104. Nutná podmienka existencie primitívnej funkcie

Zhrnutie prednášky

Prednáška dokazuje nutnú podmienku existencie primitívnej funkcie: ak má funkcia f na intervale I primitívnu funkciu F, musí mať na tomto intervale Darbouxovu vlastnosť, teda nadobúdať každú hodnotu medzi svojimi dvoma funkčnými hodnotami. Dôkaz sa vedie pre body a < b s f(a) < h < f(b) a zavedie sa pomocná funkcia g(x) = F(x) − h·x. Táto funkcia je diferencovateľná, teda spojitá, a na kompakte nadobúda minimum. Keďže g'(a) < 0 a g'(b) > 0, minimum nemôže ležať v krajných bodoch, nadobúda sa vo vnútornom bode c, kde podľa Fermatovej vety g'(c) = 0, čiže f(c) = h.

• - Ak má f na intervale primitívnu funkciu F, má f na tomto intervale Darbouxovu vlastnosť.
• - Dôkaz sa robí bez ujmy na všeobecnosti pre f(a) < h < f(b), kde a < b.
• - Pomocná funkcia g(x) = F(x) − h·x je diferencovateľná, a teda spojitá, s deriváciou g'(x) = f(x) − h.
• - Spojitá funkcia na kompakte nadobúda minimum; keďže g'(a) < 0 a g'(b) > 0, nie je v krajných bodoch.
• - Minimum sa nadobúda vo vnútornom bode c, kde podľa Fermatovej vety platí g'(c) = 0.
• - Z g'(c) = 0 vyplýva f(c) = h, čím je tvrdenie dokázané.
• - Postačujúca podmienka z minulej prednášky: každá spojitá funkcia má primitívnu funkciu.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.