej sú nie všetky koeficienty

rovné nule. Predpokladajme, napríklad, že

Potom

Algebraické štruktúry 35 Strana

tj. a1 môžeme napísať ako lineárnu kombináciu vektorov

Poznámka 3. Nie je pravdou, že ľubovoľný vektor lineárne závislého systému môžeme

vyjadriť ako lineárnu kombináciu ostatných. Nech je napríklad, a ľubovoľný nenulový vektor.
Systém vektorov

je lineárne závislý, pretože

ale vektor a, samozrejme ,nemôžeme vyjadriť lineárne pomocou nulového vektora.

Lemma 2. Nech sú vektory

lineárne nezávislé. Vektor b môžeme lineárne

vyjadriť pomocou

vtedy a len vtedy, keď sú vektory

lineárne závislé.

Dôkaz. Ak sa dá vektor b vyjadriť lineárne (čiže ako lineárna kombinácia) pomocou

, potom sú na základe predchádzajúcej lemmy vektory

lineárne závislé.

Naopak, nech

za predpokladu, že nie všetky koeficienty sú rovné nule. Môžeme predpokladať, že

v opačnom prípade by sme dostali lineárnu závislosť vektorov

, čo je v spore

s predpokladom.
Potom ale

Lemma 3. Nech je vektor b lineárnou kombináciou vektorov

. Toto vyjadrenie je

dané jednoznačne vtedy a len vtedy, ak sú vektory

lineárne nezávislé.

Dôkaz.
1) Nech sa dá vektor b vyjadriť dvomi rôznymi spôsobmi pomocou vektorov

:

potom

by znamenalo lineárnu závislosť vektorov

.

2) naopak, nech

znamená lineárnu závislosť vrcholov

. Potom , ak

dostaneme, že

čo by dávalo iné vyjadrenie b pomocou

.

Nech

je ľubovoľná podmnožina. Množinu všetkých (konečných) lineárnych kombinácií

vektorov z S nazývame lineárnym obalom množiny S a označujeme ako <S>. Toto je najmenší pod
priestor priestoru V, ktorý obsahuje množinu S (preverte to!) . Hovoríme, že priestor V je vytvorený
množinou S, ak platí <S>=V.

Definícia 2. Vektorový priestor nazývame konečno rozmerný (konečno dimenzionálny), ak

sa dá vytvoriť konečným počtom vektorov.

Tvrdenie 1. (Základná lemma o lineárnej závislosti). ak je vektorový priestor V vytvorený n

vektormi, potom ľubovoľných m>n vektorov priestoru V je lineárne závislých.

Dôkaz. Nech

a

sú ľubovoľné vektory priestoru V.

Vyjadríme ich pomocou vektorov

Pre ľubovoľné

potom dostávame

Algebraické štruktúry 36 Strana

Skúmajme systém n homogénnych lineárnych rovníc s m premennými

Ak je

ľubovoľné riešenie tohto systému, potom

Na druhej strane, podľa vety 2.2 má tento systém nenulové riešenie. Z toho vyplýva, že vektory

sú lineárne závislé.

Vzhľadom k lemme 3 môžeme definíciu 1.7.4 bázy vektorového priestoru preformulovať

nasledujúcim spôsobom.

Definícia 3. Bázou vektorového priestoru V nazývame ľubovoľný lineárne nezávislý systém

vektorov, ktoré vytvárajú celý priestor V.

Veta1. Každý konečno rozmerný vektorový priestor V má bázu. Presnejšie, z každej

konečnej množiny

, ktorá vytvára V, môžeme vybrať bázu priestoru V.

Dôkaz. Ak je množina S lineárne závislá, potom podľa lemmy 1 v ňom nájdeme vektor, ktorý

možno lineárne vyjadriť pomocou ostatných. Ak odstránime tento vektor z množiny S dostávame
množinu, ktorá vytvára V menším počtom vektorov. Ak takto pokračujeme ďalej, nakoniec
dostaneme lineárne nezávislú množinu vektorov, ktoré vytvárajú V tj. bázu.

Veta 2. Všetky bázy konečno rozmerného vektorového priestoru V obsahujú ten istý počet

vektorov.
Tento počet nazývame dimenziou (rozmerom) priestoru V a označujeme dimV.

Dôkaz. Ak by v priestore V existovali dve bázy s rozličným počtom vektorov, potom podľa

tvrdenia 1 tá z nich, ktorá obsahuje viac vektorov by bola lineárne závislá, čo je v spore s definíciou
bázy.

Poznámka 4. Nulový vektorový priestor (ktorý obsahuje len nulový vektor) považujeme za

priestor s „nulovou bázou“, v súvislosti s tým je jeho dimenzia rovná nule.

Príklad 4. Priestor E2 (taktiež E3) má dimenziu 2 (3).
Príklad 5. Podľa príkladu 1.7.7 má priestor Kn dimenziu n.
Príklad 6. Pole komplexných čísel, chápané ako vektorový priestor nad R má dimenziu

rovnú 2, a algebra kvaterniánov (porov. príklad 1.8.6) má dimenziu 4.

Príklad 7. Ak je X konečná množina s n prvkami, potom vektorový priestor F(X,K) všetkých

funkcií z X do K (porov. príklad 1.7.2) má dimenziu n. Naozaj, ak vezmeme takzvané funkcie

, ktoré definujeme nasledovne

potom zrejme ľubovoľnú funkciu

môžeme jediným spôsobom vyjadriť pomocou

funkcií, a to

Z toho vyplýva, že funkcie

tvoria bázu priestoru F(X,K), pričom súradnicami funkcie

v tejto báze sú jej hodnoty. Ak je množina X nekonečná, potom pre ľubovoľné n v priestoru F(X,K)
nájdeme n lineárne nezávislých vektorov, napríklad funkcie

kde

sú

rôzne, z toho vyplýva, že priestor F(X,K) je nekonečno rozmerný.

Príklad 8. Pole R chápané ako vektorový priestor nad Q je nekonečno rozmerné. Skutočne,

Algebraické štruktúry 37 Strana

ak by bolo konečno rozmerné, potom by sme mohli ľubovoľné reálne číslo určiť pomocou
konečného počtu racionálnych čísel, jeho súradníc v niektorej báze tohto priestoru. Ale potom by
bola množina všetkých reálnych čísel spočítateľná, čo nie je pravda.

Úloha 1. Nájsť počet vektorov n-rozmerného vektorového priestoru nad konečným poľom

z q prvkov.

Úloha 2. Dokázať, že priestor všetkých spojitých funkcií definovaných na ľubovoľnom

intervale číselnej priamky je nekonečno rozmerný.

Zo základnej lemmy o lineárnej závislosti (tvrdenie 1) vyplýva, že v ľubovoľnej (konečnej

alebo nekonečnej) množinu s vektorov konečno rozmerného vektorového priestoru V existuje
maximálna lineárne závislá podmnožina , tj. taká lineárne nezávislá podmnožina, ktorá sa stáva
lineárne závislá ak k nej pridáme ľubovoľný vektor spomedzi ostatných vektorov množiny S.
Naviac, ľubovoľnú lineárne nezávislú podmnožinu množiny S môžeme doplniť do maximálnej
lineárne nezávislej podmnožiny.

Tvrdenie 2. Každá maximálna lineárne nezávislá podmnožina

množiny S je

bázou lineárneho obalu <S> tejto množiny.

Dôkaz. Je treba dokázať, že každý vektor z <S> sa dá lineárne vyjadriť pomocou vektorov

Podľa definície lineárneho obalu, každý vektor z <S> sa dá lineárne vyjadriť pomocou

vektorov z S. Preto stačí ukázať, že každý vektor

sa dá vyjadriť ako lineárna kombinácia

vektorov

Pre

je to zrejmé. Pre

to vyplýva z lemmy 2.

Ak aplikujeme tieto úvahy k S=V, dostaneme nasledujúcu vetu.
Veta 3. Každý lineárne nezávislý systém vektorov konečno rozmerného vektorového

priestoru V môžeme doplniť do bázy.

Tak napríklad, ľubovoľný nenulový vektor môže byť súčasťou bázy a ľubovoľných n lineárne

nezávislých vektorov n-rozmerného vektorového priestoru už vytvárajú bázu.

Úloha 3. Nájsť počet báz n-rozmerného vektorového priestoru nad poľom z q prvkov.
Nasledujúca veta stanovuje vlastnosť monotónnosti dimenzie.
Veta 4. každý podpriestor U konečnorozmerného vektorového priestoru V je tiež

konečnorozmerný pričom

Naviac, ak je

, potom

Dôkaz. Nech je

maximálny lineárne nezávislý systém vektorov podpriestoru U.

Podľa tvrdenia 2 je množina

bázou v U. Z toho vyplýva, že dimU=k . Lineárne

nezávislý systém

môžeme doplniť do bázy celého priestoru V. Čiže ak

, potom

dimV>k.

Úloha 4. Nájsť počet k-rozmerných podpriestorov n-rozmerného vektorového priestoru nad

poľom z q prvkov.

Nasledujúca veta podáva vyčerpávajúci opis všetkých konečno rozmerných vektorových

priestorov.

Veta 5. Konečno rozmerné vektorové priestory nad tým istým poľom sú izomorfné vtedy

a len vtedy, keď majú rovnakú dimenziu.

Dôkaz. Nech

je izomorfizmus vektorových priestorov a nech množina

je báza vo V, potom množina

je bázou U, z čoho dostávame, že

dimV=dimU. Naopak, v súlade s tvrdením 1.7.1 je každý n-rozmerný vektorový priestor nad poľom
K izomorfný priestoru Kn, z toho dostávame, že všetky také priestory sú izomorfné medzi sebou.

Z toho vyplýva, že pri každej úvahe, môžeme bez problémov zameniť ľubovoľný n-rozmerný

vektorový priestor nad poľom K priestoru n-tíc Kn. V priestore Kn existuje „privilegovaná“ báza
pozostávajúca z jednotkových vektorov (porov. príklad 1.7.7). Na druhej strane, ak je v nejakom n-
rozmernom vektorovom priestore V daná báza, potom priradenie, ktoré každému vektoru priradí n-
ticu jeho súradníc (ako tomu bolo v dôkaze tvrdenia 1.7.1) určuje kanonický izomorfizmus priestoru
V i priestoru Kn, pri ktorom vektoru danej bázy zodpovedajú jednotkové n-tice. V tomto zmysle
môžeme povedať, že priestor n-tíc je konečno rozmerný vektorový priestor s vyčlenenou bázou.

Algebraické štruktúry 38 Strana

Množina všetkých báz n-rozmerného vektorového priestoru V môžeme opísať nasledujúcim

spôsobom.
Nech

je pevne daná báza. Ľubovoľný systém n vektorov

môže byť zadaný

štvorcovou maticou

, ktorá je určená rovnosťami:

túto maticu nazývame matica prechodu od bázy

k systému

. Podľa tejto

definície je j-ty stĺpec matice C zostavený zo súradníc vektora v báze

. Z toho

vyplýva, že vektory

sú lineárne nezávislé (a teda tvoria bázu), vtedy a len vtedy, keď sú

stĺpce matice C lineárne nezávislé, tj ak je matica C regulárna. Týmto máme dané vzájomne
jednoznačné zobrazenie z množiny všetkých báz priestoru V do množiny štvorcových regulárnych
matíc rádu n.

Ak zovšeobecníme pravidlo násobenia matíc na prípad, kedy prvkami jednej z nich sú

vektory (čo dáva zmysel vzhľadom k operáciám ktoré sú definované vo vektorovom priestore),
potom môžeme rovnosti (18) prepísať v nasledujúcom maticovom tvare

Nech je

ľubovoľný vektor. Rozložíme ho vzhľadom k bázam

a

ak

potom platí

z čoho dostávame nasledujúci vzťah pre transformáciu súradníc pri prechode od bázy

k báze

alebo, podrobnejšie

Potom bázy a dimenzie môžeme preniesť aj na nekonečno rozmerné vektorové priestory.

Aby sme to mohli urobiť, treba definovať, čo rozumieme pod lineárnou kombináciou nekonečného
systému vektorov. V čiste algebraickej situácii niet iného východiska, ako ohraničiť sa skúmaním
len takých lineárnych kombinácií, v ktorých je iba konečný počet koeficientov rôzny od nuly.

Nech

je systém vektorov, ktorých indexy sú prvkami nekončenej množiny I.

Lineárnou kombináciou vektorov

nazývame výraz tvaru

, v ktorom je iba končený

počet koeficientov

rôzny od nuly, takže tento súčet je v skutočnosti konečný a teda má zmysel.

Na základe tejto definície lineárnej kombinácie presne tak ako v prípade konečných systémov
vektorov definujeme pojem lineárneho vyjadrenia vektora, lineárnej závislosti i bázy.

Mohutnosť množiny, ktorá je bázou nazývame dimenziou priestoru. napríklad, ak vektorový

priestor obsahuje bázu, ktorá je spočítateľná, sa nazýva spočítateľnerozmerný.

Príklad 9. Je zrejmé, že množina všetkých postupností (riadkov nekonečnej dĺžky) z prvkov

poľa K je vektorovým priestorom vzhľadom k operáciám sčítania a násobenia prvkami poľa K,
definovaných presne tak, ako v prípade riadkov konečnej dĺžky. Postupnosť nazývame finitnou, ak
je len končený počet jej členov rôzny od nuly. Finitné postupnosti tvoria podpriestor v priestore
všetkých postupností. Tento priestor budeme označovať ako

. Za jeho bázové vektory môžeme

Algebraické štruktúry 39 Strana

vziať postupnosti tvaru

(jednotka stojí na i-tom mieste). Z toho vidíme, že priestor

je spočítateľne rozmerný.

Podobne ako v tvrdení 1.7.1 sa dokazuje, že ľubovoľný spočítateľne rozmerný priestor nad

poľom K je izomorfný priestoru

.

Úloha 5. Dokázať, že pole R ako vektorový priestor nad Q nie je spočítateľnerozmerný.
Úloha 6. Dokázať, že z každej spočítateľnej množiny, ktorá vytvára vektorový priestor

možno vybrať bázu.

Úloha 7. Dokázať, že ľubovoľná nespočítateľná množina vektorov v spočítateľne rozmernom

vektorovom priestore je lineárne závislá (z čoho vyplýva, že ľubovoľná báza je spočítateľná).

Úloha 8. Dokázať, že každý (konečný alebo spočítateľný) lineárne nezávislý systém

vektorov spočítateľnerozmerného vektorového priestoru možno doplniť do bázy.

Úloha 9. Dokázať, že každý podpriestor spočítateľne rozmerného vektorového priestoru je

buď spočítateľnorozmerný alebo konečnorozmerný. Uviesť príklad spočítateľnorozmerného
podpriestoru spočítateľnorozmerného vektorového priestoru, ktorý sa nezhoduje s celým
priestorom.

Úlohy 6-9 predstavujú analogické tvrdenia viet 1-4 pre spočítateľnerozmerné vektorové

priestory. Analogické tvrdenia môžeme dokázať aj v prípade nespočítateľnerozmerných priestorov,
no tomu by bolo potrebné zavedenie aparála Kanberovej teórie množín (transfinitnej indukcie alebo
Zornovej lemmy). Na druhej strane, takýto čiste algebraický prístup má len obmedzenú sféru
použitia. Obyčajne sa v nespočítateľnorozmernom priestore zavádza topológia, ktorá umožňuje
zmysluplne definovať nekonečné súčty vektorov.

S pojmom dimenzie úzko súvisia pojmy hodnosti systému vektorov a hodnosti matice.
Definícia 4. Hodnosťou systému vektorov nazývame dimenzie jeho lineárneho obalu.

Hodnosťou matice nazývame hodnosť systému jej riadkov.

Hodnosť matice A označujeme ako hod(a).
Systémy vektorov

a

nazývame ekvivalentné, ak s dá každý

z vektorov bj lineárne vyjadriť pomocou

a naopak, každý z vektorov ai lineárne vyjadriť

pomocou vektorov

. Je zrejmé, že v tomto prípade sa ich lineárne obaly rovnajú:

Preto sa hodnosti ekvivalentných systémov vektorov rovnajú.

Z definície elementárnych operácií vyplýva, že riadky matice A), ktorú dostaneme z matice

A pomocou ktorejkoľvek elementárnej operácie, dajú lineárne vyjadriť pomocou riadkov matice A.
Ale, pretože maticu A môžeme dostať z matice A) inverznými elementárnymi operáciami, platí tiež,
že jej riadky sa dajú lineárne vyjadriť pomocou riadkov matice A). Teda systémy riadkov matíc
A i A) sú ekvivalentné, z čoho vyplýva, že hodnosti týchto matíc sa rovnajú.

Toto môžeme využiť pri výpočte hodnosti matice.
Tvrdenie 3. Hodnosť matice sa rovná počtu nenulových riadkov ľubovoľnej stupňovitej

matice, ktorú z pôvodnej matice dostaneme pomocou riadkových elementárnych operácií.

Dôkaz. pretože sa hodnosť matice nemení pri elementárnych operáciách , stačí dokázať, že

hodnosť stupňovitej matice je rovná počtu jej nenulových riadkov. A k tomuto stačí dokázať, že
nenulové riadky stupňovitej matice sú lineárne nezávislé.

Predpokladajme, že lineárna kombinácia nenulových riadkov stupňovitej matice (14)

s koeficientmi

sa rovná nule. Ak si všimneme

tu súradnicu tejto lineárnej

kombinácie, zistíme, že

, z čoho dostávame , že

Ak ďalej vyšetrujeme -tú

súradnicu za predpokladu, že

dostávame , že

odkiaľ

Keď budeme takto

ďalej pokračovať, zistíme, že všetky koeficienty

sú rovné nule, čo bolo treba dokázať.

Z tohto vyplýva, že keby sme zvolili ktorúkoľvek postupnosť elementárnych operácií, ktoré

transformujú danú maticu na maticu stupňovitého tvaru, je počet nenulových riadkov tejto

Algebraické štruktúry 40 Strana

stupňovitej matice vždy rovnaký.

Úloha 10. Dokázať vetu Kronetera-Kapelli : systém lineárnych rovníc je riešiteľný vtedy a len

vtedy, keď sa hodnosť rozšírenej matice rovná hodnosti matice jeho koeficientov.

2.3. Lineárne zobrazenia

V ľubovoľnej algebraickej teórii spolu s izomorfizmami skúmame aj všeobecnejšie

zobrazenia, ktoré nazývame vo všeobecnom prípade homomorfizmi, a v prípade vektorových
priestorov lineárnymi zobrazeniami. ak izomorfizmy zachovávajú všetky vnútorné vlastnosti
algebraických štruktúr a ich prvkov, homomorfizmy zachovávajú len niektoré.

Definícia 1. Nech sú V a U vektorové priestory nad poľom K.

Zobrazenie

nazývame lineárnym , ak

Táto definícia sa líši od definície izomorfizmu vektorových priestorov tým, že sa v nej nevyžaduje
bijektívnosť.

Poznamenajme, že pri lineárnom zobrazení sa nulový vektor zobrazí na nulový a opačný na

opačný vektor, pretože

je ľahké dokázať tiež, že

Príklad 1. Otočenie je lineárne zobrazenie (ba dokonca izomorfizmus) priestoru E2 na seba

(obr. 6)

obr. 6

Príklad 2. Ortogonálna projekcia roviny určuje lineárne zobrazenie (no nie je izomorfizmus)

priestoru E3 do priestoru geometrických vektorov tejto roviny.

Príklad 3. Derivácia je lineárnym zobrazením priestoru spojite diferencovateľných funkcií na

danom intervale číselnej priamky do priestoru spojitých funkcií na tejto priamke.

Príklad 4. Zobrazenie

je lineárnym zobrazením priestoru spojitých funkcií na intervale <a,b> do poľa R, ktoré považujeme
za vektorový priestor nad samým sebou.

Lineárne zobrazenie

je jednodznačne určené obrazmi bázových vektorov priestoru

V, pretože , ak

je báza priestoru V, potom pre ľubovoľný vektor

dostaneme

Na druhej strane, ak

sú ľubovoľné vektory, potom zobrazenie

,

Algebraické štruktúry 41 Strana

definované pravidlom

je zrejme lineárne a

Tieto úvahy nám umožňujú dostať analytické vyjadrenie lineárnych zobrazení. Urobíme to

v priestore n-tíc. Nech

je lineárne zobrazenie. Budeme hľadať obrazy jednotkových vektorov priestoru Kn (pozri príklad
1.7.7). Dostaneme nasledujúce m-tie

Čísla

vytvárajú maticu A typu m x n, ktorú nazývame matica

lineárneho zobrazenia f. (Všimnime si, že súradnice riadku

zapisujeme do j-teho stĺpca

matice A)

Pre ľubovoľnú n-ticu

dostávame

Čiže, ak platí

potom čísla

môžeme vyjadriť pomocou

nasledovne

Naopak, ak

je ľubovoľná matica typu m x n, potom zobrazenie

,

definované vzťahom (22) je lineárne a jeho matica je A. Týmto sme stanovili vzájomne
jednoznačný vzťah medzi lineárnymi zobrazeniami z Kn do Km a maticami typu m x n.

obr 7.

Všeobecne môžeme maticu lineárneho zobrazenia

ľubovoľných

konečnorozmerných vektorových priestorov definovať nasledovne: v jej j-tom stĺpci sa nachádzajú
súradnice obrazu j-teho bázového vektora priestoru V. Táto matica prirodzene závisí od voľby báz
v priestoroch V a U.

Príklad 5. V priestore E2 zvolíme ortogormálnu bázu

Nech f je otočenie o uhol

Potom (obr 7.)

To znamená, že matica zobrazenia f je

všimnime si, že v tomto prípade U=V a použili sme tú istú bázu

v prípade V ako aj

v U, hoci podľa definície sme tak urobiť nemuseli.

Algebraické štruktúry 42 Strana

Príklad 6. Nájdeme maticu projekcie z príkladu 2. V rovine projekcie zvolíme ľubovoľnú bázu

a doplníme ju o ortogonálny vektor

(el 3) do bázy celého priestoru. Pretože pri projekcii

sa vektory a

zobrazia samy na seba a vektor

na nulový vektor, bude mať hľadaná matica

(vzhľadom ku zvoleným bázam) tvar

Na rozdiel od izomorfizmu nemusí byť lineárne zobrazenie ani surjektívne, ani injektívne.

Narušenie týchto vlastností nás privádza k možnosti spájať s každým lineárnym zobrazením dva
podpriestory – jeho obraz a jadro.

Definícia 2.Obrazom lineárneho zobrazenia

nazývame podmnožinu

a jadrom podmnožinu

Je ľahké dokázať, že Imf je podpriestor v U a Ker f je podpriestor vo V. Dokážeme, napríklad

druhé tvrdenie . Ak

, tj.

potom

tj.

Ďalej ak

, tj.

, potom pre ľubovoľné

tj.

Nakoniec

pretože na základe dokázaného vyššie

Príklad 7. Jadrom zobrazenia projekcie z príkladu 2 je množina vektorov, ktoré sú

ortogonálne k rovine projekcie.

Príklad 8. Jadrom zobrazenia derivácie z príkladu 3 je množina konštantných funkcií

a obrazom je priestor všetkých spojitých funkcií. Posledné tvrdenie vyplýva z existencie primitívnej
funkcie ku každej spojitej funkcii, čo sa dokazuje v analýze.

Veta 1. Lineárne zobrazenie

je injektívne vtedy a len vtedy, keď

Presnejšie, pre ľubovoľný prvok

je množina riešení rovnice

tvaru

kde a je niektoré jedno riešenie tejto rovnice. (Výraz

treba chápať ako

množinu súčtov tvaru a+y , kde

)

Všimnime si , že podľa definície je Ker f množina riešení rovnice

Dôkaz. Injektívnosť zobrazenia f znamená, že pre ľubovoľné

má rovnica (24) jediné

riešenie . Preto stačí, ak dokážeme druhé tvrdenie tety.

Nech

Ak je

potom

naopak, ak

potom

tj.

z čoho vyplýva , že

Ak

je lineárne zobrazenie s maticou A a

potom nie je rovnica

(24) zapísaná v súradnicovom tvare ničím iným, ako systémom lineárnych rovníc s tými istými
koeficientmi pri premenných:

Algebraické štruktúry 43 Strana

Z toho vyplýva, že množina riešení systému rovníc (26) je podpriestor priestoru Kn

a množina riešení systému (13), ak je neprázdna je súčtom ktoréhokoľvek jedného riešenia a tohto
podpriestoru.

Aká je dimenzia priestoru riešení systému (26)? Odpoveď na túto otázku dáva:
Veta2. Nech

je lineárne zobrazenie s maticou A.

potom

Dôkaz. Pomocou elementárnych operácií privedieme systém (26) k stupňovitému tvaru.

Podľa tvrdenia 2 bude nenulových rovníc v tomto stupňovitom tvare rovný r=hod(A). Preto bude
všeobecné riešenie obsahovať r bázových premenných a až na poradie premenných bude mať
tvar (porov. (15)):

Ak rad za radom priradíme jednej z voľných premenných

hodnotu 1 a ostatným

hodnotu 0, dostaneme nasledujúce riešenie systému (26):

Dokážeme, že tieto riešenia tvoria bázu priestoru Ker f, z čoho bude vyplývať tvrdenie vety.

Pre ľubovoľné

je lineárna kombinácia

riešením systému (26) , v ktorom nadobúdajú voľné premenné hodnoty

Pretože

hodnoty hlavných premenných sú jednoznačne určené hodnotami voľných premenných
(podľa(27)), potom ľubovoľné riešenie systému (26) je lineárnou kombináciou

Na

druhej strane, ak u=0, potom

, čiže

sú lineárne nezávislé.

Každú bázu priestoru riešenú systémom homogénnych lineárnych rovníc nazývame

fundamentálnym systémom riešení. Predchádzajúci dôkaz dáva praktický spôsob konštrukcie
takého systému riešení.

Nech

je lineárne zobrazenie konečno rozmerných vektorových priestorov a

je báza priestoru V. Pre ľubovoľné

platí

Z toho vyplýva, že

Veta 3.
Dôkaz. Bázu priestoru V si zvolíme špeciálnym spôsobom: najskôr vyberieme bázu

podpriestoru Ker f a potom ju doplníme vhodnými vektormi

do bázy priestoru

V. Pretože na základe konštrukcie platí

potom z (28) vyplýva, že

Algebraické štruktúry 44 Strana

Dokážeme, že vektory

sú lineárne nezávislé, z čoho bude vyplývať tvrdenie

vety.
Nech

všimnime si vektor

Z predchádzajúcej rovnosti vyplýva, že

tj.

Pretože sú vektory

lineárne nezávislé, je to možné len pre

čo bolo treba dokázať.

Dôsledok 1. Ak

je lineárne zobrazenie s maticou A, potom

Dôkaz dostaneme porovnaním viet 2 a 3.
Dôsledok 2. Hodnosť systému stĺpcov ľubovoľnej matice sa rovná hodnosti systému jej

riadkov.

Dôkaz. Nech

je lineárne zobrazenie s maticou A a nech

sú

jednotkové riadky priestoru Kn. Z (28) vyplýva, že dimenzia priestoru

je rovná hodnosti

systému stĺpcov matice A. Porovnanie tohto s predchádzajúcim dôsledkom dáva želaný výsledok.

Príklad 9. Pole K môžeme považovať za jednorozmerný vektorový priestor nad samým

sebou. Lineárne zobrazenie

nazývame lineárna funkcia na V. Ak je f nenulová lineárna

funkcia, potom Im f=K a ak dim V=n , z vety 3 vyplýva, že

Príklad 10. Nech je X množina hrán štvorstena a Y množina jeho stien. Každej funkcii na

X s hodnotami v poli K priradíme funkciu na y, definovanú nasledujúcim spôsobom

tj. hodnota funkcie na nejakej stene rovná sa súčtu hodnôt funkcie na stenách tejto steny. Týmto
je definované lineárne zobrazenie

(pozri príklad 1.7.2). Dokážeme, že ak je

potom je surjektívne. K tomuto stačí ukázať, že

Im f obsahuje všetky -funkcie všetkých stien. Funkcia

pre ktorú je f(

) -funkciou spodnej

steny je zobrazená na obr. 8a (hodnoty sú na neoznačených hranách rovné nule). Pretože

potom podľa vety 3

Funkcie, ktoré tvoria bázu Ker f, sú zobrazené na obr. 8b.

Úloha 1. Nájsť dim Ker f pre zobrazenie f z predchádzajúceho príkladu, v prípade, že char

K=2.

Pretože stĺpce matice A sú riadkami transponovanej matice AT (pozri §1.9), potom dôsledok

2 z §2.3 znamená, že

hod(AT)=hod(A).

Podobne ako elementárne riadkové operácie definujeme aj stĺpcové elementárne operácie.

Im zodpovedajú elementárne riadkové operácie transponovanej matice. Z toho dôvodu sa hodnosť
matice nemení nielen pri riadkových elementárnych operáciách, ale ani pri stĺpcových
elementárnych operáciách

Algebraické štruktúry 45 Strana

obr. 8

Poznámka. Stĺpcové elementárne operácie matice sú ekvivalentné jej násobeniu na

elementárne matice sprava.

Teraz sa budeme venovať operáciám s lineárnymi zobrazeniami.

Lineárne zobrazenia z

môžeme sčítať a násobiť číslom podobne ako obyčajné funkcie:

Vzhľadom k týmto operáciám vytvárajú vektorový priestor.

Ďalej, ak

sú lineárne zobrazenia, potom aj ich súčin (zložené zobrazenie)

je tiež lineárne zobrazenie. Naozaj,

Násobenie lineárnych zobrazení súvisí s lineárnymi operáciami nasledovne

f(g+h)=fg+fh, (f+g)h=fh+gh,

Dokážeme, napríklad, prvú distributívnu vlastnosť. Nech

sú lineárne zobrazenia. Pre ľubovoľné

dostávame :

Násobenie lineárnych zobrazení je asociatívne akým je vo všeobecnosti násobenie

ľubovoľných zobrazení. Skutočne, nech M, N, P, Q, sú ľubovoľné množiny a

sú zobrazenia. Potom pre ľubovoľné

platí :

z čoho vyplýva, že

Operácie s lineárnymi zobrazeniami priestorov riadkov (n-tíc) zodpovedajú takým istým

operáciám s ich maticami. Pre lineárne operácie je to zrejmé. Dokážeme to pre násobenie. Nech

sú lineárne zobrazenia s maticami

a

. Nech

sú jednotkové vektory

priestoru KP. Potom platí

Z toho vyplýva, že matica zobrazenia fg je

kde

Algebraické štruktúry 46 Strana

To znamená, že C=AB, čo aj toto treba dokázať.

Príklad 11. Maticová rovnosť, ktorú sme dokázali v príklade 1.9.2, znamená na jazyku

lineárnych zobrazení, že súčin otočení roviny o uhly a je otočenie o uhol

(pozri príklad

3). Pretože je posledné tvrdenie geometricky zrejmé, slúži ako dôkaz vzorcov pre sínus a kosínus
súčtu dvoch uhlov.

Vlastnosti operácií s maticami, ktoré sme dostali v §1.9 priamym výpočtom, môžeme teraz

odvodiť zo zodpovedajúcich vlastností operácií s lineárnymi zobrazeniami.

Je zrejmé, že identické zobrazenie

je lineárne. Maticou identického zobrazenia

je jednotková matica E rádu n. Preto

vlastnosti (10) s jednotkovou maticou sú jednoducho prepisom do jazyka matíc očividných rovností
lineárnych zobrazení

kde

je lineárne zobrazenie zadané maticou A a id je v prvom prípade jednotkové

zobrazenie priestoru Kn a v druhom prípade zase jednotkové zobrazenie priestoru Km.

Ak je

bijektívne lineárne zobrazenie, potom aj inverzné zobrazenie

je

tiež lineárne. Naozaj, pre ľubovoľné

nech

sú také vektory, že

potom

, z čoho vyplýva, že

Analogicky sa overuje aj druhá vlastnosť lineárnosti.

Tieto úvahy použijeme v otázke existencie inverzných matíc.
Definícia 3. Štvorcová matica A rádu n nazývame regulárna ak hod(A)=n.

Inými slovami povedané, matica A je regulárna, ak sú jej riadky (alebo stĺpce) lineárne nezvislé.

Veta 4. Ku štvorcovej matici A existuje inverzná matica práve vtedy, ak je regulárna.

(Definíciu prvku ku ktorému existuje inverzný v okruhu s jednotkou pozri v §1.3)

Dôkaz. Nech je

lineárne zobrazenie, zadané maticou A. Na základe

predchádzajúceho k matici A existuje inverzná matica vtedy a len vtedy, ak je f bijektívne
zobrazenie. Toto tvrdenie na základe vety 1 platí práve vtedy, keď

Podľa vety 2 a dôsledku 1 vety 3 je každá z týchto podmienok ekvivalentná tomu, že hod(A)=n.

Nájdenie matice inverznej k A môžeme skúmať ako hľadanie riešenia maticovej rovnice

AX=E,

kde x je neznáma štvorcová matica. Takúto rovnicu môžeme riešiť podobne ako aj rovnicu (16)
pomocou násobenia zľava elementárnymi maticami, čo je ekvivalentné elementárnym riadkovým
operáciám „rozšírenej“ matice (AIE). Ak dostaneme v ľavej polovici tejto matice jednotkovú maticu
(čo je možné vďaka regulárnosti matice A), potom v pravej polovici dostaneme inverznú maticu.

Príklad 12. Nájdeme maticu inverznú k matici

S týmto cieľom uskutočníme nasledujúce elementárne operácie:

teda

Algebraické štruktúry 47 Strana

Úloha 2. S použitím lineárnych zobrazení dokázať, že hodnosť súčinu dvoch matíc (nie

nutne štvorcových) nepresahuje hodnosti každej z nich a ak je jedna z týchto matíc regulárna,
potom hodnosť súčinu je rovná hodnosti druhej matice

2.4. Determinanty

Otázku regulárnosti štvorcovej matice, alebo , čo je ekvivalentné, lineárnej nezávislosti n

vektorov n-rozmerného priestoru môžeme v každom konkrétnom prípade vyriešiť privedením
matice k stupňovitému tvaru pomocou elementárnych riadkových operácií. Aj tak by bolo
zaujímavé nájsť všeobecne platnú podmienku, ktorú musia spĺňať prvky matice, aby bola
regulárna.

Objasníme základnú myšlienku, ako dostať takúto podmienku na príklade geometrických

vektorov.

Dvojica vektorov

, ktoré nie sú rovnobežné nazývame kladne orientovaná, ak

otočenie vektora a1k a2 (o uhol menší ako ) prebieha v kladnom smere. Pre ľubovoľné vektory a1,
a2 označme pomocou area (a1, a2) orientovaný obsah rovnobežníka, ktorého stranami sú tieto dva
vektory, to znamená obsah, ktorý bude mať znamienko plus ak je dvojica

orientovaná

kladne a znamienko mínus v opačnom prípade ; ak sú vektory a1 a a2 rovnobežné, potom
považujeme area (a1, a2)=0. Hodnota

môže byť mierou lineárnej nezávislosti vektorov

a1, a2 .

Funkcia area (a1, a2) vektorových premenných a1 i a2 má nasledujúce vlastnosti:
1) je lineárna podľa a1 i a2 (pozri príklad 2.3.9)
2) area (a1, a2)=-area(a1, a2)
3) ak

je kladne orientovaná ortonormálna báza , potom

Posledné dve vlastnosti sú zrejmé. Aby sme dokázali prvú vlastnosť vyjadríme obsah
rovnobežníka v tvare súčinu základe a výšky. Takto dostaneme

kde

je dĺžka vektora

je projekcia vektora a2 na priamku, ortogenálne a1 (obr. 9)

obr.9

Pretože projekcia je lineárne zobrazenie, z toho vyplýva lineárnosť

podľa a2. Podobne,

ak vezmeme za základňu vektor a2, môžeme dokázať lineárnosť podľa a1.

Aby sme vypočítali hodnotu

stačí, ak platia vlastnosti 1) – 3) . Vektory a1, a2

vyjadríme pomocou kladne orientovanej ortonormálnej bázy

potom dostávame

Výraz

nazývame determinant matice

rádu 2. Z predchádzajúceho

vyplýva, že vektory a1, a2 sú lineárne nezávislé práve vtedy, keď je determinant zostavený z ich
súradníc, rôzny od nuly.

Podobne môžeme dokázať, že orientovaný objem

rovnobežnostena, ktorého

Algebraické štruktúry 48 Strana

stranami sú vektory

má nasledujúce vlastnosti:

1) je lineárny v každej z troch premenných
2) mení znamienko pri výmene ľubovoľných dvoch premenných
3) ak je

kladne orientovaná ortonormálna báza, potom

(Trojicu vektorov

považujeme za kladne orientované, ak môžeme uskutočniť otočenie a1

do a2 zo strany a3 v kladnom smere.)

obr. 10

Ak využijeme uvedené vlastnosti, môžeme dostať nasledujúci vzorec pre

pomocou súradníc vektorov

v kladne orientovanej ortonormálnej báze (urobte to!):

Výraz, ktorý stojí na pravej strane tejto rovnosti nazývame determinantom matice

rádu 3. Z toho vyplýva, že vektory

sú lineárne nezávislé vtedy a len vtedy, keď je

determinant matice, zostavený z ich súradníc, rôzny od nuly.

Determinant matice

rádu 3 je algebraickým súčtom všetkých možných súčinov

troch prvkov matice, ktoré berieme po jednom z každého riadku a z každého stĺpca. Na obr. 10 je
schematicky znázornené, ktorý z týchto súčinov berieme so znamienkom plus a ktoré sa
znamienkom mínus.

Determinant matice A označujeme alebo ako def A, alebo zámenou okrúhlych zátvoriek,

uzatvárajúcich maticu, zvislými čiarami:

Príklad 1.

Príklad 2.

V prípade ľubovoľnej dimenzii a ľubovoľného poľa, ak nemôžeme využívať také pojmy, ako

plocha alebo objem, je prirodzené pokúsiť sa zaviesť determinant ako funkciu, ktorá má vlastnosti
analogické vlastnostiam 1) – 3). Uvedieme všetko potrebné pre takúto definíciu.

Nech V je vektorový priestor nad poľom K a nech

je funkcia s hodnotami

v K s m vektorovými premennými z priestoru V.

Definícia 1. Funkciu

nazývame polylineárnou (alebo , presnejšie m-lineárnou),

ak je lineárna v každej premennej.

Napríklad lineárnosť v prevej premennej označuje , že

Definícia 2. Polylineárna funkcia

sa nazýva kososymetrická ak pri zámene

ľubovoľných dvoch premenných sa jej hodnota vynásobí číslom -1.

Dôležitou vlastnosťou kososymetrickej polylineárnej funkcie je , že v prípade , že

sa rovná nule vždy, keď ľubovoľné dve premenné nadobúdajú rovnakú hodnotu. Skutočne, pri
zámene týchto dvoch premenných sa hodnota funkcie nezmení, no na druhej strane sa súčasne
hodnota násobí číslom -1, z toho vyplýva, že sa musí rovnať nule.

Algebraické štruktúry 49 Strana

Poznámka 1. Ak je

potom poslednú vlastnosť musíme prijať ako definíciu

kososymetrickosti. Dokážeme, e z tejto vlastnosti, naopak, vyplýva kososymetričnosť vo vyššie
uvedenom zmysle. Ak overujeme kososymetričnosť v niektorých dvoch premenných , hodnoty
ostatných premenných zostávajú nezamenené ( hoci aj ľubovoľné) a tak stačí, preveriť prípad
bilineárnej (tj 2-lineárnej) funkcie. Nech je f bilineárna funkcia, ktorá sa rovná nule pri rovnakých
hodnotách premenných. Potom pre ľubovoľné

dostávame:

z čoho vyplýva, že

Teraz zavedieme pojmy, ktoré sú potrebné pre explicitné analytické vyjadrenie determinantu

matice rádu n, podobného ako v prípadoch pre n=2 a 3.

Postupnosť

čísel

rozmiestnených v ľubovoľnom poradí, nazývame

permutáciou z n prvkov. Pretože k1 môže nadobúdať n-1 hodnôt, k3 pri zadaných k1
a k2 môže nadobúdať n-2 hodnôt atď., z čoho vyplýva, že celkovo existuje

permutácií z n prvkov. Permutáciu

nazývame triviálna.

Poznámka 2. Slovo „permutácia“ sa v matematickej literatúre (a teda i v tejto knihe) niekedy

používa vo všeobecne prijatom zmysle ako zmena poradia akýchkoľvek objektov (napríklad
permutácia slov vo vete).

Hovoríme, že dvojica čísel tvorí inverziu v danej permutácii, ak väčšia z nich stojí vľavo od

menšieho. Permutáciu nazývame párnou (alebo nepárnou), ak je počet jej inverzií párny (alebo
nepárny). Spolu s týmto definujeme znamienko permutácie rovné 1, ak je permutácia párna, a -1
ak je nepárna. Znamienko permutácie

označujeme ako

Príklad 3. Pre n=3 sú párne permutácie (1,2,3) (nemá inverzie), (2,3,1)(dve inverzie) a

(3,1,2)(dve inverzie), nepárne sú (1,3,2)(jedna inverzia), (3,2,1)(tri inverzie) a (2,1,3)(jedna
inverzia).

Príklad 4. Triviálna permutácia nemá inverzie a preto je párna. Naopak, v permutácii

tvorí inverziu ľubovoľná dvojica čísel. Preto je počet inverzií v tejto permutácii rovný

Z toho vyplýva, že

Zmenu miest dvoch prvkov v permutácii nazývame transpozícia týchto prvkov.
Tvrdenie 1. Pri ľubovoľnej transpozícii sa mení párnosť permutácii.
Dôkaz. Pri transpozícii dvoch susedných prvkov sa mení vzájomná poloha iba týchto dvoch

prvkov a tak sa počet inverzií zmení (zvyšuje sa alebo sa zmenšuje) o 1, z toho vyplýva, že sa
zmenila párnosť. Transpozíciu prvkov i a j, ktoré sú oddelené druhými s prvkami môžeme vykonať
pomocou 2s+1 postupných transpozícií susedných prvkov, najprv meníme i so všetkými susednými
prvkami a aj s j a potom zase meníme j so všetkými susednými prvkami. Zakaždým sa bude
znamienko permutácie meniť tak, ako bolo uvedené vyššie. Pretože nastane nepárny počet zmien,
v konečnom dôsledku sa znamienko permutácie zmení na opačné.

Dôsledok. Prikn>1 je počet párnych permutácií z n prvkov rovný počtu nepárnych.
Dôkaz. Vypíšeme všetky párne permutácie a v každej z nich uskutočníme transpozíciu

prvých dvoch prvkov. Takto dostaneme, jednoznačne, všetky nepárne permutácie.
Teraz už máme všetko pripravené k tomu, aby sme spermutovali a dokázali základnú vetu.

Veta 1. V priestore Kn existuje jediná kososymetrická n-lineárna funkcia det , ktorá spĺňa

podmienku

Algebraické štruktúry 50 Strana

(kde

sú jednotkové vektory). Táto funkcia je tvaru

kde

označuje k-tu súradnicu riadku ai a súčet prebieha podľa všetkých permutácií z n prvkov.

Dôkaz.
1) Predpokladajme, že funkcia det spĺňa podmienky vety. Potom

Vďaka kososymetričnosti funkcie det, ak sa ktorékoľvek dve z čísel

rovnajú, potom

Ak sú všetky rôzne, potom

Skutočne , ak je táto rovnosť správna pre niektorú permutáciu

, potom platí aj pre

ľubovoľnú permutáciu, ktorú z nej dostaneme transpozíciou, pretože pri transpozícii sa obe časti
tejto rovnosti násobia číslom -1. Z podmienky vety vyplýva, že platí pre triviálnu permutáciu. Ale je
zrejmé, že ľubovoľnú permutáciu môžeme dostať z triviálnej postupnými transpozíciami. Z toho
vyplýva, že dokazovaná rovnosť platí pre ľubovoľnú permutáciu a tak dostávame pre

výraz (30). Teda ak funkcia det, ktorá spĺňa podmienky vety existuje, potommusí

mať tvar (30).

2) Teraz ukážeme, že funkcia det, definovaná rovnosťou (30) spĺňa podmienky vety.

Lineárnosť v každom argumente je zrejmá, pretože pre ľubovoľné i rovnosť (30) môžeme
vyjadriť v tvare

Kde

nezávisia od

Podmienka (29) je tiež splnená, pretože vo vzorci pre

je sčítanec, ktorý zodpovedá triviálnej permutácii, rovný 1 a všetky ostatné sčítance

sú rovné nule. Zostáva overiť kososymetričnosť.

Všimnime si, čo sa stane, pri výmene argumentov ai a aj .Môžeme rozdeliť množinu

všetkých permutácií na dvojice permutácií, v ktorých dostaneme jednu z druhej transpozíciou ki
a kj. Podľa tvrdenia 1 súčiny

ktoré zodpovedajú permutáciám jednej takej dvojice sa

dostávajú do (30) s opačnými znamienkami. Pri výmene ai a aj menia svoje miesta a teda, celý
výraz násobíme číslom -1.

Poznámka 3. Ak je

potom kososymetričnosť treba chápať v zmysle poznámky 1.

Jej dôkaz v tomto prípade spočíva v tom, že pri

sa členovia výrazu (30) ,ktorí zodpovedjú

permutáciám každej z vyššie opísaných dvojíc, navzájom odčítajú.

Definícia 3. Determinantom štvorcovej matice

rádu n nazývame číslo

kde

sú riadky matice A.

Teda

Pre n=2 a 3 dostávame výrazy, ktoré sme zaviedli na začiatku tohto paragrafu.

Pre

je výpočet determinanta podľa vzorca (31) vo všeobecnom prípade dosť náročný.

Existujú značne jednoduchšie spôsoby ako vypočítať determinant. Založené sú na vlastnostiach
determinantov, ktoré dokážeme nižšie.

Algebraické štruktúry 51 Strana

Tvrdenie 2. Determinať matice sa nemení pri riadkovej elementárnej operácii 1.-vého typu.
Dôkaz. Nech, povedzme, k 1-vému riadku matice A pripočítame druhý riadok, vynásobený

číslom c. Maticu, ktorú takto dostaneme označíme A) . Dostaneme

Pri výmene dvoch riadkov sa determinat, ako vieme , násobí číslom -1 a pri vynásobení

ľubovoľného riadku číslom sa determinat vynásobí týmto číslom. takýmto spôsobom môžeme určiť
zmenu determinantu pri ľubovoľnej riadkovej elementárnej operácii s maticou. Pretože ľubovoľnú
maticu môžeme pomocou elementárnych riadkových operácií priviesť k stupňovitému tvaru
a každá stupňovitá štvorcová matica je trojuholníková (ale môže sa stať, že nie ostro
trojuholníková), potom sa musíme naučiť vypočítať determinant trojuholníkovej matice.

Tvrdenie 3. Determinant trojuholníkovej matice sa rovná súčinu jej diagonálnych prvkov.
Dôkaz. Súčin diagonálnych prvkov sa nachádza vo vzorci (31) pre determinant ľubovoľnej

matice so znamienkom plus, pretože zodpovedá triviálnej permutácii. V prípade trojuholníkovej
matice sú všetky ostatné členy tohto výrazu rovná nule. Skutočne, ak je

potom

ale pretože

potom je to možné len pre

Okrem toho, že tvrdenia 1 a 2 poskytujú praktický spôsob výpočtu determinantu, umožňuj

nám aj odpovedať na otázku , kvôli ktorej sme zaviedli pojem determinantu.

Veta 2. Štvorcová matica A je regulárna vtedy a len vtedy, keď
Dôkaz. Pomocou elementárnych riadkových operácií privedieme maticu A k stupňovitému

tvaru. Ak sme pri tom použili elementárne operácie 2-ho a 3-ho typu, môže sa determinant zmeniť ,
no v každom prípade sa zachováva to, či je alebo nie je rovný nule. Matica A je regulárna práve
vtedy takto dostaná stupňovitá matica je ostro trojuholníková, ale toto je rovnocenné tomu, že jej
determinant je rôzny od nuly.

Budeme pokračovať štúdiom vlastností determinantov.
Veta 3.
Dôkaz. Determinant matice AT, ako aj determinant matice A je algebrickým súčtom všetkých

možných súčinov n prvkov matice A, ktoré berieme po jednom z každého riadku a z každého
stĺpca. Jediné, načo treba dať pozor, je to , či rovnaké súčiny vchádzajú v det A a v det AT
s rovnakými znamienkami.

Aby sme mohli zistiť aké znamienko má v det AT súčin

musíme rozmiestniť

jeho činitele podľa poradia čísel stĺpcov. Toto môžeme dosiahnutť postupne zmenou miest dvoch
činiteľov. Pri každej takejto zmene sa vykonajú v permutáciách zastavených z čísel riadkov
i stĺpcov transpozície, takže súčin ich zmanienok sa nemení. Teda ak bude mať súčin, ktorý takto
dostaneme, tvar

, potom

čo znamená, že uvažovaný súčin má v det A i v det AT rovnaké znamienko.

Z tejto vety vyplýva, že každá vlastnosť determinantov zostane v platnosti, ak v nej

zameníme riadky za stĺpce a stĺpce za riadky. Teda takto dostávame

Dôsledok. Determinant je kososymetrická polylineárna funkcia stĺpcov matice.
Veta 4.nech má matica A tvar

kde B a C sú štvorcové matice. Potom platí

Algebraické štruktúry 52 Strana

Dôkaz. nech je matica B rádu m a matica C rádu n. Ak je detC=0 , potom pomocou

elementárnych riadkových operácií nad riadkami matice C môžeme dostať nulový riadok. Ak
vykonáme tie isté elementárne operácie nad poslednými n riadkami matice A, dostaneme nulový
riadok v matici A. Z toho vyplýva, že detA=0 a dokazovaná rovnosť platí. Podobné úvahy, ale
s elementárnymi operáciami nad prvými m stĺpcami, ukazujú, že ak detB=0, potom aj detA=0
a rovnosť platí.

Nech teraz

a

Skúmajme podiel

Musíme dokázať, že sa rovná 1. Pri ľubovoľnej elementárnej operácii s poslednými n riadkami
matice A detA i detc sa násobia tým istým číslom a teda podiel (32) sa nezmení. Takýmito
operáciami môžeme priviesť maticu C k trojuholníkovému tvaru. Podobne sa podiel (32) nezmení
ani pri elementárnych operáciách prvých m stĺpcov matice A. Takýmito elementárnymi operáciami
môžeme priviesť maticu B k trojuholníkovému tvaru. Preto stačí dokázať, že podiel (32) je rovný 1
v prípade, že B c C sú trojuholníkové matice, ale toto je zrejmé

Podľa vety 3 je podobný vzorec pravdivý i v prípade, že sa nulová matica nachádza

v pravom hornom rohu.

Príklad 5.Vypočítať takzvaný Vandermondov determinant

Ak odpočítame od každého stĺpca počínajúc posledným, predchádzajúci stĺpec vynásobený číslom
x1 s použitím vety 4 dostaneme

Ak budeme pokračovať podobne, dostaneme

Nech je A ľubovoľná (nie nutne štvorcová) matica. Každú maticu zostavenú z prvkov matice

A, ktoré sa nachádzajú na prieniku niektorých vybraných riadkov a niektorých vybraných stĺpcov
nazývame podmaticou matice A. Podčiarknime, že vybrané riadky a stĺpce nemusia ísť po sebe.

Determinant štvorcovej podmatice rádu k nazývame (neviem prečitať!!! asi je to minor ...

po rusky

) rádu k matici A. Niekedy aj samotnú štvorcovú podmaticu nazývame tiež

minorom. Napríklad, ak A je štvorcová matica rádu n, potom mimor rádu n-1, ktorý dostaneme
vyškrtnutím i-tého riadku a j-ho stĺpca, nazývame doplnkovým minorom prvku aij a označujeme
ako Mij .

Číslo

nazývame algebraický doplnok k prvku aij . Zmysel algebraického doplnku bude jasný
z nasledujúcej lemmy.

Lemma 1.

Algebraické štruktúry 53 Strana

(V ľavej časti stojí determinant matice, ktorú dostaneme z matice

tak, že zameníme všetky

prvky i-teho riadku okrem prvku aij na nuly.)

Dôkaz. Zameníme i-ty riadok so všetkými predchádzajúcimi riadkami a j-ty stĺpec so

všetkými predchádzajúcimi stĺpcami. Pri tomto budeme i-1 krát zamieňať ridky a j-1 krát meniť
stĺpce, takže determinať sa násobí číslom

Výsledkom bude determinant tvaru

kde v pravom dolnom rohu stojí doplnkový minor prvku aij .
Podľa vety 4 sa tento determinant rovná aij Mij . Ak vezmeme do úvahy predchádzajúce znamienko
dostávame dokazovanú rovnosť.

Veta 5. Pre ľubovoľnú štvorcovú maticu A platí

Prvý z týchto vzorcov sa nazýva rozklad determinantu podľa i-teho riadku a druhý zase

rozklad determinantu podľa j-teho stĺpca.

Dôkaz. Pretože každý člen výrazu (31) pre detA obsahuje práve jeden prvok i-teho riadku,

predchádzajúca lemma znamená, že súčet tých členov, ktoré obsahujú aij je rovný aij Aij . Z toho
vyplýva vzorec rozkladu podľa riadku. Podobne sa dokáže aj vzorec rozkladu podľa stĺpca.

Pznámka 4.Znamienka

sa striedajú v matici v šachovom usporiadaní pričom na

hlavnej diagonále stoja plusy.

Príklad 6. Výpočet determinantu

z príkladu 2 rozkladom podľa druhého riadku dáva

Príklad 7. Vypočítajme determinant n-tého rádu

Ak ho rozložíme podľa prvého riadku a potom druhý z determinantov, ktoré takto dostaneme zase
rozložíme podľa prvého stĺpca, dostaneme

odkiaľ dostávame

To znamená, že postupnosť

je aritmetická postupnosť. Pretože

Algebraické štruktúry 54 Strana

potom jej diferencia je rovná 1a teda

Veta 6. Pre ľubovoľné štvorcové matice A, B platí

Dôkaz. Pre ľubovoľnú maticu U platí

Ak napríklad U je elementárna matica, potom táto rovnosť znamená, že ak robíme nejaké
elementárne operácie nad riadkami matice A, prebieha taká istá operácia i nad riadkami matice
AB.

Ak je detA=0 , potom pomocou elementárnych riadkových operácií môžeme vytvoriť v matici

A nulový riadok. Zodpovedajúci riadok súčinu AB, ako je ľahko vidieť, tiež bude nulová. Z toho
vyplýva, že detAB=0, takže daná rovnosť platí.

Nech teraz

Skúmajme podiel

Musíme dokázať, že tento podiel je rovný detB. Z predchádzajúceho vyplýva, že tento podiel sa
nemení pri ľubovoľných elementárnych riadkových operácií s maticou A. Pretože pomocou
takýchto operácií môžeme maticu A priviesť k jednotkovej matici E, stačí dokázať, že podiel (34) je
rovný detB v prípade, že A=E, ale to je zrejmé.

obr.11

Príklad 8. Vyjadríme neorientovaný objem V rovnobežnostena, ktorého strany sú vektory

pomocou dĺžok

jeho strán a uhlov (pozri obr. 11)

(tá strieška je označenie uhol, preciarknute <)

Nech

je matica zostavená zo súradníc vektorov ai v oronormálnej báze. Vieme (pozri

začiatok paragrafu), že

Z toho vyplýva, že

Z pravidla násobenia matíc vyplýva, že (i, j)-ty prvok matice AAT je skalárny súčin

Čiže,

a teda

2.5. Niektoré aplikácie determinantov

Algebraické štruktúry 55 Strana

Ako sme videli v predchádzajúcom paragrafe (veta 4.2) determinanty poskytujú odpoveď na

otázku o regulárnosti (a tým aj o existencii inverznej ) štvorcovej matice, ktorá nám poslúžila za
dôvod pre ich zavedenie. Rôzne variácie na túto tému vedú k nesčíselným aplikáciám
determinantov v teórii lineárnych systémov a teórií matíc. Prvé z týchto aplikácií budeme skúmať
v tomto paragrafe.

Skúmajme štvorcový systém lineárnych rovníc

Ozname pomocou A jeho maticu koeficientov a prostredníctvom Ai

maticu, ktorú

dostaneme z A zámenou jej i-teho stĺpca stĺpcom prvých strán.

Veta 1. Ak je

potom má systém (35) jediné riešenie, ktoré môžeme nájsť podľa

vzorcov

Tieto vzorce nazývame vzorcami Kramera.
Dôkaz. Pri ľubovoľnej elementárnej operácii v systéme (35) v maticiach A i Ai

súčasne prebieha zodpovedajúce elementárne operácie nad riadkami a teda pomer , ktorý stojí na
pravej strane Kramerových vzorcov sa nemení. Pomocou elementárnych riadkových operácií
môžeme maticu A priviesť k jednotkovej matici. Preto stačí dokázať vetu v tom prípade, keď A=E.

Ak A=E, potom má systém tvar

Je zrejmé, že má jediné riešenie

Na druhej strane

takže Kramerove vzorce v tomto prípade sú naozaj pravdivé.

Ak je detA=0, potom stupňovitý tvar matice A nebude ostro trojuholníková, a teda systém

(35) je buď neriešiteľný, alebo neurčitý. V tomto prípade je nebezpečné použiť Kramerove vzorce.
Jednoducho ich nemožno aplikovať (veď sme ich dokazovali za predpokladu že

), a treba

postupovať nejako ináč.

Úloha 1. Dokázať, že ak detA=0, ale

pre niektoré i, potom je systém (35)

neriešiteľný

Úloha 2.Ukázať, že ak

potom môže byť systém (35) jednak neriešiteľný, alebo tiež neurčitý. (Priveďte v oboch prípadoch
príklady)

Algebraické štruktúry 56 Strana

Poznamenajme, že Kramerove vzorce nie sú ani zďaleka najlepšou metódou pre praktické

riešenie systému lineárnych rovníc vynímajúc azda len prípad keď n=2.majú predovšetkým
teoretický význam. Tak napríklad, umožňujú získať nasledujúce explicitné vzťahy pre prvky
inverznej matice.

Veta 2. Nech je

- regulárna matica. Potom

(Aij označuje algebraický doplnok k prvku aij , porovnaj §2.4)

Dôkaz . Matica A-1 je riešením maticovej rovnice

AX=E

túto rovnicu môžeme rozdeliť do n rovníc vzhľadom k stĺpcom

matice X :

kde Ej je j-ty stĺpce matice E.

V súradnicovom zápise je rovnica (36) systémom n lineárnych rovníc premenných

, ktoré sú prvkami stĺpca Xj .Maticou koeficientov tohto systému je matica A a stĺpcom

prvých strán je stĺpec Ej . Na základe Kramerových vzorcov dostávame

čo bolo treba dokázať.

Príklad . Pre regulárnu maticu rádu 2

dostávame

Tento jednoduchý vzorec je dobre zapamätať si.

Úloha 3. Nech A je regulárna celočíselná (tj. obsahuje len celé čísla) štvorcová matica.

Dokázať, že matica A-1 je celočíselná práve vtedy, keď

A nakoniec nájdenie hodnosti ľubovoľnej matice možno tiež redukovať výpočet

determinantov.

Veta 3 (o hodnosti matice).Hodnosť matice je rovná najväčšiemu rádu jej minorov, rôznych

od nuly.

Dôkaz. nech je hodnosť matice A rovná r , a nech r>r. Potom je ľubovoľných s riadkov

matice A lineárne závislých a tým skôr sú lineárne závislé riadky ľubovoľnej štvorcovej podmatice
rádu s, ktoré sú časťami zodpovedajúcich riadkov matice A. Z toho vyplýva, že ľubovoľný minor
rádu s sa rovná nule. Ďalej skúmajme podmaticu, vytvorenú ktorýmikoľvek r lineárne nezávislými
riadkami matice A. Jej hodnosť je zrejme tiež rovná r a to znamená, že spomedzi jej stĺpcov
nájdeme r lineárne nezávislých. Minor rádu r vytvorený týmito stĺpcami sa nerovná nule.

Úloha 4. Dokázať vetu o hodnosti matice v nasledujúcej silnejšej podobe : Ak v matici

A existuje minor rádu r, rôzny od nuly, a všetky minory rádu r+1, ktoré dostaneme pripísaním
k nemu jedného riadku a jedného stĺpca sú rovné nule, potom hodA=r.

Úloha 5. Dokázať, že v matici s hodnosťou r je ľubovoľný minor rádu r, vytvorený prienikom r

lineárne nezávislých riadkov s r lineárne nezávislými stĺpcami, rôzny od nuly.