Matematická Analýza 2 - Parciálne Zlomky a Integrovanie Racionálnych Funkcií | Prednáška 6 (Kubáček)

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza racionálnu funkciu ako podiel dvoch polynómov a ryzo-racionálnu funkciu, pri ktorej je stupeň čitateľa nižší ako stupeň menovateľa, pričom každú racionálnu funkciu možno zapísať ako súčet polynómu a ryzo-racionálnej funkcie. Kľúčovým nástrojom je rozklad menovateľa na súčin lineárnych činiteľov a ireducibilných kvadratických polynómov a následný rozpis ryzo-racionálnej funkcie na súčet parciálnych zlomkov typu A/(x-a)^n a (Bx+C)/(x²+px+q)^n, pričom neznáme koeficienty sa určujú metódou porovnávania koeficientov po prevedení na spoločného menovateľa, zjednodušenou dosadzovaním koreňov menovateľa. Ďalej sa ukazuje, ako každý typ parciálneho zlomku zintegrovať: logaritmický vzorec pre n=1, mocninový vzorec pre n>1, doplnenie na štvorec a substitúcia vedúca na arkustangens pre kvadratický menovateľ s n=1, a rekurentný vzťah získaný metódou per partes pre kvadratický menovateľ s vyššou mocninou. Na záver je naznačená substitúcia t = tg(x/2), ktorá prevádza integrály racionálnych funkcií sínusu a kosínusu na integrály racionálnych funkcií jednej premennej.

• Racionálna a ryzo-racionálna funkcia
• Rozklad polynómu na lineárne a ireducibilné kvadratické činitele
• Parciálne zlomky a ich typy
• Metóda neurčitých (porovnávaných) koeficientov
• Integrovanie zlomkov typu A lomeno (x-a)^n
• Integrovanie zlomkov s ireducibilným kvadratickým menovateľom a substitúcia na arkustangens
• Rekurentný vzorec pomocou metódy per partes
• Substitúcia tangens x/2 pre integrovanie racionálnych funkcií sínusu a kosínusu

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.