LaG | Súradnice vektora vzhľadom na danú bázu, nekonečno-rozmerný priestor, priamy súčet | pred 18

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 1 zavádza pojem súradníc vektora vzhľadom na danú bázu ako jednoznačných koeficientov lineárnej kombinácie vyplývajúcich z vety o existencii a jednoznačnosti vyjadrenia vektora v konečne generovanom vektorovom priestore. Ukazuje sa, že hľadanie súradníc vektora vzhľadom na všeobecnú bázu vedie na riešenie sústavy lineárnych rovníc, čo sa demonštruje na konkrétnom príklade v R² s bázou A1=(1,1), A2=(-1,1) pre vektor (5,3). Prednáška naznačuje, že vzťah medzi súradnicami toho istého vektora v rôznych bázach je zaujímavá otázka, ktorej sa bude venovať pozornosť neskôr v štúdiu.

• Definícia súradníc vektora x vzhľadom na bázu (A1,...,An): koeficienty α1 až αn jednoznačnej lineárnej kombinácie x=Σαi·Ai
• Súradnice sa zapisujú ako n-tica, niekedy značená [x]_A na zdôraznenie vzhľadom na ktorú bázu sú udané
• Ten istý vektor má vzhľadom na rôzne bázy a priori rôzne súradnice (napr. α oproti β pre inú bázu)
• Hľadanie súradníc vektora v F^n vzhľadom na všeobecnú bázu vedie na sústavu n lineárnych rovníc o n neznámych, kde koeficienty sústavy sú súradnice bázových vektorov v štandardnej báze
• Príklad v R²: štandardná báza E1=(1,0), E2=(0,1) a alternatívna báza A1=(1,1), A2=(-1,1)
• Pre vektor X=(5,3) vychádzajú súradnice vzhľadom na bázu A: α1=4, α2=-1, teda X=4A1-A2, overené graficky
• Dôraz na potrebu skúšky správnosti výpočtu súradníc a náznak, že vzťah medzi súradnicami v rôznych bázach (zmena bázy) bude podrobnejšie preberaný neskôr

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.