Lineárna algebra a geometria (2) - Metóda najmenších štvorcov, vektorový a zmiešaný súčin | pred 17

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 2 nadväzuje na afinno-euklidovské priestory a pripomína výpočet vzdialenosti bodu od afinného podpriestoru pomocou kolmého priemetu. Ťažiskovou témou je metóda najmenších štvorcov ako spôsob hľadania približného riešenia neriešiteľného systému lineárnych rovníc Ax = b. Ukazuje sa, že ak vektor b nie je v obraze zobrazenia F_{A^T}, možno ho nahradiť jeho kolmým priemetom do tohto obrazu a riešenia takto upraveného systému potom minimalizujú vzdialenosť Ax od b.

• Vzdialenosť bodu P od afinného podpriestoru alfa sa počíta pomocou kolmého priemetu bodu do podpriestoru
• Množina riešení systému Ax=b je vzor bodu b^T pri lineárnom zobrazení F_{A^T}(x)=xA^T
• Systém má riešenie práve vtedy, keď b^T patrí do obrazu (image) zobrazenia F_{A^T}
• Metóda najmenších štvorcov hľadá približné riešenie neriešiteľného systému nahradením b jeho kolmým priemetom do obrazu F_{A^T}
• Riešenia upraveného systému (s kolmým priemetom namiesto b) minimalizujú vzdialenosť ||Ax-b|| medzi ľubovoľným Ax a b
• Kolmý priemet vektora sa počíta pomocou matice projekcie
• Motivácia: keď presné riešenie sústavy neexistuje, hľadá sa aspoň najbližšie priblíženie k nemu

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.