250. Rovnomerná konvergencia radov funkcií

Zhrnutie prednášky

Prednáška zavádza rovnomernú konvergenciu radov funkcií pomocou postupnosti čiastočných súčtov: rad konverguje rovnomerne k funkcii g na množine M, ak na nej rovnomerne konverguje postupnosť jeho čiastočných súčtov. Na dvoch príkladoch sa ukazuje rozdiel medzi bodovou a rovnomernou konvergenciou. Geometrický rad Σxⁿ na intervale (−1, 1) konverguje bodovo k 1/(1−x), no nie rovnomerne, pretože supremum rozdielu čiastočného súčtu a súčtovej funkcie sa dá odhadnúť zdola výrazom, ktorý ide do nekonečna (dosadením x = ⁿ√(1/2)). Rad Σ(x·e⁻ˣ)ⁿ na intervale [0, ∞) konverguje rovnomerne, lebo funkcia q(x) = x·e⁻ˣ má maximum 1/e < 1/2, čo dáva odhad rozdielu zhora výrazom (1/2)ⁿ⁻¹ nezávislým od x. Limita suprém je preto nula podľa vety o dvoch policajtoch.

• - Rad funkcií konverguje rovnomerne, ak rovnomerne konverguje postupnosť jeho čiastočných súčtov.
• - Rovnomerná konvergencia nastáva práve vtedy, keď limita suprém |Sₙ − g| je nula.
• - Geometrický rad Σxⁿ na (−1, 1) konverguje len bodovo, nie rovnomerne.
• - Pri dôkaze nerovnomernosti stačí dosadiť vhodný bod, napr. x = ⁿ√(1/2), a ukázať, že supremum je neohraničené.
• - Funkcia q(x) = x·e⁻ˣ má na [0, ∞) jediné maximum v bode 1 s hodnotou 1/e < 1/2.
• - Rad Σ(x·e⁻ˣ)ⁿ konverguje rovnomerne na [0, ∞) k funkcii x/(eˣ − x), čo plynie z odhadu rozdielu zhora hodnotou (1/2)ⁿ⁻¹ nezávislou od x a z vety o dvoch policajtoch.

Zhrnutie pripravené s pomocou AI z prepisu videa.