Teoretická mechanika | prednáška 11 | Fázový portrét, Kanonická a mechanická hybnosť, Kyvadlo presne

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Teoretickej mechaniky dopĺňa predchádzajúcu tému výpočtu Hamiltoniánu pre zovšeobecnenú, rýchlostne závislú potenciálnu energiu U(Q,Q̇) typu nabitej častice v elektromagnetickom poli (U = eφ − eA·Q̇, kde φ a A sú skalárny a vektorový potenciál). Zavádza rozlíšenie medzi mechanickou hybnosťou mv a kanonickou (zovšeobecnenou) hybnosťou P = mv + eA, ktorá vstupuje do Hamiltonových rovníc, a odvodzuje výsledný Hamiltonián H = (P−eA)²/2m + eφ pre nabitú časticu. Následne sa prednáška vracia k téme lineárneho harmonického oscilátora a jeho Hamiltoniánu H = P²/2m + ½mω²X², ktorý sa dá riešiť buď priamymi pohybovými rovnicami, alebo zavedením komplexnej premennej Z = X + iP.

• Zovšeobecnená potenciálna energia elektromagnetického poľa U = eφ(r,t) − eA(r,t)·ṙ, kde φ, A sú skalárny a vektorový potenciál (E = −∇φ − ∂A/∂t, B = rot A)
• Zo všeobecného vzorca pre silu z U(r,ṙ) vychádza Lorentzova sila F = e(E + ṙ×B)
• Kanonická (zovšeobecnená) hybnosť P = ∂L/∂ṙ = mṙ + eA sa líši od mechanickej hybnosti mṙ o člen eA
• Rozlíšenie kanonickej a mechanickej hybnosti je kľúčové aj mimo mechaniky, napríklad pri Schrödingerovej rovnici pre nabitú časticu
• Výsledný Hamiltonián nabitej častice v elektromagnetickom poli je H = (P − eA)²/2m + eφ
• Hamiltonián lineárneho harmonického oscilátora je H = P²/2m + ½mω²X², pohybové rovnice sa dajú riešiť aj zavedením komplexnej premennej Z = X + iP
• Zachovanie Hamiltoniánu (celkovej energie) pri lineárnom harmonickom oscilátore vyplýva z toho, že Lagrangián/Hamiltonián explicitne nezávisí od času

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.