LaG | Systémy lineárnych rpovníc verzus lineáne zorbazenia, homogénne systémy | prednáška 25

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 1 otvára záverečnú kapitolu Systémy lineárnych rovníc 2, v ktorej sa ukazuje priamy súvis medzi systémami lineárnych rovníc, maticami a lineárnymi zobrazeniami ako tromi pohľadmi na tú istú vec. Zavádza maticový zápis systému M rovníc o N neznámych: maticu koeficientov A typu M×N, stĺpcový vektor pravých strán B a formálny stĺpcový vektor neznámych X, pričom definuje maticový zápis systému ako rovnicu AX=B a vysvetľuje, prečo súčin AX skutočne zodpovedá pôvodným ľavým stranám rovníc.

• Systém M lineárnych rovníc o N neznámych nad poľom F sa dá zapísať pomocou troch matíc: A (M×N, koeficienty), X (N×1, formálne neznáme) a B (M×1, pravé strany)
• Maticový zápis systému S (definícia 8.1): S = (AX=B)
• Vektor pravých strán B vznikne transponovaním riadkového vektora b (b1,...,bM) na stĺpec
• Formálny vektor neznámych X vznikne transponovaním riadkového vektora x (x1,...,xN) na stĺpec
• Súčin AX má zmysel, lebo počet stĺpcov A (N) sa rovná počtu riadkov X (N), výsledkom je matica typu M×1
• i-ty riadok súčinu AX zodpovedá i-tej rovnici pôvodného systému: a_i1 x1 + ... + a_iN xN
• Cieľ kapitoly: previesť riešenie systémov na jazyk lineárnych zobrazení a využiť to na odvodenie nových výsledkov o systémoch (napr. o homogénnych systémoch)

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.