108. Metóda integrovania po častiach

Zhrnutie prednášky

Prednáška predstavuje metódu integrovania po častiach (per partes), ktorá vychádza z obrátenia pravidla o derivácii súčinu. Formuluje sa veta pre diferencovateľné funkcie f a g na intervale: ak existuje primitívna funkcia k f'g, existuje aj primitívna funkcia k fg' a platí ∫fg' = fg − ∫f'g. Dôkaz využíva pomocnú funkciu F = fg − G, ktorej derivácia vyjde rovná f'g. Metóda sa ukazuje na príklade ∫x^(−3/2)·ln(1+x) dx, kde sa derivuje logaritmus a integruje mocnina. Zostávajúci integrál sa vyrieši substitúciou a výsledok je −2/√x · ln(1+x) + 4·arctg√x na intervale (0, ∞).

• - Integrovanie per partes je obrátením pravidla o derivácii súčinu.
• - Vzorec: ∫f'g dx = fg − ∫fg' dx; úlohou je zmeniť ťažší integrál na ľahší.
• - Veta platí pre diferencovateľné funkcie na intervale; z existencie jednej primitívnej funkcie vyplýva existencia druhej.
• - Pri súčine treba vhodne zvoliť, ktorú funkciu integrovať a ktorú derivovať; logaritmus sa oplatí derivovať, lebo po derivovaní zmizne.
• - V príklade ∫x^(−3/2)·ln(1+x) dx vychádza −2/√x · ln(1+x) + 4·arctg√x.
• - Zvyšný integrál 1/(√x(1+x)) sa rieši substitúciou x = t², ktorá vedie na arkustangens.
• - Definičným oborom zadania aj výsledku je otvorený interval (0, ∞).

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.