Lineárna algebra a geometria (2) - Vzdialenosť afinných podpriestorov | prednáška 16

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Lineárnej algebry a geometrie 2 nadväzuje na vetu o kolmom priemete bodu do afinného podpriestoru a ukazuje jej konštruktívny geometrický dôkaz, kde kolmý priemet bodu A do k-rozmerného podpriestoru α sa získa ortogonálnou projekciou vektora AB pre pomocný bod B z α na ortogonálny doplnok vektorovej zložky α a následným prenesením výsledného vektora do bodu A. Druhá časť prednášky zavádza pojem vzdialenosti dvoch afinných podpriestorov, definícia 12.14, ako infimum vzdialeností všetkých dvojíc bodov, z ktorých jeden patrí do prvého a druhý do druhého podpriestoru.

• Veta o kolmom priemete: pre bod A a k-rozmerný afinný podpriestor α v n-rozmernom priestore existuje jediný (n-k)-rozmerný podpriestor kolmý na α prechádzajúci bodom A, ich prienik je jediný bod A⊥_α
• Konštrukcia: zvolí sa pomocný bod B z α, vypočíta sa vektor AB a jeho ortogonálna projekcia U na ortogonálny doplnok V_α⊥
• Kolmý priemet A⊥_α sa získa prenesením vektora U do bodu A, respektíve odčítaním zvyšnej zložky od bodu B
• Rozklad vektora AB na ortogonálne zložky vo V_α a V_α⊥ zodpovedá pravouhlému trojuholníku s vrcholmi A, B a A⊥_α
• Vzdialenosť bodu od afinného podpriestoru zodpovedá dĺžke vektora medzi bodom a jeho kolmým priemetom
• Definícia 12.14: vzdialenosť dvoch afinných podpriestorov α, β je infimum množiny vzdialeností d(X,Y) cez všetky body X z α a Y z β
• Táto definícia zahŕňa ako špeciálny prípad aj vzdialenosť bodov, teda nularozmerných afinných podpriestorov
• Postup pomocou ortogonálnej projekcie a Gram-Schmidtovho procesu umožňuje reálne vypočítať vzdialenosť bodu od k-rozmerného podpriestoru v ľubovoľnej dimenzii

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.