Lineárna algebra a geometria (2) - Gramov-Schmidtov ortogonalizačný proces | prednáška 06

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 2 je šiestou prednáškou a zhŕňa doterajšiu teóriu euklidovských vektorových priestorov – definíciu dĺžky vektora pomocou skalárneho súčinu, Cauchyho-Schwarzovu nerovnosť, trojuholníkovú nerovnosť a definíciu uhla a kolmosti cez kosínusový vzorec. Na príkladoch v R^n sa ukazuje kolmosť štandardnej bázy a explicitná konštrukcia kolmého vektora v R2 a v párnorozmerných priestoroch, a dokazuje sa veta, že navzájom kolmé nenulové vektory sú lineárne nezávislé.

• Dĺžka vektora sa definuje ako odmocnina zo skalárneho súčinu vektora so sebou samým, čo je vždy dobre definované vďaka pozitívnej definitnosti
• Cauchyho-Schwarzova nerovnosť: absolútna hodnota skalárneho súčinu x a y je menšia rovná súčinu dĺžok, z nej sa odvodzuje trojuholníková nerovnosť dĺžka(x+y) <= dĺžka(x) + dĺžka(y)
• Uhol vektorov x,y sa definuje ako alfa, pre ktoré kosínus alfa = skalárny súčin x,y lomeno súčin dĺžok x a y
• Kolmosť je špeciálny prípad uhla alfa = pi/2, teda x je kolmé na y práve vtedy, keď skalárny súčin x,y je nula
• Štandardná báza e1 až en v R^n so štandardným skalárnym súčinom je navzájom kolmá, skalárny súčin ei a ej je nula pre i rôzne od j
• Ku vektoru (x1,x2) v R2 možno zostrojiť naň kolmý vektor (-x2,x1); zovšeobecnenie na párnu dimenziu sa robí prehadzovaním dvojíc súradníc so striedavými znamienkami
• Anglická terminológia: scalar product alebo inner product, dot product pre štandardný skalárny súčin, length alebo norm, angle
• Veta: nenulové navzájom kolmé vektory a1 až an sú lineárne nezávislé, čiže ortogonalita implikuje lineárnu nezávislosť

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.