LaG (2) - Kanonický tvar kvadratickej formy, Sylvestrov zákon zotrvačnosti | prednáška 24

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 2 otvára kapitolu o kvadratických formách a rieši otázku ich čo najjednoduchšieho vyjadrenia po zmene premenných. Zavádza reláciu kongruencie matíc (odlišnú od podobnosti) ako nástroj na porovnávanie matíc tej istej kvadratickej formy vzhľadom na rôzne bázy. Vrcholom je veta o kanonickom tvare kvadratickej formy, podľa ktorej je každá kvadratická forma kongruentná s diagonálnou maticou obsahujúcou len jednotky, mínus jednotky a nuly na diagonále.

• Kvadratická forma Q(x) = x krát A krát x^T sa vždy dá vyjadriť pomocou symetrickej matice S, teda Q(x) = x krát S krát x^T
• Zmena premenných y = x krát P (P je regulárna matica prechodu) transformuje maticu S na novú symetrickú maticu R = Q krát S krát Q^T, kde Q = P^{-1}
• Definuje sa relácia kongruencie matíc: A je kongruentná s B, ak existuje regulárna matica Q taká, že B = Q krát A krát Q^T
• Kongruencia (na rozdiel od podobnosti B=QAQ^{-1}) zodpovedá tej istej kvadratickej forme vzhľadom na rôzne bázy
• Kongruentné matice symetrickej matice sú opäť symetrické
• Veta 14.4 (kanonický tvar kvadratickej formy): každú kvadratickú formu možno previesť na diagonálny tvar s jednotkami, mínus jednotkami a nulami na diagonále v tomto poradí
• Počet jednotiek sa označuje k, celkový počet nenulových prvkov (jednotky a mínus jednotky) sa označuje s, pričom platí k <= s <= n

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.