101. Primitívna funkcia

Zhrnutie prednášky

Prednáška definuje primitívnu funkciu F k funkcii f na otvorenej množine M ako funkciu, pre ktorú platí F'(x) = f(x) pre všetky x z M. Na uzavretých, polootvorených či neohraničených intervaloch sa v krajných bodoch požaduje jednostranná derivácia. Na príkladoch (x², 1/x) sa ukazuje, že primitívnych funkcií môže byť viac, napríklad x³/3 a x³/3 + 2021, alebo ln x a ln 3x. Množina všetkých primitívnych funkcií sa značí symbolom neurčitého integrálu, čo je značenie nie veľmi vhodné. Veta s dôkazom pomocou Lagrangeovej vety hovorí, že na intervale sa dve primitívne funkcie k tej istej funkcii líšia len o konštantu.

• - Primitívna funkcia F k f na otvorenej množine M spĺňa F'(x) = f(x) pre všetky x z M.
• - V krajných bodoch intervalu sa vyžaduje jednostranná derivácia.
• - K jednej funkcii existuje nekonečne veľa primitívnych funkcií, napríklad x³/3 a x³/3 + 2021 pre f(x) = x².
• - Množina všetkých primitívnych funkcií sa značí znakom integrálu ∫ f(x) dx, hoci nesúvisí s obsahom.
• - Na intervale sa dve primitívne funkcie k tej istej f líšia o konštantu: G(x) = F(x) + C.
• - Dôkaz používa funkciu H = G − F s nulovou deriváciou, ktorá je podľa Lagrangeovej vety konštantná.
• - Existencia primitívnej funkcie nie je zaručená vždy, ale každá spojitá funkcia ju má.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.