Lineárna algebra a geometria (2) - Zovšeobecnený vlastný podpriestor | prednáška 22

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 2 nadväzuje na rozklad vektorového priestoru na invariantné podpriestory pomocou minimálneho polynómu a zavádza pojem zovšeobecneného vlastného vektora. Ukazuje, že ak sa minimálny polynóm lineárnej transformácie rozkladá na lineárne členy, priestor V sa rozkladá na direktný súčet zovšeobecnených vlastných podpriestorov prislúchajúcich jednotlivým vlastným hodnotám. Zovšeobecnený vlastný vektor je definovaný ako vektor, ktorý sa nuluje po nejakej mocnine zobrazenia F mínus lambda-násobok identity, čím rozširuje klasický pojem vlastného vektora.

• Ak sa minimálny polynóm rozkladá na lineárne členy (T-lambda_1)^k1 ... (T-lambda_m)^km, priestor V sa rozkladá na direktný súčet invariantných podpriestorov
• Nad komplexnými číslami sa každý polynóm (teda aj minimálny) vždy dá takto rozložiť, nad reálnymi číslami to neplatí vždy
• Zúženie F na podpriestor V_{lambda_i} má minimálny polynóm tvaru (T-lambda_i)^{k_i}
• Vlastný vektor x prislúchajúci lambda spĺňa (F - lambda krát identita)(x) = 0, teda patrí do jadra zobrazenia F mínus lambda-násobok identity
• Zovšeobecnený vlastný vektor je definovaný ako x, pre ktorý existuje k väčšie rovné 1 také, že (F-lambda)^k(x) = 0
• Zovšeobecnená vlastná množina V_F(lambda) je zjednotenie jadier všetkých mocnín (F-lambda)^k pre k>=1
• Každý klasický vlastný vektor je špeciálnym prípadom (k=1) zovšeobecneného vlastného vektora

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.