Lineárna algebra a geometria | Zobrazenia | surjekcia , injekcia a bijekcia | prednáška 02

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 1 nadväzuje na riešenie sústav lineárnych rovníc a motivuje potrebu zaviesť abstraktný pojem vektorového priestoru nad všeobecným poľom. Prednášajúci ukazuje, že vlastnosti sčítania vektorov a násobenia skalárom v R^n možno postulovať axiomaticky pre ľubovoľnú množinu, čím vzniká všeobecný vektorový priestor s pojmom dimenzie. Následne zavádza pojem poľa ako zovšeobecnenia reálnych, racionálnych, komplexných a konečných čísel a naznačuje ešte všeobecnejšie štruktúry - okruh a grupu, ktoré budú predmetom prvej polovice semestra.

• Sústava m lineárnych rovníc o n neznámych má množinu riešení, ktorá môže mať 0, 1 alebo nekonečne veľa prvkov
• Pojem dimenzie priestoru riešení vyžaduje abstraktnú definíciu vektorového priestoru
• Vektorový priestor nad R je množina s operáciami sčítania vektorov a násobenia reálnym číslom spĺňajúca axiómy analogické R^n
• Pole (napr. R, Q, C, konečné polia s p prvkami pre prvočíslo p) má operácie sčítania a násobenia s opačnými aj (okrem nuly) inverznými prvkami
• Vektorový priestor možno definovať všeobecne nad ľubovoľným poľom, nielen nad R
• Okruh (napr. celé čísla Z, alebo Z modulo m) má sčítanie, násobenie a opačný prvok, ale nemusí mať multiplikatívny inverzný prvok ku každému nenulovému prvku
• Grupa je štruktúra s jedinou binárnou operáciou, ktorá formalizuje pojem symetrie (napr. grupy permutácií)
• Semester bude postupovať od všeobecných štruktúr (grupy, polia) k riešeniu sústav lineárnych rovníc nad všeobecným poľom

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.