Lineárna algebra a geometria (2) - Determinanty | prvá prednáška

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 2 nadväzuje na zimný semester a najprv zhŕňa vzťah medzi tromi pohľadmi na tú istú vec – systémami lineárnych rovníc, maticami a lineárnymi zobrazeniami – ako úvod pred plánovanou témou determinantov. Vysvetľuje sa maticový zápis Ax=b, rozšírená matica systému a spôsob, ako opísať množinu riešení pomocou vzoru a jadra lineárneho zobrazenia asociovaného s transponovanou maticou. Pripomína sa kritérium riešiteľnosti sústavy pomocou hodnosti matice a rozšírenej matice, počítanej cez redukovaný stupňovitý tvar.

• Systémy lineárnych rovníc, matice a lineárne zobrazenia sú tri ekvivalentné pohľady na tú istú štruktúru
• Maticový zápis nehomogénneho systému: A·x = b, kde A je matica systému a (A|b) rozšírená matica systému
• Transponovaním matice A vzniká lineárne zobrazenie F z F^n do F^m dané predpisom F(x) = x·A^T
• Množina riešení R_n nehomogénneho systému je vzor vektora b pri tomto lineárnom zobrazení
• Množina riešení R_h homogénneho systému (b=0) je jadro daného zobrazenia, teda vektorový podpriestor
• Sústava má riešenie práve vtedy, keď hodnosť matice A sa rovná hodnosti rozšírenej matice (A|b)
• Hodnosť matice sa určuje úpravou na redukovaný stupňovitý tvar ako počet nenulových riadkov

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.