Lineárna algebra a geometria | Monomorfizmy , epimorfizmy a izomorfizmy | prednáška 08

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 1 skúma, ako sa homomorfizmy grúp správajú vzhľadom na podgrupy - obraz podgrupy je podgrupa a vzor podgrupy je tiež podgrupa. Prednášajúci rozoberá štyri špeciálne prípady (triviálna podgrupa, celá grupa) a na príkladoch (f_m(x)=mx na Z, redukcia modulo M, lineárne zobrazenie G_{k,l}:R→R²) ukazuje, že vzor triviálnej podgrupy (jadro) nemusí byť triviálny, čo súvisí s injektivitou zobrazenia.

• Ak S je podgrupa G a f homomorfizmus, obraz f(S) je podgrupa H
• Ak T je podgrupa H, vzor f⁻¹(T) je podgrupa G
• Obraz celej grupy G, teda f(G) (imidž homomorfizmu), je vždy podgrupa H
• Vzor triviálnej podgrupy {1H} môže byť netriviálna podgrupa G, na rozdiel od obrazu triviálnej podgrupy, ktorý je vždy triviálny
• Príklad f_m: Z→Z, x↦mx je homomorfizmus, f(kZ)=mkZ, f⁻¹(mlZ)=lZ
• Príklad Q_M(x) = zvyšok po delení x číslom M je homomorfizmus Z→Z modulo M, jeho vzor triviálnej podgrupy je MZ
• Príklad G_{k,l}(x) = (kx,ly): R→R² zobrazuje reálnu os na priamku prechádzajúcu bodom (k,l) a počiatkom
• Vzor triviálnej podgrupy pri lineárnom zobrazení G_{k,l} je iba nulový prvok, keďže priamka pretína počiatok len v bode 0

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.