Matematická Analýza 2 - Riemanov Integrál | Prednáška 7 ( Zbyněk Kubáček )

Zhrnutie prednášky

Prednáška z Matematickej analýzy 2 sa zaoberá výpočtom neurčitých integrálov racionálnych funkcií v sínuse a kosínuse pomocou univerzálnej trigonometrickej (Weierstrassovej) substitúcie t = tg(x/2). Prednášajúci zopakuje odvodenie vzťahov pre sin x, cos x a dx v premennej t, vysvetlí, prečo substitúcia platí korektne len na intervale (-π,π), a na konkrétnom príklade ∫dx/(sin x + cos x + 5) ukáže prevod na racionálnu funkciu, doplnenie na štvorec a použitie vzorca pre arkustangens. Napokon rieši rozšírenie výsledku z intervalu (-π,π) na celé R pomocou periodicity pôvodnej funkcie a vety o existencii primitívnej funkcie.

• Univerzálna (Weierstrassova) substitúcia t = tg(x/2) prevádza sin x = 2t/(1+t²), cos x = (1-t²)/(1+t²), dx = 2/(1+t²) dt
• Substitúcia je korektná len na intervale (-π,π), kde tg(x/2) je prostá funkcia s inverznou x = 2·arctg t
• Racionálna funkcia v sin x, cos x sa substitúciou prevedie na racionálnu funkciu v t, integrovateľnú rozkladom na parciálne zlomky
• Výpočet príkladu ∫dx/(sin x + cos x + 5) vedie po substitúcii na integrál dt/(2t²+t+3)
• Doplnením na štvorec a použitím vzorca ∫du/(u²+a²) = (1/a)·arctg(u/a) + C sa získa výsledok s odmocninou z 23
• Vzorec ∫du/(u²+a²) sa odvodzuje lineárnou substitúciou s = u/a zo základného ∫du/(1+u²) = arctg u
• Keďže sin x + cos x + 5 je 2π-periodická a definovaná na celom R, primitívna funkcia existuje na celom R
• Výsledok získaný na (-π,π) sa musí rozšíriť pomocou limít v krajných bodoch (napr. limita arkustangensu pri x→π) na celý definičný obor

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.