Matematická Analýza 2 - konvexnosť a konkávnosť | prednáška 1 (Zbyněk Kubáček)

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza pojem konvexnej a konkávnej funkcie najprv geometricky, cez polohu spojnice dvoch bodov grafu voči samotnému grafu, a následne tento pojem prepisuje algebraicky pomocou konvexnej kombinácie bodov px+qy. Definujú sa rýzo konvexné, konvexné, rýzo konkávne a konkávne funkcie a objasňuje sa rozdiel medzi rýzou a neostrou konvexnosťou analogicky k rozdielu medzi rastúcou a neklesajúcou funkciou. Pomocou Lagrangeovej vety o strednej hodnote sa dokazuje, že rastúca prvá derivácia implikuje rýzu konvexnosť funkcie, čo sa ďalej spresňuje na postačujúcu podmienku cez znamienko druhej derivácie. Zavádza sa pojem inflexného bodu ako bodu, v ktorom sa rýza konvexnosť mení na rýzu konkávnosť, pričom funkcia v ňom musí mať vlastnú alebo nevlastnú deriváciu a byť spojitá, a diskutujú sa hraničné príklady vrátane lineárnej funkcie a tretej odmocniny. Na záver sa pomocou vyšších derivácií odvodzujú postačujúce podmienky pre existenciu inflexného bodu, analogicky k podmienkam pre lokálne extrémy.

• Definícia konvexnej a konkávnej funkcie pomocou konvexnej kombinácie bodov
• Rýzo konvexná/konkávna verzus konvexná/konkávna funkcia
• Súvislosť konvexnosti s monotónnosťou prvej derivácie
• Dôkaz vety o konvexnosti pomocou Lagrangeovej vety o strednej hodnote
• Postačujúca podmienka konvexnosti cez znamienko druhej derivácie
• Spojitosť a existencia jednostranných derivácií konvexnej funkcie
• Definícia inflexného bodu a diskusia hraničných príkladov
• Postačujúce podmienky pre existenciu inflexného bodu pomocou vyšších derivácií

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.