113.Rozklad na parciálne zlomky - záver

Zhrnutie prednášky

Prednáška uzatvára tému rozkladu na parciálne zlomky formuláciou a dôkazom vety o rozklade rýdzoracionálnej funkcie P/Q na súčet konečného počtu parciálnych zlomkov. Dôkaz prebieha matematickou indukciou podľa stupňa polynómu Q. Pre stupeň 1 je funkcia konštanta delená lineárnym dvojčlenom, teda už je parciálnym zlomkom. V indukčnom kroku sa pre stupeň n+1 využije Lema 1 o rozklade Q na koreňové činitele a rozlíšia sa dva prípady: Q má reálny koreň (použije sa Lema 2) alebo ho nemá a obsahuje nerozložiteľný kvadratický člen (použije sa Lema 3). V oboch prípadoch sa oddelí jeden parciálny zlomok a zvyšná rýdzoracionálna funkcia P1/Q1 s nižším stupňom menovateľa sa rozloží podľa indukčného predpokladu.

• - Veta: každá rýdzoracionálna funkcia P/Q sa dá rozložiť na súčet konečného počtu parciálnych zlomkov.
• - Dôkaz sa vedie matematickou indukciou podľa stupňa menovateľa Q.
• - Základný krok: pre stupeň 1 je funkcia tvaru k/(ax+b), čo je priamo parciálny zlomok.
• - Indukčný predpoklad platí pre všetky stupne od 1 do n, dokazuje sa stupeň n+1.
• - Podľa Lemy 1 má Q buď reálny koreň, alebo je súčinom nerozložiteľných kvadratických členov.
• - Prípad s reálnym koreňom: Lema 2 oddelí zlomok A/(x−a)^k a zvyšok P1/Q1 má stupeň Q1 ≤ n.
• - Prípad bez reálneho koreňa: Lema 3 oddelí zlomok (Bx+C)/(x²+px+q)^m a zvyšok P1/Q1 sa rozloží podľa indukčného predpokladu.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.