Teória na matematiku II.

Definície:

Vysvetlivky:

€ - patrí        З – existuje        √ - všetky

 

Funkcia n-reálnych premenných: nech M je podmnožina n-rozmerného priestoru, M≠0, n≥1, zobrazenie f: M -> E1 sa nazýva reálna funkcia n-reálnych premenných, M je obor tejto funkcie a platí: f je množina všetkých dvojíc [x,y], pričom má tieto vlastnosti: 1. x € M

2. √x€M; Зy [x,y] € f; x = (x1, x2....xn)

 

Riešenie sústavy lineárnych rovníc:

Frobéniova v- sústava rovníc 1 má riešenie práve vtedy keď hodnosť matice sústavy = hodnosť rozšírenej matice sústavy.

Veta – o počte riešení lineárnych rovníc – nech sústava rovníc 1 má riešenie h (A) = h’ (A) = h; ak h = n, sústava má jediné riešenie, ak h<n sústava má nekonečne veľa riešení, h ≠ n nemá riešenie.

 

Vektor ā je lineárna kombinácia vektorov ā1....āk ak Зc1...ck tak, že: c1ā1+....ckāk = ā

 

Substitúcia neurčitého integrálu:

Nech f(x) je definovaná na (a.b), f φ(t) na (α,β). Nech množina hodnôt funkcie φ(t) je podmnožinou (a,b), nech φ(t) je diferencovateľná na (a,b), nech je to primitívna funkcia, potom:

F [φ(t) ] φ’(t) má na (α,β) integrál f (φ(t)) φ’(t) dx = F [φ (t)] + C

 

Limita funkcie n-reálnych premenných:

Nech f(x) je definovaná na M a obsahuje okolie bodu A, prípadne s výnimkou A. Budeme hovoriť, že f(x) má v bode A limitu rovnú b, ak pre každú postupnosť {xk}∞k=1 -> A, {xk}∞k=1 € N (a), x ≠ b má postupnosť {xk}∞k=1 limitu rovnú B

Limx->A f(x) = b  [ √{xk} € N (a); {xk}->A, xk≠A, limk->∞ f(xk) = b ]

 

Per partes pre určitý integrál:

Nech u(x) a v(x) majú na <a,b> spojité derivácie u’(x), v’(x), potom platí

        

 

Cramerovo pravidlo:

Ak pre systém lineárnych rovníc sa m = n (počet rovníc=počet neznámych) a determinant

matice je rôzny od nuly D = │aij│1n ≠ 0, systém má jediné riešenie D1/D, D2/D,...Dn/D

 

Dôkaz: Arctg x/2 – cez substitúciu

tg x/2 = t        x/2 = arctg t        x = 2arctg t        dx = 2*1/1+x2  -> t = 2/1+x2

 

Operácie s maticami:

1. súčet: A (aik) tvaru m/n + A (aik) tvaru m/n = C (cik) tvaru m/n – i = 1....m; k = 1....n
2. súčin A * B = C (cik) Cik = ∑nj=1 aij * bij         c12=a11*b12+a12*b22+a1n*bn2

 

Body nespojitosti:

Ak je funkcia f spojitá na ohraničenej uzavretej oblasti D, potom platí, že:

1. f(x) je na oblasti D ohraničená
2. f(x) má na oblasti maximum a minimum
3. ak A≠B, pričom A, B € D, tak, že platí f(A)≠f(B), funkcia nadobúda každú hodnotu medzi f(A) a f(B) aspoň v 1 bode tejto oblasti.

 

Dôkaz per partes:

Funkcie u,v majú na otvorenom intervale J spojité derivácie u’(x), v’(x), potom na intervale J platí:(skrátený zápis->u,v sú funkcie)

Z čoho dostaneme

 

Frobiénova veta:

Systém lineárnych rovníc má riešenie vtedy ak hodnosť matice systému sa rovná hodnosti jeho rozšírenej matice. Ak hodnosť matice sa nerovná hodnosti rozšírenej matice, potom nemá riešenie. Ak hodnosť matice je menšia ako počet neznámych, má nekonečne veľa riešení – h(A)<n

 

Odvodiť sin x pomocou substitúcie tg x/2                sin x =

 

 

 

 

 

 

 

 

Základné vlastnosti určitého integrálu:

 

 

 

 

Gaussovo pravidlo ???

 

Nehomogénny systém n-lineárnych rovníc ???

 

Integrovanie racionálnych funkcií,

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

Rozklad na parciálne zlomky:

každá nerýdzoracionálna funkcia (m>n) je súčtom rýdzoracionálnej funkcie

 

 

Vyšetrovanie lokálnych extrémov:

Hovoríme že f(x), kt. je funkciou n-premenných, definovaná na oblasti M má v bode A lokálne maximum/minimum ak existuje také okolie A, že pre každý bod x z tohto okolia je f(x)≤/≥f(A)

Nech f(x) má v bode A=(a1,....an) lokálny extrém a nech existuje derivácia funkcie podľa jednej premennej, potom platí f’xi (A) = 0.

Bod v ktorom má funkcia prvú parciálnu deriváciu podľa každej premennej a tieto=0 sa nazýva stacionárny bod funkcie.