220. Dĺžka krivky pomocou integrálu

Zhrnutie prednášky

Prednáška odvodzuje vzorec pre dĺžku jednoduchej hladkej krivky zadanej parametricky x = φ(t), y = ψ(t), t ∈ ⟨α, β⟩, pomocou Riemannovho integrálu. Najprv sa dokáže pomocná lema: pre reálne čísla A, B, C platí |√(A²+B²) − √(A²+C²)| ≤ |B − C|, a to pomocou Lagrangeovej vety o strednej hodnote a odhadu derivácie jednotkou. Hlavná veta tvrdí, že dĺžka krivky je integrál z √(φ′(t)² + ψ′(t)²) od α po β, pričom integrál existuje, lebo podintegrálna funkcia je spojitá. Dôkaz využíva, že dĺžka krivky je limita dĺžok lomených čiar pri zjemňovaní delení, a ukazuje, že rozdiel medzi dĺžkou lomenej čiary a príslušným integrálnym súčtom ide k nule. Na odhad sa používa lema a rovnomerná spojitosť funkcie ψ′ na kompaktnom intervale.

• - Lema: |√(A²+B²) − √(A²+C²)| ≤ |B − C| pre všetky reálne A, B, C.
• - Dôkaz lemy: prípad A = 0 je vlastnosť absolútnej hodnoty, pre A ≠ 0 sa použije Lagrangeova veta a |f′(x)| < 1 pre f(x) = √(A²+x²).
• - Jednoduchá krivka sa nepretína a hladká znamená spojité derivácie φ′ a ψ′.
• - Dĺžka krivky: s(C) = ∫ od α do β √(φ′(t)² + ψ′(t)²) dt.
• - Intuícia: dotykový vektor (φ′, ψ′) určuje dĺžku miniatúrnych úsečiek lomenej čiary.
• - Dĺžka krivky je supremum, teda limita dĺžok lomených čiar pri zjemňovaní delení, a stačí ukázať, že jej rozdiel s integrálnym súčtom ide k 0.
• - Rozdiel sa odhadne súčtom |ψ′(qᵢ) − ψ′(pᵢ)|·Δtᵢ a rovnomerná spojitosť ψ′ ho robí menším než ε.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.