224. Porovnávacie kritérium

Zhrnutie prednášky

Rady s nezápornými členmi majú neklesajúcu postupnosť čiastočných súčtov, takže buď konvergujú k nezápornému reálnemu číslu, alebo divergujú do plus nekonečna. Porovnávacie kritérium hovorí, že ak od istého indexu platí a_n ≤ b_n, tak z konvergencie radu súčet b_n vyplýva konvergencia radu súčet a_n a z divergencie radu súčet a_n vyplýva divergencia radu súčet b_n. Dôkaz využíva, že konečný počet prvých členov nemá vplyv na konvergenciu, a porovnanie čiastočných súčtov s_n ≤ t_n spolu s vetou o monotónnej ohraničenej postupnosti a sendvičovou vetou. Ako príklad sa ukazuje konvergencia radu súčet 1/n² porovnaním (po preindexovaní) s teleskopickým radom súčet 1/(n(n+1)), ktorý má súčet 1. Z toho vyplýva odhad súčtu najviac 2, pričom presná hodnota π²/6 sa odvodí až neskôr pomocou Fourierových radov a Parsevalovej rovnosti.

• - Rad s nezápornými členmi má neklesajúcu postupnosť čiastočných súčtov, preto konverguje alebo diverguje do +∞.
• - Porovnávacie kritérium: ak a_n ≤ b_n od istého n_0, konvergencia radu b_n implikuje konvergenciu radu a_n.
• - Divergencia radu a_n implikuje divergenciu radu b_n.
• - Dôkaz: konečne veľa prvých členov neovplyvní konvergenciu, platí 0 ≤ s_n ≤ t_n a využije sa veta o monotónnej ohraničenej postupnosti a sendvičová veta.
• - Porovnávacie kritérium je najuniverzálnejšie, lebo sa dá použiť na akýkoľvek rad s nezápornými členmi.
• - Rad súčet 1/n² konverguje, lebo po preindexovaní je menší ako teleskopický rad súčet 1/(n(n+1)) so súčtom 1.
• - Súčet radu 1/n² je odhadnutý zhora číslom 2; presná hodnota π²/6 sa odvodí neskôr cez Parsevalovu rovnosť.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.