Domáca úloha 4 a 5-zadanie

4. a 5. domáca úloha

z predmetu Diskrétna matematika

Túto domácu úlohu treba odovzda´ 12.12.2006 na predná˛ke. Na svoje rie˛enie vidite©ne

napí˛te va˛e meno, krúşok a cviŁiaceho.

1 (3 body) Sútaşia dve gymnastické druşstvá s rovnakým poŁtom pretekárov. Kaşdý

pretekár dostal 8 alebo 9 bodov. Suma bodov, ktoré dostali spolu v˛etci pretekári je 156.

Kolko bolo pretekárov?

2 (4 body) Dokáşte, şe ak máme v rovine pät rôznych bodov P

i

s celoŁíselnými súrad-

nicami (x

i, yi)

, i = 1,2,...,5, tak pre aspo¬ jednu dvojicu bodov P

i

a P

j

, i 6= j, aj stred

úseŁky P

iPj

, teda bod (xi+xj

2

,

yi+yj

2

)

má celoŁíselné súradnice.

3 (4 body) V lietadle je n radov sedadiel, v kaşdom rade sú 3 sedadlá. Do lietadla

nastupuje n trpaslíkov, n obrov a n víl. Kolkými spôsobmi sa môşu rozsadit, ak v kaşdom

rade má z bezpecnostných dôvodov sediet jeden obor, jeden trpaslík a jedna víla? (Tr-

paslíci, obri aj víly sú rozlí˛itelní a dve rozsadenia povaşujeme za rôzne, aj ked sa lí˛ia iba

presadením bytostí v jednom rade.)

4 (4 body) Ko©kými spôsobmi môşeme na ˛achovnici rozloşi´ osem veşí tak, aby sa

vzájomne neohrozovali? Predpokladáme, şe veşe sú navzájom rozlí˛ite©ne, t.j. dve ro-

zostavenia lí˛iace sa iba vymenením veşí pokladáme za rôzne. (’achovnica má 8×8 políŁok

a dve veşe sa ohrozujú ak sú na rovnakom riadku alebo rovnakom st¨pci.)

Svoje rie˛enie zdôvodnite.

5 (4 body) Dokáşte identitu:

µ

3n

3

¶

= 3

µ

n

3

¶

+ 6n

µ

n

2

¶

+ n3

6 (3 body) Nájdite v˛etky usporiadania 4-prvkovej mnoşiny, ktoré majú najmen˛í prvok.

StaŁí uvies´ iba Hasseho diagramy týchto usporiadaní, priŁom usporiadania lí˛iace sa iba

zámenou prvkov povaşujeme za rovnaké.