Súčet, súčin, mocnina kardinálnych čísel

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza súčet, súčin a mocninu kardinálnych čísel pre nekonečné množiny analogicky ku konečným množinám. Súčet κ(A)+κ(B) sa definuje ako kardinalita zjednotenia disjunktných množín; ak množiny disjunktné nie sú, nahradia sa množinami A×{0} a B×{1}, ktoré majú rovnakú kardinalitu. Súčin je kardinalita karteziánskeho súčinu a mocnina A^B kardinalita množiny všetkých zobrazení z B do A. Overuje sa korektnosť definície: ak existujú bijekcie medzi A a A′ a B a B′, ich spojením vznikne bijekcia medzi zjednoteniami, resp. súčinmi. Na záver sa zavádzajú konkrétne kardinály 0, 1, 2 a ℵ₀ ako kardinalita prirodzených čísel.

• - Súčet kardinálov je kardinalita zjednotenia, ale len pre disjunktné množiny.
• - Nedisjunktné množiny sa zdisjunktnia pomocou A×{0} a B×{1} bez zmeny kardinality.
• - Súčin kardinálov je kardinalita karteziánskeho súčinu množín.
• - Mocnina A^B je kardinalita množiny všetkých zobrazení z B do A; pre konečné množiny dáva |A|^|B|.
• - Korektnosť súčtu a súčinu plynie zo spojenia bijekcií (disjunktnosť zaručuje, že výsledok je zobrazenie).
• - Korektnosť mocniny sa odkladá, lebo vyžaduje bijekciu medzi množinami zobrazení.
• - Kardinalita množiny prirodzených čísel sa označuje ℵ₀ (alef nula).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.