226. Riemannove rady

Zhrnutie prednášky

Prednáška dokazuje vetu o konvergencii Riemannových radov: rad súčtu 1/n^p pre n od 1 do nekonečna konverguje práve vtedy, keď p > 1. Dôkaz sa nerobí cez integrálne kritérium, keďže nevlastné integrály ešte nie sú zavedené. Pre p ≤ 1 platí 1/n ≤ 1/n^p, a preto z divergencie harmonického radu podľa porovnávacieho kritéria vyplýva divergencia aj Riemannovho radu. Pre p > 1 sa ukáže, že postupnosť čiastočných súčtov S_n je rastúca a zhora ohraničená. Súčet S_2n sa rozdelí na členy s párnymi a nepárnymi menovateľmi, nepárne sa odhadnú pomocou párnych a vznikne nerovnosť pre S_n s konštantným horným ohraničením, takže limita existuje a rad konverguje.

• - Riemannov rad súčtu 1/n^p konverguje práve vtedy, keď p > 1.
• - Dôkaz sa vedie bez integrálneho kritéria, lebo nevlastné integrály ešte nie sú definované.
• - Pre p ≤ 1 je 1/n ≤ 1/n^p, takže rad diverguje podľa porovnávacieho kritéria s harmonickým radom.
• - Pre p > 1 sú čiastočné súčty S_n rastúce, lebo všetky sčítance sú kladné.
• - Rozdelením S_2n na párne a nepárne menovatele a odhadom B_n < 1 + A_n vychádza S_2n < 1 + 2A_n, kde A_n = S_n / 2^p.
• - Z S_n < 1 + S_n / 2^(p-1) vyplýva S_n < 2^(p-1) / (2^(p-1) − 1), čo je konštanta nezávislá od n.
• - Rastúca a zhora ohraničená postupnosť má limitu, teda rad konverguje.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.