Lineárna algebra a geometria | Faktorové grupy | prednáška 09

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 1 motivuje zavedenie faktorových grúp ako opačného procesu ku konštrukcii jadra homomorfizmu - z podgrupy H komutatívnej grupy G sa má skonštruovať grupa G/H a homomorfizmus f:G→G/H tak, aby H bolo jeho jadrom. Na tento účel prednášajúci zavádza pojem relácie na množine a relácie ekvivalencie s vlastnosťami reflexivity, symetrickosti a tranzitívnosti, ilustrovaných na príkladoch vzťahov medzi ľuďmi (otec-syn, súrodenci).

• Jadro homomorfizmu f:G→K je podgrupa G, pomocou ktorej možno testovať injektivitu f (f je injektívny práve vtedy, keď jadro je triviálne)
• Cieľ: z podgrupy H komutatívnej grupy G skonštruovať faktorovú grupu G/H a homomorfizmus f s jadrom H
• Relácia R na neprázdnej množine M je ľubovoľná podmnožina karteziánskeho súčinu M×M
• Reflexivita relácie: pre každé x z M platí (x,x) je v R
• Symetrickosť relácie: ak (x,y) je v R, tak aj (y,x) je v R (príklad: vzťah súrodencov)
• Tranzitívnosť relácie: ak (x,y) a (y,z) sú v R, tak aj (x,z) je v R
• Vzťah otec-syn je príkladom relácie, ktorá nie je ani symetrická, ani tranzitívna
• Relácia ekvivalencie je relácia, ktorá je súčasne reflexívna, symetrická aj tranzitívna

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.