236. Zovšeobecnené kritériá

Zhrnutie prednášky

Prednáška predstavuje zovšeobecnené d'Alembertovo a Cauchyho (Košiho) kritérium pre rady s ľubovoľnými znamienkami, ktoré vznikajú prenesením kritérií pre kladné rady na absolútne hodnoty členov. Ak je limes superior podielu |a_{n+1}/a_n| menší ako 1, rad absolútne konverguje; ak od istého indexu platí |a_{n+1}/a_n| ≥ 1, rad diverguje, lebo členy nekonvergujú k nule a nie je splnená nutná podmienka konvergencie. Analogicky pre Cauchyho kritérium: limes superior n-tej odmocniny z |a_n| menší ako 1 zaručuje absolútnu konvergenciu a nerovnosť ≥ 1 pre nekonečne veľa n spôsobí divergenciu. Limitné tvary vyplývajú z nelimitných. Na záver lektor avizuje kritériá špecifické pre rady so znamienkami, ako sú Leibnizovo, Dirichletovo a Abelovo.

• - Zovšeobecnené kritériá sú vety 14 (d'Alembert) a 15 (Cauchy) pre rady s ľubovoľnými členmi.
• - D'Alembert: limes superior |a_{n+1}/a_n| < 1 implikuje absolútnu konvergenciu.
• - Ak |a_{n+1}/a_n| ≥ 1 od istého n0, rad diverguje, lebo a_n nekonverguje k 0.
• - Cauchy: limes superior n-tej odmocniny z |a_n| < 1 dáva absolútnu konvergenciu; ≥ 1 pre nekonečne veľa n dáva divergenciu.
• - Limitné tvary (limita k < 1 konverguje, k > 1 diverguje) vyplývajú z nelimitných.
• - Dôkazy sú aplikáciou kritérií pre nezáporné rady na rad absolútnych hodnôt.
• - Ďalšie kritériá pre rady so znamienkami (Leibniz, Dirichlet, Abel) využívajú kompenzáciu členov.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.