fyzika 3 10

Zhrnutie prednášky

Prednáška nadväzuje na Planckov vyžarovací zákon a ukazuje, ako z neho odvodiť Stefanov–Boltzmannov zákon. Integrovaním spektrálnej hustoty cez všetky frekvencie a substitúciou x = ħω/(kT) vyjde závislosť vyžiareného výkonu úmerná T⁴, pričom zostávajúci určitý integrál x³/(eˣ − 1) má hodnotu π⁴/15. Konštanty (emisivita, plocha povrchu a ďalšie) sa skrývajú v Stefanovej–Boltzmannovej konštante σ. Následne sa Planckov zákon prepisuje z frekvencií na vlnové dĺžky (ω = 2πc/λ, dω = −2πc/λ² dλ), čím vzniká rozdelenie úmerné λ⁻⁵/(e^(hc/(λkT)) − 1). Na jeho derivovaní sa začína hľadanie maxima, z ktorého vyplynie Wienov posunovací zákon.

• - Planckov zákon: spektrálna hustota úmerná ω³/(e^(ħω/kT) − 1); konštanta závisí od emisivity, povrchu a vlastností oscilátorov.
• - Stefanov–Boltzmannov zákon vzniká integrovaním Planckovho zákona od 0 do ∞ a substitúciou x = ħω/(kT) dostaneme výkon úmerný T⁴.
• - Určitý integrál ∫x³/(eˣ − 1)dx = π⁴/15 má analytické riešenie, no jeho odvodenie je netriviálne a vyžaduje špeciálne funkcie.
• - Voliteľná úloha za bod k zápočtu: napísať na 2–3 strany, ako sa tento integrál analyticky počíta.
• - Prepis do vlnových dĺžok: ω = 2πc/λ, ħω = hc/λ, dω = −(2πc/λ²)dλ; rozdelenie je úmerné λ⁻⁵/(e^(hc/λkT) − 1).
• - Wienov posunovací zákon (λ_max · T = konštanta) sa získa nájdením maxima rozdelenia, teda nulovej derivácie podľa λ.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.