233. Príklad na Raabeho kritérium

Zhrnutie prednášky

Príklad ukazuje, že rad s členmi a_n = n!·e^n / n^(n+2) nemožno rozhodnúť ani d'Alembertovým, ani Cauchyho kritériom, pretože v oboch vychádza limita 1. Po úprave podielu a_{n+1}/a_n na tvar (1 + 1/n)^(n+2) / e sa ukáže, že jeho limita je 1, a podľa vety o súvise kritérií je limita v Cauchyho kritériu tiež 1. Preto sa použije limitné Raabeho kritérium, kde sa po substitúcii x = 1/n a Maclaurinovom rozvoji ln(1+x) do druhého rádu vypočíta limita ako 3/2. Keďže 3/2 > 1, rad konverguje.

• - D'Alembertovo kritérium dáva pre rad n!·e^n / n^(n+2) limitu 1, takže je nerozhodujúce.
• - Ak vyjde limita 1 v d'Alembertovom kritériu, aj Cauchyho kritérium dá limitu 1 a tiež nerozhodne.
• - Podiel a_{n+1}/a_n sa upraví na (1 + 1/n)^(n+2) / e.
• - Raabeho kritérium sleduje limitu n·(a_n/a_{n+1} − 1).
• - Limita sa počíta substitúciou x = 1/n, prepisom na exponenciálnu funkciu a Maclaurinovým polynómom ln(1+x) = x − x²/2 + o(x²).
• - Výsledná limita je 3/2, teda väčšia ako 1, a podľa Raabeho kritéria rad konverguje.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.