254. Zámena limity, sumy a integrálu

Zhrnutie prednášky

Prednáška sa venuje zámene limity, sumy a integrálu pri rovnomernej konvergencii; dôkazy viet sa vynechávajú. Najprv sa uvádza zámena limity a sumy a protipríklad s funkciami f_n rovnými n na intervale (1/n, 2/n) a inak nulovými, kde limita integrálov je 1, ale integrál bodovej limity (nulovej funkcie) je 0, pretože konvergencia nie je rovnomerná. Veta 4 hovorí, že pri rovnomernej konvergencii možno zamieniť limitu a integrál, veta 5 analogicky sumu a integrál. Ako hlavný príklad sa pomocou zámeny sumy a integrálu dokazuje, že súčet x^n/n pre n od 1 do nekonečna je rovný -ln(1 - x) pre všetky x z intervalu (-1, 1), a to integrovaním geometrického radu t^(n-1).

• - Pri rovnomernej konvergencii možno zamieniť limitu a sumu.
• - Protipríklad: f_n = n na (1/n, 2/n), inak 0; limita integrálov je 1, no integrál bodovej limity je 0.
• - Zámena limity a integrálu zlyháva, ak konvergencia nie je rovnomerná.
• - Veta 4: pri rovnomernej konvergencii platí zámena limity a integrálu a limitná funkcia je integrovateľná.
• - Veta 5: pri rovnomerne konvergentnom rade možno zamieniť sumu a integrál.
• - Geometrický rad t^(n-1) konverguje rovnomerne na [-|x|, |x|] k 1/(1 - t).
• - Integrovaním od 0 po x vychádza súčet x^n/n = -ln(1 - x) pre x z (-1, 1).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.