208. Linearita integrálu

Zhrnutie prednášky

Prednáška formuluje a dokazuje vetu o linearite určitého (Riemannovho) integrálu: ak sú funkcie f a g integrovateľné na intervale ⟨a,b⟩ a k je reálne číslo, sú integrovateľné aj f+g a k·f. Platí, že integrál súčtu je súčtom integrálov a konštantu možno vybrať pred integrál. Dôkaz aditívnosti ide cez definíciu limity Cauchyho integrálnych súčtov pri zjemňovaní delení. Pre dané ε sa nájdu delenia D_f a D_g s presnosťou ε/2, ich najmenšie spoločné zjemnenie D₀ vyhovuje obom odhadom a trojuholníková nerovnosť dá celkovú odchýlku menšiu než ε. Dôkaz časti s konštantou je ponechaný ako cvičenie. Na záver sa matematickou indukciou odvodzuje dôsledok o lineárnej kombinácii m integrovateľných funkcií.

• - Veta o linearite: ak sú f, g integrovateľné na ⟨a,b⟩ a k je reálne, sú integrovateľné aj f+g a k·f.
• - Platí ∫(f+g) = ∫f + ∫g a ∫(k·f) = k·∫f.
• - Cauchyho integrálny súčet funkcie f+g sa rozpadá na súčet integrálnych súčtov f a g pri tom istom delení a výbere bodov.
• - Pre ε/2 sa nájdu delenia D_f a D_g; ich najmenšie spoločné zjemnenie D₀ spĺňa oba odhady naraz.
• - Trojuholníková nerovnosť dá odchýlku súčtu od ∫f+∫g menšiu než ε, čo dokazuje limitu.
• - Pre konštantu k sa k vyberie pred súčet, takže dôkaz sa robí analogicky (cvičenie).
• - Dôsledok: integrál lineárnej kombinácie a₁f₁+…+aₘfₘ je lineárnou kombináciou integrálov, dôkaz indukciou.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.