Lineárna algebra a geometria | Lineárne zobrazenia | prednáška 21

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 1 otvára kapitolu o lineárnych zobrazeniach medzi vektorovými priestormi nad spoločným poľom F, pričom stavia paralelu s homomorfizmami grúp preberanými skôr v semestri. Definuje lineárne zobrazenie ako zobrazenie, ktoré zachováva lineárne kombinácie vektorov, a vysvetľuje, že ide o reštrikciu na všeobecné zobrazenia množín, analogickú homomorfizmu grúp. Ukazuje sa tiež, že takéto zobrazenie je zároveň homomorfizmom abelovských grúp (V,+) a špeciálnou voľbou koeficientov sa odvodzujú vlastnosti aditívnosti a homogenity.

• Lineárne zobrazenie f z V do V2 (nad rovnakým poľom F) spĺňa f(αx+βy) = αf(x)+βf(y) pre všetky x,y z V a α,β z F
• Lineárne zobrazenie sa nazýva aj homomorfizmus vektorových priestorov - ide o synonymá
• Nie každé zobrazenie množín medzi vektorovými priestormi je lineárne - je to reštrikcia analogická homomorfizmu grúp
• Cieľom kapitoly je vybudovať pre lineárne zobrazenia teóriu analogickú tej pre homomorfizmy grúp (injektívnosť, surjektívnosť, veta o izomorfizme)
• Voľbou α=β=1 vyplýva f(x+y)=f(x)+f(y), teda f je homomorfizmus abelovskej grupy (V,+)
• Voľbou β=0 vyplýva f(αx)=αf(x), čiže kompatibilita so skalárnym násobením
• Lineárne zobrazenie je jednoznačne určené obrazmi vektorov, na ktorých je zadané - hodnota na lineárnej kombinácii je vynútená

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.