231. Príklady na využitie porovnania sily kritérií

Zhrnutie prednášky

Prednáška ukazuje, ako využiť vetu o vzťahu D'Alembertovho a Cauchyho kritéria: ak existuje limita podielu a_{n+1}/a_n, potom existuje aj limita n-tej odmocniny z a_n a obe sa rovnajú. Pomocou nej sa riešia limity, ktoré sa nedajú zvládnuť sendvičovou vetou. V príklade 14 sa limita n-tej odmocniny z n! určí cez konvergentný rad a^n/n!, ktorého D'Alembertova limita je 0, a pre a = 1 vychádza výsledok 0. V príklade 15 sa použije rad n!/n^n s D'Alembertovou limitou 1/e, z čoho vyplýva limita n-tej odmocniny z n!/n^n rovná 1/e. Úpravou a vetou o limite prevrátenej hodnoty vychádza limita n/(n-tá odmocnina z n!) rovná e.

• - Ak existuje limita a_{n+1}/a_n, existuje aj limita n-tej odmocniny z a_n a sú rovnaké.
• - Limitu n-tej odmocniny z n! nemožno určiť sendvičovou vetou, lebo medze majú limity 1 a nekonečno.
• - Príklad 14: z konvergencie radu a^n/n! (D'Alembertova limita 0) a voľby a = 1 vyplýva, že limita n-tej odmocniny z n! je 0.
• - Príklad 15: pre rad n!/n^n vychádza D'Alembertova limita 1/e, teda aj n-tá odmocnina z n!/n^n má limitu 1/e.
• - Po úprave a použití vety o limite prevrátenej hodnoty vychádza limita n/(n-tá odmocnina z n!) rovná e.
• - Metóda: zvoliť vhodný rad s existujúcou D'Alembertovou limitou a z nej odvodiť hľadanú Cauchyho limitu.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.