Cauchyho rozdelenie pravdepodobnosti - doplnková prednáška z PaŠ

Zhrnutie prednášky

Doplnková prednáška predstavuje Cauchyho rozdelenie ako špeciálny typ spojitého rozdelenia s hustotou f(x) = 1/(π(1+x²)), ktorej graf pripomína Gaussovu krivku, no líši sa najmä správaním chvostov. Odvodzuje sa distribučná funkcia F(x) = (1/π)·arctg(x) + 1/2 a kvantilová funkcia tg(π(y − 1/2)), ktorá cez vetu o inverznej transformácii umožňuje generovať realizácie z rovnomerného rozdelenia. Medián je 0 vďaka symetrii, no stredná hodnota neexistuje, pretože integrál z x·f(x) diverguje (hustota klesá len tempom 1/x²). Z toho vyplýva, že neexistuje ani rozptyl a vyššie momenty a rozdelenie má ťažké chvosty. Vlastnosti sa majú ukázať aj Monte Carlo simuláciou v R.

• - Hustota štandardného Cauchyho rozdelenia je f(x) = 1/(π(1+x²)) a plocha pod ňou je 1.
• - Distribučná funkcia je F(x) = (1/π)·arctg(x) + 1/2.
• - Kvantilová funkcia tg(π(y − 1/2)) umožňuje generovanie pomocou inverznej transformácie z rovnomerného rozdelenia.
• - Medián je 0, rozdelenie je symetrické.
• - Stredná hodnota neexistuje, lebo integrál z x·f(x) je nekonečný.
• - Bez strednej hodnoty neexistuje rozptyl ani vyššie momenty.
• - Rozdelenie má ťažké chvosty: pravdepodobnosť veľkých hodnôt klesá k nule pomaly.
• - Pomenovanie podľa Cauchyho je historicky nepresné, ako prvý o ňom publikoval Poisson.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.