Teoretická mechanika | prednáška 23 | Pružné kontinuum, Pole posunutí, Tenzor deformácie

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Teoretickej mechaniky dokončuje príklad viskózneho prúdenia vody vo zvislej rúrke pomocou Navierovej-Stokesovej rovnice. Úloha sa prevedie na dvojrozmernú Poissonovu (Dirichletovu) okrajovú úlohu pre rýchlostné pole V(r), pri ktorej sa využíva okrajová podmienka nulovej rýchlosti na stene rúrky. Výsledkom je parabolický (Poiseuillov) rýchlostný profil s najväčšou rýchlosťou v strede rúrky a nulovou rýchlosťou pri stenách, a na záver sa naznačuje súvis s tlakom v prítekajúcej a odtekajúcej vode.

• Navierova-Stokesova rovnica pre viskóznu nestlačiteľnú tekutinu obsahuje navyše člen s Laplaceovým operátorom oproti Eulerovej rovnici pre ideálnu tekutinu
• Anzac V = (0,0,V) so zachovaním divergencie vedie k tomu, že V nezávisí od z ani od uhla φ vďaka symetrii okrúhlej rúrky, teda V = V(r)
• Rovnica sa separuje na časť závislú od z (tlak P(z) = ρ0·g·z + P0) a časť závislú od r, dvojrozmernú Poissonovu rovnicu pre V(r)
• Úloha nájsť V(r) s predpísanou hodnotou na hranici (V=0 na stene rúrky, r=R) je Dirichletova okrajová úloha
• Riešenie sa získa prevodom Laplaceovho operátora na tvar (1/r)(rV')' = λ/η a postupnou integráciou so vznikom dvoch integračných konštánt
• Konštanta pri logaritmickom člene sa musí položiť na nulu, aby riešenie zostalo konečné v strede rúrky (r=0)
• Výsledný rýchlostný profil V(r) = (λ/4η)(R² - r²) je parabola s nulovou rýchlosťou pri stene a maximálnou v strede rúrky (Poiseuillovo prúdenie)

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.