Lineárna algebra a geometria | Veta o izomorfizme | prednáška 10

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 1 dokončuje konštrukciu faktorovej grupy G/H pre podgrupu H komutatívnej grupy G, definuje homomorfizmus p:G→G/H a ukazuje, že triedy ekvivalencie majú tvar x+H, pričom trieda neutrálneho prvku je práve H. Prednášajúci ďalej dokazuje, že všetky triedy ekvivalencie majú rovnakú mohutnosť pomocou explicitnej bijekcie, z čoho pre konečné grupy odvodzuje vzťah n = k·m medzi počtom prvkov grupy G, počtom tried ekvivalencie k a veľkosťou podgrupy H.

• Faktorová grupa G/H (quotient group) sa definuje pomocou relácie ekvivalencie x~y práve vtedy, keď x-y je z H
• Trieda ekvivalencie prvku x má tvar x+H = {x+h : h z H}
• Trieda ekvivalencie neutrálneho prvku 0 sa rovná priamo podgrupe H
• Medzi ľubovoľnými dvoma triedami ekvivalencie x+H a y+H existuje bijekcia daná predpisom a ↦ a+(y-x)
• Z bijekcie vyplýva, že všetky triedy ekvivalencie majú rovnaký počet prvkov ako H
• Pre konečnú grupu G s |H|=m a k triedami ekvivalencie platí |G| = n = k·m
• Tento počítací argument je základom pre neskoršiu vetu o deliteľnosti rádu podgrupy rádom grupy
• Homomorfizmus p:G→G/H priraďuje každému prvku grupy G jeho triedu ekvivalencie

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.