Funkcie - opakovanie (definícia, injekcie, surjekcie, bijekcie, inverz)

Zhrnutie prednášky

Video opakuje základné pojmy o zobrazeniach z teórie množín. Zobrazenie z A do B sa formálne definuje ako podmnožina karteziánskeho súčinu A×B, v ktorej ku každému prvku z A existuje práve jeden prvok z B s vlastnosťou, že príslušná usporiadaná dvojica do nej patrí. Autor to ilustruje obrázkami v karteziánskom súčine, grafmi funkcií z R do R (vertikálna priamka pretne graf práve raz) a predstavou šípok medzi prvkami množín. Ďalej pripomína skladanie zobrazení g∘f, ak obor hodnôt prvého zodpovedá definičnému oboru druhého, a pojmy injektívnosť (každý prvok cieľovej množiny má najviac jeden vzor), surjektívnosť (aspoň jeden vzor) a bijektívnosť ako ich spojenie. Tieto pojmy sa neskôr využijú pri porovnávaní kardinalít množín.

• - Zobrazenie z A do B je podmnožina kartézskeho súčinu A×B, kde ku každému a z A existuje práve jedno b z B.
• - Graf funkcie z R do R je zobrazenie, ak každá zvislá priamka pretne graf práve v jednom bode.
• - Zobrazenie si možno predstaviť ako šípky z každého prvku A do nejakého prvku B.
• - Zloženie g∘f je definované, ak sa obor hodnôt f zhoduje s definičným oborom g: (g∘f)(x) = g(f(x)).
• - Injektívne zobrazenie: rôzne prvky majú rôzne obrazy, teda f(x)=f(y) implikuje x=y.
• - Surjektívne zobrazenie: každý prvok cieľovej množiny má aspoň jeden vzor.
• - Bijektívne zobrazenie je súčasne injektívne a surjektívne; využije sa pri definovaní rovnakej kardinality množín.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.