228. Príklady D'Alembertovo kritérium

Zhrnutie prednášky

Prednáška ukazuje na štyroch príkladoch použitie D'Alembertovho kritéria pre číselné rady. Rad a^n/n! konverguje pre ľubovoľné a, pretože limita podielu je 0, a jeho súčet je e^a − 1. Rad n!/n^n konverguje, lebo limita podielu je 1/e < 1. Rad e^n·n!/n^n má limitu podielu 1, takže limitné kritérium zlyháva, no z monotónnosti postupnosti (1+1/n)^n ≤ e vyplýva, že podiely sú ≥ 1, a nelimitná forma kritéria dokazuje divergenciu. Posledný rad, zložený z prepletených geometrických radov s kvocientmi 1/5 a 1/7, konverguje, ale D'Alembertovo kritérium ho nevie rozhodnúť, keďže limita podielu neexistuje a limes superior je väčší ako 1.

• - D'Alembertovo kritérium: ak limita |a_{n+1}/a_n| < 1, rad konverguje; ak > 1, diverguje.
• - Rad a^n/n! konverguje pre každé a, limita podielu je 0, súčet je e^a − 1 pri sčítaní od n = 1.
• - Rad n!/n^n konverguje, limita podielu je 1/e < 1, pričom sa využíva definícia čísla e.
• - Rad e^n·n!/n^n má limitu podielu 1, limitné kritérium nerozhodne; keďže (1+1/n)^n ≤ e, podiely sú ≥ 1 a rad diverguje podľa nelimitnej formy.
• - Rad z prepletených geometrických radov (1/5^k a 1/7^k) konverguje, ale D'Alembertovo kritérium zlyháva: podiely idú striedavo do +∞ a do 0.
• - Limes superior podielu je väčší ako 1 a podiel nie je ≤ 1 od istého člena, preto kritérium nemožno použiť; pomôže až odmocninové (Cauchyho) kritérium.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.