Téma 7: Základy predikátovej logiky
Predmet: Logika

1. Charakter a úlohy predikátovej logiky.

Výroková logika postihuje iba také vyplývanie, ktoré je založené na vzťahoch medzi

elementárnymi výrokmi. Táto logika nemá prostriedky na analýzu vzťahov medzi
štruktúrnymi prvkami týchto výrokov. Prostriedky výrokovej logiky nám nestačia na to,
aby sme z dvoch premís vyvodili záver napr. v prípade:

Všetci ľudia sú smrteľní.
Sokrates je človek.
––––––––––––––––––––
Sokrates je smrteľný.

Vo výrokovej logike by schéma tohto úsudku vyzeralo takto: p, q

 r. To však nie je

platná úsudková schéma výrokovej logiky. Avšak v každodennom živote robíme podobné
závery veľmi často. Napr.:

Každé darovanie je zmluva.
Každá zmluva je dvojstranný prejav vôle.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––-
Každé darovanie je dvojstranný prejav vôle.

alebo

Žiaden protiprávny úkon nie je platným úkonom.
Niektoré dohovory sú protiprávne úkony.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Niektoré dohovory nie sú platnými úkonmi.

Logika, ktorá ide v analýze hlbšie ako logika výroková a nepovažuje elementárne

výroky za posledné stavebné kamene logických stavieb, ale za bloky, zložené z ešte
jednoduchších prvkov, je logika predikátová.

V uvedených výrokoch sa vypovedá (predikuje) o istých subjektoch, ktorým sa

pripisujú isté vlastnosti. To, čo sa vypovedá, budeme označovať ako predikát. Predikát
vyjadruje vlastnosť alebo vzťah.

Vlastnosťou tu chápeme niečo, čo je možné o podmete (subjekte) vypovedať. Napr.

výrok „8 je párne číslo.“ pripisuje vlastnosť vyjadrenú predikátom „... je párne číslo“ číslu 8,
výrok „Michal Martikán je olympijský víťaz.“ pripisuje vlastnosť vyjadrenú predikátom „... je
olympijský víťaz“ Michalovi Martikánovi.

Avšak nie všetky výrazy, ktoré niečo vypovedajú, možno označiť ako vlastnosti. Napr.

výrok „X.Y. je väčší ako N.N.“ nevyjadruje vlastnosť X.Y. alebo N.N., ale ide o vzťah medzi
X.Y. a N.N., a síce pripisuje sa tu vzťah vyjadrený predikátom „... je väčší ako ...“ týmto
dvom indivíduám. V danom prípade ide o predikát dvojmiestny, teda ide o vzťah medzi
dvomi indivíduami, daná výpoveď má dva argumenty. Existujú však aj vzťahy viacmiestne.
Keď prisudzujeme určitú vlastnosť (vzťah) odpovedajúcemu počtu indivíduí (dosadíme
odpovedajúci počet argumentov ako argumenty predikátu), dostávame výrok, o ktorom je
možné rozhodnúť, či je pravdivý alebo nepravdivý.

Dôležité pre nás je, že predikátová logika preberá platné pravidlá a zákony

výrokovej logiky a rozširuje ich o skúmanie štruktúry elementárnych výrokov.

Z uvedeného charakteru predikátovej logiky vyplýva skutočnosť, že pri skúmaní

vnútornej štruktúry výrokov sa zaujíma o to, koľkých argumentov sa predikát týka, a najmä či
vlastnosť alebo vzťah, ktoré vyjadruje predikát, sa týkajú daného indivídua, alebo aspoň
jedného prvku množiny, alebo všetkých jej prvkov, čo sa vyjadruje kvantifikáciou.

Podrobnejšie sa budeme zaoberať tiež logikou tried, t.j. logikou jednomiestnych

predikátov, a logikou vzťahov, t.j. logikou viacmiestnych predikátov. Osobitne sa budeme
venovať časti tradičnej logiky - tzv. sylogistike

Predikátová logika sa rozdeľuje na predikátovú logiku prvého stupňa, kde jediný

prípustný typ premenných sú indivíduové premenné, a ďalších stupňov, ktoré sa zaoberajú
predikátovými premennými, napr. vlastnosťami vlastností, vzťahmi vzťahov, vlastnosťami
vzťahov, vzťahmi vlastností atď. Vzhľadom na rozsah a zameranie skrípt sa budeme zaoberať
len prvostupňovou predikátovou logikou.

2. Predikáty a kvantifikátory.

2.1. Predikáty

Na základe toho, čo sme si povedali v druhej kapitole týchto skrípt a v úvode tejto

kapitoly, môžeme predikáty definovať takto:

Vysvetlime si túto definíciu podrobnejšie. Predikát môžeme chápať ako funkciu, ktorá

prisudzuje nejakú vlastnosť alebo vzťah. Dôležitá pre nás je oblasť, na ktorej je daný predikát
definovaný. Je to akási univerzálna množina predmetov, o ktorých môžeme vypovedať.
Budeme ju nazývať obor uvažovania. Výsledkom dosadenia1 konkrétnych hodnôt za
argumenty predikátu je výrok. Hodnotou takto chápanej funkcie po dosadení je potom pravda
alebo nepravda. Napr. obor uvažovania predikátu „Dnes je ...“ môže byť deň v týždni, t.j.
pondelok, utorok, streda, štvrtok, piatok, sobota alebo nedeľa, ale tiež napr. deň v mesiaci
alebo ešte nejaký iný obor uvažovania. Preto, ak obor uvažovania nie je samozrejmý, treba ho
explicitne uviesť.

Viacmiestne predikáty môžeme transformovať na jednomiestne tak, že za všetky

indivíduové premenné okrem jednej dosadíme konkrétne hodnoty. Napr. v dvojmiestnom
predikáte „... je dlžníkom ...“ môžeme dosadiť konkrétnu osobu (František H.) a dostaneme
jednomiestny predikát „... je dlžníkom Františka H.“ alebo predikát „František H. je dlžníkom
...“ (podľa toho na ktoré miesto dosadíme meno indivídua).

Na označenie jednomiestnych predikátov budeme používať veľké písmená F, G, H,

na označenie viacmiestnych predikátov veľké písmená R, S, T. Za tieto písmená do
zátvorky budeme zapisovať argumenty oddelené čiarkou. Napr.: Agáta (a) je učiteľka (F). –
zápis: F(a), Braňo (b) sa narodil v Hlohovci (H). – zápis: H(b), Alexander (a) je manželom
(R) Beáty (b). – zápis: R(a,b), Peter (p) sedí medzi (S) Martinom (m) a Jozefom (j). – zápis:
S(p,m,j).

1 Budeme tu hovoriť o dosadení hodnoty aj keď v literatúre sa rozlišuje medzi dosadením za premennú a
udelením hodnoty (ohodnotením).

Predikáty sú výrokotvorné funktory s mennými

argumentmi, pričom jednomiestne predikáty

vyjadrujú vlastnosti a viacmiestne predikáty vzťahy.

Výroková logika sa takýmito výrokmi zaoberá ako nedeliteľnými celkami. Naproti

tomu predikátová logika skúma ich vnútornú štruktúru a môžeme ju považovať, ako sme už
skôr uviedli, za prehĺbenie výrokovej logiky.

Argumenty, ktorým sa predikátom prisvojujú isté vlastnosti alebo vzťahy, sú mená.

Argumentom predikátu môže byť meno indivídua alebo viazaná premenná z oboru
uvažovania. Len po dosadení hodnôt argumentov alebo po viazaní premennej sa z predikátu
stane výrok.

2.2. Kvantifikátory

Viazanie premennej sa vykonáva pomocou kvantifikátorov. V predikátovej logike

sa používajú predovšetkým dva kvantifikátory: všeobecný kvantifikátor a čiastočný
(existenčný) kvantifikátor.2 Sú to nevlastné (logické) konštanty, ktoré vyjadrujú, že určitá
vlastnosť alebo určitý vzťah sa týka každého prvku alebo niektorých prvkov určitej triedy
predmetov. Táto neprázdna trieda predmetov sa nazýva univerzum kvantifikácie.

Všeobecný kvantifikátor

Všeobecný kvantifikátor sa vyjadruje najčastejšie výrazom „všetci“ alebo „každý“,

resp. v prípade zápornej vety výrazom „žiadny“. Najpresnejšie ho možno vyjadriť výrazom
„pre každé x platí, že x …“.
Napr. Všetci ľudia sú smrteľní.,

Každý páchateľ trestného činu je potrestaný.

Výrazy „všetky x“, „každé x“ resp. „žiadne x“ budeme označovať ako

x.

Čiastočný kvantifikátor

Čiastočný kvantifikátor sa vyjadruje najčastejšie výrazom „niektorí“. Najpresnejšie ho

možno vyjadriť výrazom „existuje (aspoň jedno) x také, že x …“.
Napr. Niektorí ľudia sú milí.,

Niektorí študenti študujú systematicky.

Výrazy „niektoré x“, „existuje x“ budeme označovať ako

x.

V logike je prijatá konvencia, podľa ktorej čiastočný kvantifikátor je nevýlučný, t.j.

výraz „Existuje x, ktoré má vlastnosť F.“ vylučuje len možnosť, že „Žiadne x nemá vlastnosť
F.“, ale nie možnosť, že „Všetky x majú vlastnosť F.“ Výraz „existuje“, resp. „niektorý“
znamená, že určitú vlastnosť má minimálne jeden a maximálne všetky prvky danej triedy,
avšak vylučuje, že by daná trieda bola prázdna.

2 Existujú aj iné kvantifikátory, vyjadrené napr. výrazmi „existujú dva prvky x také, že …“ apod.

Všeobecný kvantifikátor vyjadruje skutočnosť, že
uvedenú vlastnosť má každý prvok uvedenej triedy.

Čiastočný (existenčný) kvantifikátor vyjadruje
skutočnosť, že v oboru uvažovania existuje prvok,
ktorý má uvedenú vlastnosť.

Na základe takejto konvencie potom môžeme ilustrovať kvantifikátory takto:

a) Všeobecný výrok

x F(x), kde x môže nadobudnúť hodnôt a, b, c, ..., n, je skratkou

výrazu:

F(a)

 F(b)  F(c)  ...  F(n)

b) Čiastočný výrok

x F(x), kde x môže nadobudnúť hodnôt a, b, c, ..., n, je potom

skratkou výrazu:

F(a)

 F(b)  F(c)  ...  F(n)

Dôležitá pre nás bude vzájomná prevoditeľnosť kvantifikátorov. Túto prevoditeľnosť

(zameniteľnosť) možno dokázať. My tu však pravidlá uvedieme a budeme používať bez
dôkazov. Dôkazy alebo ich hlavné myšlienky môžete opäť nájsť v literatúre uvedenej na
konci skrípt.

Pravidlá prevoditeľnosti kvantifikátorov

Ak by sme chceli vypovedať o vlastnostiach a vzťahoch nie indivíduí, ale ich

vlastností a vzťahov, potom by sme prešli do predikátovej logiky vyššieho ako prvého rádu.
To však už presahuje rozsah nášho kurzu a záujemcov odkazujem na literatúru uvedenú na
konci týchto skrípt. Všetko, čo budeme ďalej hovoriť, platí v plnom rozsahu len pre
predikátovú logiku prvého rádu.

3. Jazyk predikátovej logiky

Ktoré výrazy vlastne tvoria slovník jazyka predikátovej logiky?
V predikátovej logike budeme využívať špeciálny jazyk predikátovej logiky, ktorý má

nasledujúci slovník.

3.1. Slovník jazyka predikátovej logiky

Slovník jazyka predikátovej logiky (prvého rádu) pozostáva z týchto výrazov:

1. predikáty:

– jednomiestne – F, G, H;
– viacmiestne – R, S, T;

2. indivíduové premenné – x, y, z, ... resp. x1, x2, x3, ...;
3. kvantifikátory -

, ;

4. spojky (výrokovologické ) -

, 

5. zátvorky – (, ).

1.

x F(x) x F(x)

2.

x F(x) x F(x)

3.

x F(x)  x F(x)

4.

x F(x)  x F(x)

Indivíduová premenná je znak (výraz), ktorý má nasledujúce vlastnosti:

1. je významovo neurčitý;
2. možno ho písať na miesto indivíduového mena alebo viazanej premennej;
3. možno za ňu dosadiť indivíduové meno alebo viazanú premennú podľa jednoduchých

pravidiel;

4. označuje, na ktoré miesto je treba dosadiť to isté indivíduové meno, resp. viazanú

premennú;

5. platí preň pravidlo, podľa ktorého možno s výrazmi obsahujúcimi indivíduové premenné

vykonávať tie isté operácie, ako s výrazmi obsahujúcimi len indivíduové mená alebo
viazané premenné.

Pospájaním znakov zo slovníka jazyka predikátovej logiky môžeme utvárať rozličné

postupnosti znakov. Syntakticky správne utvorenú postupnosť znakov budeme nazývať
formula predikátovej logiky (niekedy tiež správne utvorená formula jazyka predikátovej
logiky).

3.2. Formula predikátovej logiky

Definícia formuly predikátovej logiky:

1. ak je P n-miestny predikát a x1, x2, ..., xn indivíduové premenné, potom P(x1, x2, ..., xn) je

atomárna formula predikátovej logiky; každá atomárna formula je formulou predikátovej
logiky;

2. ak je A formulou predikátovej logiky, tak je aj

 formulou predikátovej logiky;

3. ak sú A, B formuly predikátovej logiky, tak (A

 B), (A B), (A B), (A B) sú

formuly predikátovej logiky;

4. ak je x indivíduová premenná a A formula predikátovej logiky, tak sú aj výrazy

x A a

x A formulami predikátovej logiky;

5. každá formula predikátovej logiky vznikne konečným počtom použitia pravidiel 1.-4.

Formula predikátovej logiky sa tak skladá z indivíduových premenných,

predikátov, kvantifikátorov a výrokovologických spojok.

Príklady správne utvorených formúl jazyka predikátovej logiky:
1.

x F(x)

2.

x F(x)

3.

x (F(x)  G(x))

4.

x ((F(x)  G(x))  H(x))

5.

x F(x) x F(x)

Z technického hľadiska je formulou predikátovej logiky aj výraz, kde sa kvantifikátor

nachádza pred ďalším výrazom, ktorý neobsahuje premennú uvedenú s kvantifikátorom, napr.
(x) F(y) alebo (y) F(x). V takom prípade bude mať tento zložený výraz ten istý význam,

ako výraz bez takého kvantifikátora, t.j. F(y) v prvom prípade a F(x) v druhom.

Dôležité je si pamätať, že na rozdiel od formuly predikátovej logiky výrok

predikátovej logiky neobsahuje žiadne voľné premenné.

3.3. Transformácia vety na formulu predikátovej logiky

Aj v predikátovej logike je pre praktické použitie logických pravidiel pri analýze

logických vzťahov potrebné vykonať transformáciu viet na formuly. Transformácia viet na
formuly nám v tomto prípade umožňuje študovať štruktúru jednoduchých aj zložených
viet z hľadiska predikátovej logiky.

Postup transformácie vety na formulu predikátovej logiky:

Príklad č.1:

Transformácia z prirodzeného jazyka do jazyka predikátovej logiky nemusí byť

(podobne ako tomu bolo vo výrokovej logike) vždy jednoznačná. Okrem toho často existuje
aj viac možností zápisu – pozrime ten istý príklad, avšak tentoraz nebude interpretovať
predikáty ako vzťahy ale ako vlastnosti:

Príklad č.2:

V danom prípade zostal pôvodný význam zachovaný. V prípade nejasnej alebo

nejednoznačnej formulácie to tak byť nemusí.

1. Každé dieťa má mamu a otca.
2. (Každé dieťa má mamu.) a (Každé dieťa má otca.)
3. (

x y M(y,x)) a (x z O(z,x))

(x – dieťa, y – osoba ženského pohlavia, z – osoba mužského pohlavia,
M – ... je mamou ..., O - ... je otcom ...)

4. (

x y M(y,x))  (x z O(z,x))

alebo (iná forma zápisu)
x y z (M(y,x)  O(z,x))

1. Každé dieťa má mamu a otca.
2. (Každé dieťa má mamu.) a (Každé dieťa má otca.)
3. (

x M(x)) a (x O(x))

(x – dieťa, M – ... má mamu, O - ... má otca)

4. (

x M(x))  (x O(x))

alebo (iná forma zápisu)
x (M(x)  O(x))

1. Vyčleníme v súvetí jednotlivé vety prirodzeného jazyka.
2. Dáme vetám logickú formu výrokov spojených jednoznačne

vyjadrenými spojkami.

3. V jednotlivých výrokoch vyčleníme mená vlastností a vzťahov, mená

indivíduí a kvantifikátory a označíme ich symbolmi predikátov a
indivíduových premenných. Dostaneme tak atomické formuly.

4. Ak ide o zložený výrok použijeme namiesto spojok prirodzeného

jazyka výrokovologické spojky. Získame tak formulu predikátovej
logiky.

4. Zákony predikátovaj logiky

Aj v predikátovej logike existujú výrazy, ktorých pravdivostná hodnota je určená už

ich stavbou, t.j. tautológie predikátovej logiky. Tieto zákony predikátovej logiky majú
podobnú úlohu ako zákony výrokovej logiky. Tautológie nám umožňujú stanoviť pravidlá
správneho usudzovania predikátovej logiky.

Vo výrokovej logike sme sa zoznámili s tabuľkovou metódou, ktorá nám umožnila

rozhodnúť o každej formule výrokovej logiky, či je tautológiou, kontradikciou alebo
splniteľnou formulou. V predikátovej logike takáto všeobecná metóda neexistuje. (V logike
tried sa však zoznámime s grafickou metódou.)

Dôležité je pre nás pravidlo, že všetky zákony výrokovej logiky platia aj v logike

predikátovej. Umožňuje nám to pravidlo substitúcie. Ak dosadíme v tautológii výrokovej
logiky podľa pravidla substitúcie za všetky výrokové premenné formule predikátovej logiky,
dostaneme tautológiu predikátovej logiky.

Ako príklad si uvedieme pravidlo odlúčenia, kde za výrokovú premennú p dosadíme

formulu predikátovej logiky P(x) a za výrokový premennú q formulu predikátovej logiky
Q(x):

Schéma pravidla odlúčenia predikátovej logiky

Avšak predikátová logika má aj svoje vlastné zákony, na základe ktorých formuluje

svoje vlastné pravidlá. Medzi základné pravidlá patria: pravidlo konkretizácie, pravidlo
partikularizácie, pravidlo univerzálnej abstrakcie a pravidlo existenčnej abstrakcie.

Pravidlo konkretizácie (odstránenie všeobecného kvantifikátora):

xF(x)

–––––- alebo

xF(x)  F(x)

F(x)

Príklad:

Zákony platí pre všetkých občanov.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-
Zákony platia aj pre občana - predsedu vlády.

P(x)

 Q(x)

P(x)

––––––––––

Q(x)

Ak má každý predmet nejakú vlastnosť, tak túto
vlastnosť má aj ľubovoľný predmet.

Pravidlo partikularizácie (odstránenie existenčného kvantifikátora):

xF(x)

–––––- alebo

xF(x)  F(a)

F(a)

Príklad:

Na Slovensku žije majster sveta vo vodnom slalome.
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-
M. Martikán žije na Slovensku a je majster sveta vo vodnom slalome.

Pravidlo univerzálnej abstrakcie (zavedenie všeobecného kvantifikátora):

F(x)
–––––- alebo F(x)

 x F(x)

x F(x)

Príklad:

Ľubovoľný absolvent FSEV má zápočet z logiky.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Všetci absolventi FSEV majú zápočet z logiky.

Pravidlo existenčnej abstrakcie (zavedenie existenčného kvantifikátora):

F(a)
–––––- alebo F(a)

 x F(x)

x F(x)

Príklad:

Bratislava je hlavné mesto Slovenskej republiky.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
Slovenská republika má hlavné mesto. (Existuje hlavné mesto Slovenskej republiky.)

Ak existuje nejaký predmet, ktorý má určitú
vlastnosť, tak celkom určitý predmet má túto
vlastnosť.

Ak má ľubovoľný predmet nejakú vlastnosť, tak
každý predmet má túto vlastnosť.

Ak nejakú vlastnosť má celkom určitý predmet, tak
existuje predmet, ktorý má túto vlastnosť.

Pravidlá sme formulovali pre vlastnosti, avšak analogicky platia aj pre vzťahy.

V predikátovej logike skúmame platnosť dôsledkových vzťahov analogickým

spôsobom ako vo výrokovej logike. Na tomto mieste si ukážeme na jednom jednoduchom
príklade. V prípade hlbšieho záujmu opäť odkazujem na doporučenú literatúru na konci
skrípt.

Príklad:

Vyplýva zo skutočnosti, že občan N.N. je páchateľom trestného činu, že niektorí

občania sú páchatelia trestných činov?

V triede občanov ako oboru uvažovania je daná premisa: „Občan N.N. je páchateľom

trestného činu.“ a robíme záver: „Niektorí občania sú páchatelia trestných činov.“

Zapíšeme premisu a záver ako formuly, kde použijeme predikát P (... je páchateľom

trestného činu):

premisa:

P(N.N.)

záver:

x P(x)

Dosadíme formuly do pravidla odlúčenia a dostaneme:

P(N.N.)

 x P(x)

implikácia je vždy pravdivá3

P(N.N.)

premisa je pravdivá – viď zadanie

–––––––––––––––––

x P(x)

záver je pravdivý

To znamená, že dôsledok z premisy vyplýva.

5. Logika tried.

Logiku tried možno považovať za súčasť predikátovej logiky, ktorá sa

obmedzuje na jednomiestne (jednoargumentové) predikáty. Pomocou logiky tried možno
vypovedať o vlastnostiach určitých subjektov, avšak nie o vzťahoch medzi týmito subjektami.

Pojem trieda v logike zodpovedá pojmu množina v matematike. Trieda je súhrn

indivíduí, ktoré majú určité spoločné vlastnosti. Z hľadiska typu svojich prvkov sa
rozlišujú triedy rôznych rádov. Indivíduá sú ako prvky triedy predmety nultého rádu. Triedy
indivíduí sú triedami prvého rádu, triedy týchto tried triedami druhého rádu, atď. Rád triedy je
vždy o jednu úroveň vyšší ako rád jej prvkov. Z toho vyplýva, že trieda nikdy nemôže byť
prvkom seba samej. Ďalej platí, že prvky danej triedy musia byť predmetmi rovnakého rádu.4

Triedy budeme označovať pomocou veľkých písmen A, B, C, ... .
Ako sme si už povedali, tak ako indivíduá aj triedy majú svoje mená. Meno triedy sa

môže skladať z jedného slova alebo z viacerých slov. Meno triedy musí byť jednoznačné,
nie je však rozhodujúce, či je vyjadrené jednotným alebo množným číslom podstatného mena.

Prvky triedy a trieda sama musia byť určené tak, aby o každom x bolo možné

rozhodnúť, či je alebo nie je prvkom triedy A. Vzťah prvku a triedy má osobitne v právnom
myslení veľký význam, ktorý spočíva aj v tom, že proces subsumcie skutkovej podstaty pod
právnu normu je vo svojej podstate rozhodnutím, či určitá skutočnosť je, alebo nie je prvkom
triedy zákonnej skutkovej podstaty.

3 Ak je antecedent P(N.N.) nepravdivý, potom je implikácia pravdivá (viď tabuľka implikácie), a ak je
antecedent pravdivý, potom je pravdivý aj konzekvent (existuje totiž občan – páchateľ trestného činu, totiž
občan N.N.) a implikácia je tiež pravdivá.
4 Spomeňte si na teóriu sémantických stupňov v II. kapitole.

Triedu možno určiť dvoma spôsobmi:

1. výpočtom (zoznamom) všetkých prvkov triedy – extenzionálne - (prvky spravidla

zapisujeme v zložených zátvorkách {…}), napr. A = {pondelok, utorok, streda, štvrtok,
piatok, sobota, nedeľa} je trieda dní v týždni;

2. rodovým znakom príslušnosti k triede - intenzionálne, napr. trieda párnych čísiel B je

určená predikátom (vyjadrujúcim príslušnosť k triede): „je deliteľné dvomi“.

Slovník jazyka logiky tried:

1. triedové predikáty – A, B, C, ...;
2. indivíduové premenné – x, y, z, ... resp. x1, x2, x3, ...;
3. kvantifikátory -

, ;

4. výrokotvorné funktory (logické spojky) -

, 

5. zátvorky – (, ).

Príslušenstvo prvku k triede označujeme symbolom „

“. Výraz „x  A“ čítame

„x je prvkom triedy A“.

Podľa počtu prvkov sa triedy rozlišujú na:

-

prázdne triedy – neobsahujú ani jeden prvok, označuje sa symbolom

;

-

neprázdne triedy – obsahujú aspoň jeden prvok (konečné a nekonečné);

-

univerzálne triedy – obsahujú všetky prvky oboru uvažovania, označujú sa symbolom
u alebo 1, predpokladá sa, že je neprázdna.

V logike tried si definujeme vzťahy a operácie medzi triedami. Vzťahy medzi triedami

môžu byť štyri: totožnosť, inklúzia, prelínanie a disjunkcia. Operácie môžu byť dvoch
druhov: jedna trieda – iná trieda, a viac tried – nová trieda.

Vzťahy medzi triedami:
Rovnosť (totožnosť) tried: triedy A a B sú si rovné vtedy a len vtedy, ak obsahujú

tie isté prvky, t.j. ak o každom prvku triedy A platí, že je prvkom triedy B, a o každom prvku
triedy B platí, že je prvkom triedy A. Rovnosť zapisujeme: A = B. Rovnosť je komutatívna
(ak A = B, tak aj B = A) a tranzitívna (ak A = B a B = C, tak A = C). Rovnosť tried nie je
nevyhnutne spojená s tým istým menom triedy – A a B môžu byť rôzne mená tej istej triedy.
A = B

 x (x  A  x  B)

Príklady:
1. Triedy „párne čísla“ a „čísla deliteľné dvomi“ sú si rovné.
2. Triedy „teplomery“ a „prístroje na meranie teploty“ sú si rovné.

Inklúzia tried: trieda A je podtriedou triedy B (je inkludovaná v triede B), ak

všetky prvky triedy A sú aj prvkami triedy B. Inklúziu zapisujeme: A

 B.5 Inklúzia nie

je komutatívna (ak A

 B, tak z toho nevyplýva B  A), avšak je tranzitívna (ak A  B a B

 C, tak aj A  C). Zvláštnym prípadom inklúzie tried je rovnosť tried, ktorú môžeme tiež

definovať ako vzájomnú inklúziu tried (A = B vtedy a len vtedy, keď A

 B a B  A).

A

 B  x (x  A  x  B)

Príklady:
1. Trieda „prístroje na meranie teploty vzduchu“ je podtriedou triedy „teplomery“.
2. Trieda „párne čísla“ je podtriedou triedy „prirodzené čísla“.

Prelínanie tried: trieda A a B sa prelínajú, ak existujú prvky, ktoré sú súčasne

prvkami triedy A a prvkom triedy B. Prelínanie je komutatívne (ak sa A prelína s B, tak sa

5 V literatúre sa niekedy rozlišuje medzi inklúziou tried a ostrou inklúziou tried (nepripúšťa rovnosť tried). My sa
vo výkladu obmedzíme len na prvý prípad.

aj B prelína s A), nie je tranzitívne (ak sa A prelína s B a B sa prelína s C, potom sa A nemusí
prelínať s C). Totožnosť a inklúzia sú zvláštnymi prípadmi prelínania tried.
A sa pretína s B

 x (x  A  x  B)

Príklady:

1. Triedy „právnici“ a „učitelia“ sa prelínajú.
2. Triedy „študenti“ a „darcovia krvi“ sa prelínajú.

Disjunkcia tried: triedy A a B sú disjunktné, ak neexistuje prvok, ktorý by bol

súčasne prvkom triedy A a prvkom triedy B. Disjunkcia je komutatívna (ak je A disjunktná
s B, tak je aj B disjunktná s A), nie je tranzitívna (ak je A disjunktná s B a B je disjunktná s C,
potom A nemusí byť disjunktná s C).
A je disjunktná s B

 x (x  A  x  B)

Príklady:

1. Triedy „sudcovia“ a „advokáti“ sú disjunktné.
2. Triedy „jablká“ a „hrušky“ sú disjunktné.

V nasledujúcich paragrafoch sa budeme zaoberať špeciálnym prípadom logiky tried,

a síce sylogizmami klasickej logiky.

6. Operácie s triedami. Vennove diagramy.

Skôr, ako si vysvetlíme operácie s triedami, povieme si niekoľko slov o grafickom

znázornení týchto operácií.

Spôsob zobrazenia je na Obrázku č.6. Univerzálnu triedu budem zobrazovať ako

obdĺžnik a ostatné triedy budeme zobrazovať vnútri tohto obdĺžnika pomocou istých
geometrických obrazcov (podľa počtu posudzovaných tried, pre počet tri a menej to budú
spravidla kružnice). Symbol prázdnej množiny (

) vnútri daného obrazca bude zobrazovať

skutočnosť, že neexistujú prvky s týmito vlastnosťami. Tomuto grafickému znázorneniu sa
hovorí Vennove diagramy podľa ich autora6.

Obrázok č.6

V logike tried sa zavádzajú nasledujúce operácie: doplnok triedy; zjednotenie tried;

prienik tried a rozdiel tried. Výsledkom každej operácie s triedami je nová trieda.

6 Tieto diagramy sú pomenované podľa anglického logika J. Venna (1834 – 1923). Kruhy pre znázornenie
vzťahov medzi termínmi kategorických výrokov zaviedol už L. Euler (1707 – 1783), avšak Venn túto metódu
zdokonalil.

A

B

C

Doplnok triedy A: trieda Ā sa nazýva doplnkom triedy A v univerzálnej triede,

ak obsahuje všetky prvky univerzálnej triedy, ktoré nie sú prvkami triedy A. Každá
neprázdna vlastnosť delí univerzálnu triedu na dve triedy, ktoré nemajú spoločný prvok: na
triedu prvkov, ktoré majú túto vlastnosť, a na triedu prvkov, ktoré nemajú túto vlastnosť – viď
Obrázok č. 7.

Ā =df ŷ (y

 A)

Príklady:
1. V univerzálnej triede „veci“ bude k triede „hnuteľné veci“ doplnkom trieda „nehnuteľné

veci“.

2. V univerzálnej triede „fyzické osoby“ bude k triede „plnoletí“ doplnkom trieda

„maloletí“.

Obrázok č.7

Zjednotenie tried A a B je trieda A

 B, ktorej prvkami sú tie prvky univerzálnej triedy,

ktoré sú prvkami aspoň jednej z tried A a B. Grafické znázornenie je na Obrázku č. 8.

A

 B =df ŷ (y  A  y  B)

Príklady:
1. Zjednotenie triedy právnikov a triedy profesorov je trieda, ktorej prvkami sú právnici,

profesori aj profesori-právnici.

2. Zjednotením triedy párnych čísiel a triedy nepárnych čísiel je trieda prirodzených čísiel.

Obrázok č.8

Prienik tried A a B je trieda A

 B, ktorej prvkami sú tie prvky univerzálnej triedy,

ktoré sú súčasne prvkami triedy A a triedy B (viď Obrázok č. 9). Triedy, ktoré majú aspoň

A

Ā

A

B

A
B

jeden spoločný prvok (prvok, ktorý je prienikom týchto tried), sú incidentné. Triedy, ktoré
nemajú ani jeden spoločný prvok, t.j. ktorých prienik je prázdna trieda, sú disjunktné.

A

 B =df ŷ (y  A  y  B)

Príklady:
1. Prienikom triedy právnikov a triedy profesorov je trieda profesorov-právnikov.
2. Prienikom triedy odmien a triedy trestov je prázdna trieda.

Obrázok č.9

Rozdiel tried A a B je trieda A – B, ktorej prvkami sú tie prvky triedy A, ktoré nie sú
prvkami triedy B (Obrázok č. 10).

A – B =df ŷ (y

 A  y  B)

Príklady:

1. Rozdielom tried učiteľov a učiteľov nemeckého jazyka je trieda učiteľov, ktorí neučia

nemecký jazyk.

2. Rozdielom tried teplomerov a prístrojov na meranie teploty je prázdna trieda.

Obrázok č. 10

Literatúra:

A

B

A

 B

A

B

A - B

Holomek, J.: Formálna logika. APZ, Bratislava 2000 (2. vydanie 2003) – V. kapitola,

par. 1.-4., 7.-8.

Gahér, F.: Logika pre každého. 2. vydanie, IRIS, Bratislava 1998, s.156-190, 341-342.