LaG | Nehomogénne systémy, veta o množine riešení nehomogénnych systémov, zhrnutie | prednáška 26

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 1 nadväzuje na maticový zápis systémov AX=B tým, že spája množinu riešení so vzorom vektora B v lineárnom zobrazení asociovanom s transponovanou maticou A. Pripomína, že pre homogénny systém AX=0 je množina riešení R_H vektorovým podpriestorom s dimenziou N mínus hodnosť A, a následne dokazuje dôsledok - že hodnosť matice sa rovná hodnosti jej transponovanej matice - pomocou vety o izomorfizme pre lineárne zobrazenia.

• Množina riešení systému S: AX=B je vzorom vektora B v zobrazení F_A^T (asociovanom s transponovanou maticou), F_A^T: F^N -> F^M
• Pre homogénny systém H: AX=0 je množina riešení R_H vektorový podpriestor F^N s dimenziou N - hodnosť(A) (veta 8.4)
• Riadkový priestor S_A matice A je totožný s obrazom (imidžom) zobrazenia F_A, teda hodnosť A = dim(im F_A)
• Dôsledok: hodnosť matice A sa rovná hodnosti transponovanej matice A^T (na prvý pohľad prekvapivé tvrdenie, keďže riadky a stĺpce spolu na prvý pohľad nesúvisia)
• Dôkaz využíva R_H = jadro(F_A^T) a vetu o izomorfizme: F^N / ker(F_A^T) je izomorfné s im(F_A^T)
• Z izomorfizmu vyplýva dim(im F_A^T) = N - dim(ker F_A^T) = N - dim(R_H) = hodnosť(A)
• Keďže hodnosť(A^T) = dim(im F_A^T), záver je hodnosť(A) = hodnosť(A^T)

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.