110. Integrovanie racionálnych funkcií

Zhrnutie prednášky

Prednáška otvára tretiu časť kapitoly o metódach integrovania, ktorá sa venuje racionálnym funkciám. Definuje racionálnu funkciu ako podiel dvoch polynómov, rýdzo racionálnu funkciu (stupeň čitateľa je nižší ako stupeň menovateľa) a parciálne zlomky dvoch typov: A/(x−a)^n a (Bx+C)/(x²+px+q)^m, pričom kvadratický trojčlen nemá reálne korene (p² < 4q). Veta 4 tvrdí, že každý parciálny zlomok má primitívnu funkciu. Pre prvý typ vychádza pre n = 1 logaritmus, pre n ≥ 2 mocninový výraz po substitúcii t = x − a. Pri druhom type sa menovateľ upraví na úplný štvorec, substitúciou t = x + p/2 sa rozdelí integrál na dva, z ktorých prvý rieši substitúcia a druhý rekurentný vzorec z metódy per partes. Na záver sa avizuje veta 5 o rozklade každej rýdzo racionálnej funkcie na parciálne zlomky, ktorá sa dokáže pomocou viacerých pomocných lem.

• - Racionálna funkcia je podiel dvoch polynómov; rýdzo racionálna má stupeň čitateľa nižší ako stupeň menovateľa.
• - Parciálne zlomky majú tvar A/(x−a)^n alebo (Bx+C)/(x²+px+q)^m, kde p² < 4q a m, n sú prirodzené čísla.
• - Veta 4: každý parciálny zlomok má primitívnu funkciu.
• - Zlomok A/(x−a)^n: pre n = 1 je primitívnou funkciou A·ln|x−a|, pre n ≥ 2 sa použije substitúcia t = x − a a mocninový vzorec.
• - Zlomok s kvadratickým menovateľom: úprava na úplný štvorec, substitúcia t = x + p/2 a rozdelenie na dva integrály.
• - Prvý z dvoch integrálov sa rieši substitúciou s = t² + d², druhý rekurentným vzorcom z metódy per partes (príklad 8).
• - Veta 5: každú rýdzo racionálnu funkciu možno rozložiť na konečný súčet parciálnych zlomkov, čo zaručuje jej integrovateľnosť; dôkaz bude postupne cez pomocné lemy.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.