UKTG Prednáška 7. týždeň

Zhrnutie prednášky

Prednáška rozširuje tému permutácií s opakovaním o ich interpretáciu cez zobrazenia: počet zobrazení z n-prvkovej množiny A do k-prvkovej množiny B, pri ktorých sa na každý prvok b_i zobrazí presne n_i prvkov, je n!/(n_1!·n_2!·…·n_k!). Dôkaz priraďuje zobrazeniam permutácie prvkov A, pričom každé zobrazenie vznikne práve n_1!·…·n_k! krát, preto sa počet permutácií n! delí týmto súčinom. Ako aplikácia sa odvodzuje polynomická (multinomická) veta o rozvoji (x_1 + … + x_k)^n na súčet monómov, kde koeficient každého monómu zodpovedá počtu permutácií s opakovaním. Tento koeficient sa nazýva polynomický koeficient a je zovšeobecnením kombinačného čísla. Pre k = 2 veta prechádza na binomickú vetu.

• - Počet zobrazení A → B s predpísanými počtami n_i prvkov zobrazených na b_i je n!/(n_1!·…·n_k!).
• - Dôkaz: každej permutácii prvkov A sa priradí zobrazenie (prvých n_1 prvkov na b_1, ďalších n_2 na b_2 atď.).
• - Každé zobrazenie vznikne n_1!·n_2!·…·n_k! krát, preto sa n! delí týmto súčinom.
• - Polynomická veta (3.19 v skriptách): (x_1 + … + x_k)^n je súčet cez všetky k-tice n_1,…,n_k so súčtom n z členov (n!/(n_1!…n_k!))·x_1^{n_1}…x_k^{n_k}.
• - Koeficient pri monóme udáva, koľkými spôsobmi možno z n zátvoriek vybrať x_i presne n_i-krát.
• - Výraz n!/(n_1!…n_k!) sa nazýva polynomický koeficient a zovšeobecňuje kombinačné číslo.
• - Pre k = 2 sa polynomický koeficient zhoduje s kombinačným číslom C(n, n_1) a veta so sa mení na binomickú vetu.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.