Domáca úloha 2-zadanie

2. domáca úloha

z predmetu Diskrétna matematika

Túto domácu úlohu treba odovzda´ 31.10.2006 na predná˛ke. Na svoje rie˛enie vidite©ne

napí˛te vᲠkrúşok a cviŁiaceho.

1 (3 body) Nájdite príklad mnoşiny A a na nej denovanej relácie R, pre ktorú platia

súŁasne v˛etky tri nasledujúce tvrdenia

• R = R2k+1

pre v˛etky k ∈ Z,k > 0

• R2 = R2k

pre v˛etky k ∈ Z,k > 0

• R 6= R2

2 (2 body) Na mnoşine v˛etkých kruşníc roviny denujeme relácie:

a) k

1Rk2 ⇔ k1

a k

2

majú rovnaký polomer;

b) k

1Sk2 ⇔ k1

a k

2

sa pretínajú.

Rozhodnite, Łi sú relácie R a S ekvivalenciami. Svoje tvrdenia zdôvodnite.

3 (3 body) Nech ∆ je operácia nazývaná symetrický rozdiel, ktorá je pre dve mnoşiny

A

a B denovaná nasledovne

A∆B = (A − B) ∪ (B − A) .

Rozhodnite, Łi je operácia symetrického rozdielu

a) komutatívna;

b) asociatívna.

Svoje tvrdenia zdôvodnite.

4 (2 body) Nech A a B sú mnoşiny, A,B ⊆ U. Dokáşte alebo vyvrá´te nasledujúce

tvrdenia.

a) P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B);

b) P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B).