UKTG Prednáška 6. týždeň

Zhrnutie prednášky

Prednáška najprv zopakuje kombinácie bez opakovania a ukáže, že kombinačné číslo vznikne z počtu variácií n·(n-1)·…·(n-k+1) vydelením k!, keďže každú k-prvkovú podmnožinu variácie započítavajú k!-krát. Formálne to zdôvodňuje relácia ekvivalencie, ktorá variácie rozdelí na triedy s rovnakým počtom prvkov. Hlavnou témou sú kombinácie s opakovaním, kde takýto postup nefunguje, pretože jednotlivé možnosti sa započítavajú rôzne veľakrát (napr. AAAA raz, AAAB štyrikrát). Kombinácie s opakovaním sa preto definujú ako triedy ekvivalencie na variáciách s opakovaním, teda zobrazeniach z {1,…,k} do množiny A. Dve zobrazenia f a g sú ekvivalentné, ak sa každý prvok z A vyskytuje v oboch rovnako veľakrát, čo sa zapíše pomocou mohutnosti vzoru |f⁻¹({x})| = |g⁻¹({x})|.

• - Kombinačné číslo vyjadruje počet k-prvkových podmnožín n-prvkovej množiny.
• - Počet variácií bez opakovania n·(n-1)·…·(n-k+1) sa delí k!, lebo každá podmnožina sa započíta k!-krát.
• - Zoskupenie rovnakých možností sa formalizuje reláciou ekvivalencie a jej triedami.
• - Pri kombináciách s opakovaním sa možnosti započítavajú rôzny počet krát, takže jednoduché delenie nefunguje.
• - Variácie s opakovaním sú zobrazenia z množiny {1,…,k} do množiny A.
• - Zobrazenia f a g sú ekvivalentné, ak sa každý prvok z A vyskytuje v oboch rovnako veľakrát: |f⁻¹({x})| = |g⁻¹({x})|.
• - Kombinácia s opakovaním je trieda ekvivalencie týchto zobrazení.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.